Approximation Bounds For Minimum Degree Matching

We consider the MINGREEDY strategy for Maximum Cardinality Matching. MINGREEDY repeatedly selects an edge incident with a node of minimum degree. For graphs of degree at most $\Delta$ we show that MINGREEDY achieves approximation ratio at least $\frac{\Delta-1}{2\Delta-3}$ in the worst case and that this performance is optimal among adaptive priority algorithms in the vertex model, which include many prominent greedy matching heuristics. Even when considering expected approximation ratios of randomized greedy strategies, no better worst case bounds are known for graphs of small degrees.Comment: % CHANGELOG % rev 1 2014-12-02 % - Show that the class APV contains many prominent greedy matching algorithms. % - Adapt inapproximability bound for APV-algorithms to a priori knowledge on |V|. % rev 2 2015-10-31 % - improve performance guarantee of MINGREEDY to be tigh

Strukturální vlastnosti grafů---pravděpodobnostní a deterministický pohled

V práci zkoumáme bipartitní podgrafy náhodného kubického grafu. Ukážeme, že hranově maximální bipartitní podgraf náhodného kubického grafu na n vrcholech má asymptoticky skoro jistě méně než 3 2 ·0.9351n hran. Dále ukážeme, že počet vrcholů vrcholově maximálního indukovaného bipartitnho podgrafu náhodného kubického grafu asymptoticky skoro jistě leží v intervalu [0.75n; 0.9082n]. K získání dolního odhadu zkonstruujeme randomizovaný algoritmus na hledání velkého indukovaného biparitního podgrafu v náhodném kubickém grafu. V závěru práce diskutujeme důsledky pro grafové homomorfismy, zejména pro Nešetřilovu Pětiúhelníkovou domněnku.We study bipartite subgraphs of a random cubic graph in the thesis. We show, that an edge-maximum bipartite subgraph of a random cubic graph on n vertices has asymptotically almost surely less then 3 2 · 0.9351n edges. We also show that the number of vertices of a vertex-maximum induced bipartite subgraph of a random cubic graph lies within interval [0.75n; 0.9082n]. To obtain the lower bound we design a randomized algorithm for finding a large induced bipartite subgraph of a random cubic graph. We discuss consequences of the results for graph homomorphisms, namely for Pentagon Conjecture posed by Nešetřil.Katedra aplikované matematikyDepartment of Applied MathematicsFaculty of Mathematics and PhysicsMatematicko-fyzikální fakult