An elliptic problem with two singularities

We study a Dirichlet problem for an elliptic equation defined by a degenerate coercive operator and a singular right-hand side. We will show that the right-hand side has some regularizing effects on the solutions, even if it is singular

Singular elliptic equations having a gradient term with natural growth

We study a class of Dirichlet boundary value problems whose prototype is \begin{equation}\label{1.2abs} \left\{\begin{array}{ll} -\Delta_p u =h(u)|\nabla u|^p+u^{q-1}+f(x)\, &\quad\hbox{in } \ \Omega\,,\\ u\ge 0\,,&{\quad\hbox{in } \ \Omega}\\ u = 0\,&\quad\hbox{on }\partial \Omega\,,\end{array}\right. \end{equation} where $\Omega$ an open bounded subset of $\mathbb R^N$, $0<q<1$, $1<p<N$, $h$ is a continuous function and $f$ belongs to a suitable Lebesgue space. The main features of this problem are the presence of a singular term and a first order term with natural growth in the gradient. A priori estimates and existence results are proved depending on the summability of the datum $f$

Quelques contributions au calcul des variations et aux équations elliptiques

Les travaux de recherche qui sont présentés font partie de trois thématiques différentes. Le premier sujet concerne les systèmes d’une classe d'équations aux dérivées partielles, dites «implicites» dans la littérature. Ces problèmes sont complètement non linéaires. Les équations scalaires, où l'inconnue est une fonction, admettent en général, une infinité de solutions. On développe des méthodes variationnelles pour sélectionner des solutions avec des critères de régularités. On traite aussi les cadres vectoriels, où l'inconnue est une application, en présentant des théorèmes d’existence et quelques applications.Les problèmes isopérimétriques font partie de la deuxième thématique de recherche. On traite des inégalités isopérimétriques pour des problèmes aux valeurs propres non linéaires, ainsi que la version quantitative de l'inégalité isopérimétrique classique. On étudie aussi les propriétés de symétrie desminimiseurs d’un problème variationnel non coercitif sur une boule, en montrant une rupture de symétrie, en fonction de l’un des paramètres qui définissent le problème.La mauvaise coercitivité est aussi liée au troisième axe de recherche présenté. On analyse des résultats d’existence et régularité de solutions de certains problèmes elliptiques, définis à travers un opérateur elliptique à coercitivité dégénérée. On montre en particulier les effets régularisants dequelques termes d'ordre inférieur pour les problèmes de Dirichlet correspondants, en fonction de la régularité de la source