AUXILIARY SPACE MULTIGRID METHOD BASED ON ADDITIVE SCHUR COMPLEMENT APPROXIMATION

Abstract. In this paper the idea of auxiliary space multigrid (ASMG) methods is introduced. The construction is based on a two-level block factorization of local (finite element stiffness) matrices associated with a partitioning of the domain into overlapping or non-overlapping subdomains. The two-level method utilizes a coarse-grid operator obtained from additive Schur complement approximation (ASCA). Its analysis is carried out in the framework of auxiliary space preconditioning and condition number estimates for both, the two-level preconditioner, as well as for the ASCA are derived. The two-level method is recursively extended to define the ASMG algorithm. In particular, so-called Krylov-cycles are considered. The theoretical results are supported by a representative collection of numerical tests which further demonstrate the efficiency of the new algorithm for multiscale problems. 1

Очищення робочих рідин повнопотоковим гідродинамічним фільтром з обертовим перфорованим циліндром та бункером для осаду

В дисертації вирішена актуальна науково-технічна задача – підвищення ефективності очищення робочих рідин від механічних частинок повнопотоковим гідродинамічним фільтром, а саме ротаційним, в якому запропоновано використовувати у якості фільтроелемента обертовий перфорований циліндр та бункер для осаду для збору відсепарованих частинок. На основі чисельного моделювання, яке базується на усереднених по Рейнольдсу рівняннях Нав’є-Стокса (RANS) зі застосуванням моделі турбулентності переносу зсувних напруг (SST k-ω модель) Ментера, проведено дослідження течії несучої рідини біля обертової фільтруючої поверхні та області бункера для осаду ротаційного фільтра. Доведено нерівномірність протікання рідини у радіальному напрямку крізь перфорований циліндр. Крізь отвори розташовані біля вхідного перетину в робочу область проходить більше рідини ніж через отвори, які максимально віддалені від даного перетину, що негативно впливає на реалізацію гідродинамічного ефекту очищення. Досліджено еволюцію течії рідини біля отворів уздовж поверхні перфорованого циліндра в залежності від зміни параметрів Reφ, Rer та показано, що зі збільшенням Reφ, що характеризує обертовий рух рідини, збільшується перекриття отворів набігаючим потоком. У тривимірній постановці досліджено траєкторії руху завислих частинок біля проникної поверхні фільтроелемента, доведено здійснення гідродинамічного ефекту очищення для перфорованого циліндра в якості фільтроелемента при різних режимах течії та відмічено наявність «буферної зони», яка виключає контакт частинок домішки з поверхнею проникного циліндра. На основі вісесиметричної постановки виявлено позитивний вплив обертання торцевої стінки фільтроелемента на гідродинаміку течії, що проявляється в стримуванні поширення вихрових зон з області бункера в робочу область фільтра, та утримання частинок у бункері. Отримано залежності ефективності очищення фільтра від відносного діаметру і густини частинок домішки та густини рідини при заданій конструкції фільтра. Визначено найвищу ефективність утримання частинок домішки в бункері циліндричної та конічної розбіжної форми. Проведено експериментальні дослідження, що підтвердили ефективність, яка складає 95 %, запропонованого пристрою очищення рідини АМГ-10 від частинок розміром 100…200 мкм, та адекватність отриманих теоретичних результатів реальним фізичним процесам. Розбіжність між розрахунковими й отриманими в результаті експерименту значеннями порівнюваних параметрів склала не більше 9 %.In the thesis the actual scientific and technical problem is solved – an increase in the efficiency of cleaning of working fluids from mechanical particles by a full-flow hydrodynamic filter, namely a rotational, in which it is proposed to use a rotating perforated cylinder as a filter element and a sludge hopper for collecting the separated particles. On the basis of numerical modeling based on the Navier-Stokes (RANS) averaged Reynolds equations using a shift model of the shifting stresses (SST k-ω model) of Menther, a study of the flow of a carrier fluid near the rotating filtering surface and the area of the rotor sink hopper filter. The uneven flow of a fluid in a radial direction through a perforated cylinder is proved. Through the openings located near the inlet to the working area there is more fluid than through the openings, which are as far removed from this section, which adversely affects the implementation of the hydrodynamic effect of cleaning. The evolution of the fluid flow along the holes along the surface of the perforated cylinder, depending on the change in the parameters Reφ, Rer, has been studied, and it is shown that with increasing Reφ, which characterizes the rotary motion of the liquid, the overlapping of the apertures with the incident flow increases. In the threedimensional form, the trajectories of the motion of suspended particles near the permeable surface of the filter element have been investigated, the hydrodynamic effect of purification for a perforated cylinder as a filter element has been proved under different flow regimes and the presence of a «buffer zone» is excluded, which excludes the contact of impurity particles with the penetrant cylinder surface. On the basis of an axisymmetric statement, the positive effect of the rotation of the end wall of the filter element on the hydrodynamics of the current, revealed in the containment of the diffusion of vortex zones from the bunker region to the working region of the filter, and the content of the particles in the hopper, was found. The dependence of the filter cleaning efficiency on the relative diameter and density of the particles of impurity and fluid density on the given filter design was obtained. The highest efficiency of the content of impurity particles in the bunker of the cylindrical and conical divergent configuration is determined. Experimental studies have been carried out to confirm the efficiency of 95 % of the proposed cleaning device from particles of 100…200 μm AMG-10 fluid and the adequacy of the obtained theoretical results to real physical processes. The difference between the calculated values and the resulting parameters obtained by the experiment was not more than 9 %

Scalable parallel simulation of variably saturated flow

In this thesis we develop highly accurate simulation tools for variably saturated flow through porous media able to take advantage of the latest supercomputing resources. Hence, we aim for parallel scalability to very large compute resources of over 105 CPU cores. Our starting point is the parallel subsurface flow simulator ParFlow. This library is of widespread use in the hydrology community and known to have excellent parallel scalability up to 16k processes. We first investigate the numerical tools this library implements in order to perform the simulations it was designed for. ParFlow solves the governing equation for subsurface flow with a cell centered finite difference (FD) method. The code targets high performance computing (HPC) systems by means of distributed memory parallelism. We propose to reorganize ParFlow's mesh subsystem by using fast partitioning algorithms provided by the parallel adaptive mesh refinement (AMR) library p4est. We realize this in a minimally invasive manner by modifying selected parts of the code to reinterpret the existing mesh data structures. Furthermore, we evaluate the scaling performance of the modified version of ParFlow, demonstrating excellent weak and strong scaling up to 458k cores of the Juqueen supercomputer at the Jülich Supercomputing Centre. The above mentioned results were obtained for uniform meshes and hence without explicitly exploiting the AMR capabilities of the p4est library. A natural extension of our work is to activate such functionality and make ParFlow a true AMR application. Enabling ParFlow to use AMR is challenging for several reasons: It may be based on assumptions on the parallel partition that cannot be maintained with AMR, it may use mesh-related metadata that is replicated on all CPUs, and it may assume uniform meshes in the construction of mathematical operators. Additionally, the use of locally refined meshes will certainly change the spectral properties of these operators. In this work, we develop an algorithmic approach to activate the usage of locally refined grids in ParFlow. AMR allows meshes where elements of different size neighbor each other. In this case, ParFlow may incur erroneous results when it attempts to communicate data between inter-element boundaries. We propose and discuss two solutions to this issue operating at two different levels: The first manipulates the indices of the degrees of freedom, While the second operates directly on the degrees of freedom. Both approaches aim to introduce minimal changes to the original ParFlow code. In an AMR framework, the FD method taken by ParFlow will require modifications to correctly deal with different size elements. Mixed finite elements (MFE) are on the other hand better suited for the usage of AMR. It is known that the cell centered FD method used in ParFlow might be reinterpreted as a MFE discretization using Raviart-Thomas elements of lower order. We conclude this thesis presenting a block preconditioner for saddle point problems arising from a MFE on locally refined meshes. We evaluate its robustness with respect to various classes of coefficients for uniform and locally refined meshes