Capturing equilibrium models in modal logic

International audienceHere-and-there models and equilibrium models were investigated as a semantical framework for answer-set programming by Pearce, Valverde, Cabalar, Lifschitz, Ferraris and others. The semantics of equilibrium logic is given in an indirect way: the notion of satisfiability is defined in terms of satisfiability in propositional logic and in the logic of here-and-there. We here give a direct semantics of equilibrium logic, stated in terms of a modal language embedding the language of equilibrium logic

The Stable Model Semantics of Datalog with Metric Temporal Operators

We introduce negation under the stable model semantics in DatalogMTL - a temporal extension of Datalog with metric temporal operators. As a result, we obtain a rule language which combines the power of answer set programming with the temporal dimension provided by metric operators. We show that, in this setting, reasoning becomes undecidable over the rational timeline, and decidable in EXPSPACE in data complexity over the integer timeline. We also show that, if we restrict our attention to forward-propagating programs, reasoning over the integer timeline becomes PSPACE-complete in data complexity, and hence, no harder than over positive programs; however, reasoning over the rational timeline in this fragment remains undecidable. Under consideration in Theory and Practice of Logic Programming (TPLP).Comment: Under consideration in Theory and Practice of Logic Programming (TPLP

Extensions of equilibrium logic by modal concepts

La logique Here-and-there (HT) est une logique monotone à trois valeurs, intermédiaire entre les logiques intuitionniste et classique. La logique de l'équilibre est un formalisme non-monotone dont la sémantique est donnée par un critère de minimalisation sur les modèles de la logique HT. Ce formalisme est fortement lié à la programmation orientée ensemble réponse (ASP), un paradigme relativement nouveau de programmation déclarative. La logique de l'équilibre constitue la base logique de l'ASP: elle reproduit la sémantique par ensemble réponse des programmes logiques et étend la syntaxe de l'ASP à des théories propositionnelles plus générales, i.e., des ensembles finis de formules propositionnelles. Cette thèse traite aussi bien des logiques modales sous-jacentes à la logique de l'équilibre que de ses extensions modales. Ceci nous permet de produire un cadre complet pour l'ASP et d'examiner de nouveau la base logique de l'ASP. A cet égard, nous présentons d'abord une logique modale monotone appelée MEM et capable de caractériser aussi bien l'existence d'un modèle de la logique de l'équilibre que la relation de conséquence dans ces modèles. La logique MEM reproduit donc la propriété de minimalisation qui est essentielle dans la définition des modèles de la logique de l'équilibre. Nous définissons ensuite une extension dynamique de la logique de l'équilibre. Pour ce faire, nous étendons le langage de la logique HT par deux ensembles de programmes atomiques qui permettent de mettre à jour, si possible, les valeurs de vérité des variables propositionnelles. Ces programmes atomiques sont ensuite combinés au moyen des connecteurs habituels de la logique dynamique. Le formalisme résultant est appelé logique Here-and-there dynamique (D-HT) et permet la mise-à-jour des modèles de la logique de l'équilibre. Par ailleurs, nous établissons un lien entre la logique D-HT et la logique dynamique des affectations propositionnelles (DL-PA): les affectations propositionnelles mettent à vrai ou à faux les valeurs de vérité des variables propositionnelles et transforment le modèle courant comme en logique dynamique propositionnelle. En conséquence, DL-PA constitue également une logique modale sous-jacente à la logique de l'équilibre. Au début des années 1990, Gelfond avait défini les spécifications épistémiques (E-S) comme une extension de la programmation logique disjonctive par des notions épistémiques. L'idée de base des E-S est de raisonner correctement à propos d'une information incomplète au moyen de la notion de vue-monde dans des situations où la notion précédente d'ensemble réponse n'est pas assez précise pour traiter le raisonnement de sens commun et où il y a une multitude d'ensembles réponses. Nous ajoutons ici des opérateurs épistémiques au langage original de la logique HT et nous définissons une version épistémique de la logique de l'équilibre. Cette version épistémique constitue une nouvelle sémantique non seulement pour les spécifications épistémiques de Gelfond, mais aussi plus généralement pour les programmes logiques épistémiques étendus. Enfin, nous comparons notre approche avec les sémantiques existantes et nous proposons une équivalence forte pour les théories de l'E-HT. Ceci nous conduit naturellement des E-S aux ASP épistémiques et peut être considéré comme point de départ pour les nouvelles extensions du cadre ASP.Here-and-there (HT) logic is a three-valued monotonic logic which is intermediate between classical logic and intuitionistic logic. Equilibrium logic is a nonmonotonic formalism whose semantics is given through a minimisation criterion over HT models. It is closely aligned with answer set programming (ASP), which is a relatively new paradigm for declarative programming. To spell it out, equilibrium logic provides a logical foundation for ASP: it captures the answer set semantics of logic programs and extends the syntax of answer set programs to more general propositional theories, i.e., finite sets of propositional formulas. This dissertation addresses modal logics underlying equilibrium logic as well as its modal extensions. It allows us to provide a comprehensive framework for ASP and to reexamine its logical foundations. In this respect, we first introduce a monotonic modal logic called MEM that is powerful enough to characterise the existence of an equilibrium model as well as the consequence relation in equilibrium models. The logic MEM thus captures the minimisation attitude that is central in the definition of equilibrium models. Then we introduce a dynamic extension of equilibrium logic. We first extend the language of HT logic by two kinds of atomic programs, allowing to update the truth value of a propositional variable here or there, if possible. These atomic programs are then combined by the usual dynamic logic connectives. The resulting formalism is called dynamic here-and-there logic (D-HT), and it allows for atomic change of equilibrium models. Moreover, we relate D-HT to dynamic logic of propositional assignments (DL-PA): propositional assignments set the truth values of propositional variables to either true or false and update the current model in the style of dynamic epistemic logics. Eventually, DL-PA constitutes an alternative monotonic modal logic underlying equilibrium logic. In the beginning of the 90s, Gelfond has introduced epistemic specifications (E-S) as an extension of disjunctive logic programming by epistemic notions. The underlying idea of E-S is to correctly reason about incomplete information, especially in situations when there are multiple answer sets. Related to this aim, he has proposed the world view semantics because the previous answer set semantics was not powerful enough to deal with commonsense reasoning. We here add epistemic operators to the original language of HT logic and define an epistemic version of equilibrium logic. This provides a new semantics not only for Gelfond's epistemic specifications, but also for more general nested epistemic logic programs. Finally, we compare our approach with the already existing semantics, and also provide a strong equivalence result for EHT theories. This paves the way from E-S to epistemic ASP, and can be regarded as a nice starting point for further frameworks of extensions of ASP

Automata-Based Computation of Temporal Equilibrium Models

International audienceTemporal Equilibrium Logic (TEL) is a formalism for temporal logic programming that generalizes the paradigm of Answer Set Programming (ASP) introducing modal temporal operators from standard Linear-time Temporal Logic (LTL). In this paper we solve some problems that remained open for TEL like decidability, bounds for computational complexity as well as computation of temporal equilibrium models for arbitrary theories. We propose a method for the latter that consists inbuilding a Buchi automaton that accepts exactly the temporal equilibrium models of a given theory, providing an automata-based decision procedure and illustrating the omega-regularity of such sets. We show that TEL satisfiability can be solved in exponential space and it is hard for polynomial space. Finally, given two theories, we provide a decision procedure to check if they have the same temporal equilibrium models