Martin Gardner's minimum no-3-in-a-line problem

In Martin Gardner's October, 1976 Mathematical Games column in Scientific American, he posed the following problem: "What is the smallest number of [queens] you can put on a board of side n such that no [queen] can be added without creating three in a row, a column, or a diagonal?" We use the Combinatorial Nullstellensatz to prove that this number is at least n, except in the case when n is congruent to 3 modulo 4, in which case one less may suffice. A second, more elementary proof is also offered in the case that n is even.Comment: 11 pages; lower bound in main theorem corrected to n-1 (from n) in the case of n congruent to 3 mod 4, minor edits, added journal referenc

Paired and Total Domination on the Queen\u27s Graph.

The Queen’s domination problem has a long and rich history. The problem can be simply stated as: What is the minimum number of queens that can be placed on a chessboard so that all squares are attacked or occupied by a queen? The problem has been expanded to include not only the standard 8x8 board, but any rectangular m×n sized board. In this thesis, we consider both paired and total domination versions of this renowned problem

minimum dominating set of queens: A trivial programming exercise?

Abstractminimum dominating set of queens is one of the typical programming exercises of a first year’s computer science course. However, little work has been published on the complexity of this problem. We analyse here several algorithms and show that advanced algorithmic techniques may dramatically speed up solving this problem

An improved upper bound for queens domination numbers

AbstractWe consider the domination number of the queens graph Qn and show that if, for some fixed k, there is a dominating set of Q4k+1 of a certain type with cardinality 2k+1, then for any n large enough, γ(Qn)⩽[(3k+5)/(6k+3)]n+O(1). The same construction shows that for any m⩾1 and n=2(6m−1)(2k+1)−1, γ(Qnt)⩽[(2k+3)/(4k+2)]n+O(1), where Qnt is the toroidal n×n queens graph

Eigenschaften kleinster dominierender Mengen und Dominanzzahlen von Damengraphen

Motiviert durch ein klassisches Schachproblem wird die Frage nach der Mächtigkeit einer kleinsten dominierenden Menge bzw. kleinsten unabhängigen dominierenden Menge des Damengraphen Q_n untersucht. Im Damengraph korrespondiert jeder Knoten zu einem Feld auf dem (n x n)-Schachbrett und zwei Knoten sind genau dann benachbart, wenn die zugehörigen Felder in derselben Zeile, Spalte oder Diagonale liegen. Im Detail wird gezeigt, dass jede p-Überdeckung von Q_n mit n>=19 beide langen Diagonalen durch zwei Eckfelder besetzt und daher diese Voraussetzung in der bekannten Charakterisierung mittels besetzter Diagonalen nicht einschränkend ist. Die Klasse der p-Überdeckungen wird zu orthodoxen Überdeckungen verallgemeinert und deren Relevanz durch Angabe entsprechender kleinster dominierender Mengen nachgewiesen. Für n=6(mod 8) mit n>=96 wird gezeigt, dass keine nicht-orthodoxe Überdeckung D von Q_n mit |D|=n/2 existiert. Zusammen mit einer hergeleiteten notwendigen Bedingung für die Existenz einer orthodoxen Überdeckung der Größe n/2 wird so in vielen Fällen die untere Schranke auf n/2 + 1 verschärft, was den Beweis einiger neuer Dominanzzahlen ermöglicht. Durch Angabe konkreter dominierender Mengen der Mächtigkeit (n+1)/2 werden Dominanzzahlen für folgende Instanzen bewiesen: n=43, 55, 83, 99, 107, 133, 137, 141, 143, 145, 149, 153, 157, 161, 163, 165, 169, 173, 177, 181, 183, 185, 189, 193, 197, 213 und 221. Durch Angabe konkreter unabhängiger dominierender Mengen der Mächtigkeit (n+1)/2 werden Dominanzzahlen für folgende Instanzen bewiesen: n=117, 121, 129, 141, 145, 157, 161, 165, 177, 185 und 189. Weiter wird ein Computerbeweis dafür erbracht, dass die Dominanzzahl folgender Instanzen n/2 + 1 beträgt: n=102, 110, 118, 126, 134, 142, 150, 158, 166, 174, 182, 190, 198, 214 und 222