最大クリーク問題の多項式時間的可解性に関する研究

いわゆる“最大クリーク問題”は典型的なNP 完全問題であり, 多項式時間的に本問題を解くことはほぼ不可能であると強く予測されている．従って, 少なくともどのような条件下ならばこのNP 完全問題を多項式時間的に解くことが出来るかを明らかにすることは重要な課題である．これに対し, 平面グラフ, コーダルグラフ等いくつかの特殊グラフに対しては多項式時間的可解性が成立することが示されている. しかし一般グラフにおいては, 最大クリーク問題が多項式時間的可解となる条件について, これまでにおいて有意義な定量的結果は発表されていなかった. そこで本研究では, 先ず極大クリーク全列挙アルゴリズムCLIQUES (E. Tomita, A. Tanaka, H. Takahashi: Theoretical Computer Science, 2006) を基にして, 基本的な最大クリーク抽出の深さ優先探索アルゴリズムを確立した. この基本的アルゴリズムに対して探索領域限定操作をより強力化し, 対応したより詳細な場合分けを伴った解析を行うことにより, アルゴリズムが多項式時間的に終端する条件を逐次緩和し, 次の定量的な多項式時間的可解性条件を与えた． 即ち, 先ず一般グラフにおいてグラフの最大次数Δ のみを条件とした, 最大クリーク問題に対する以下の多項式時間的可解性の成立を示した. 「節点数n のグラフG = (V,E) の最大次数Δ が,Δ_0:定数) なる条件を満たすとき, 最大クリーク問題はO(n1+d) なる多項式時間で可解である. 」さらに本研究においては, 全節点に対する前記条件をより緩和した, 次の拡張結果も与えた. 「サイズn0>_2 なる任意の連結な誘導部分グラフG(C)( C⊆V ) に対して, C 中の最小次数節点v が, deg(v)_0:定数) を満たすとき, 最大クリーク問題はO(nmax(2,1+d)) の多項式時間で可解である. 」これは, サイズn0 である連結な誘導部分グラフのうち, 次数最小の節点を除き全く無条件としたもので, 制限条件の大きい緩和である. 以上本論文では, 最大クリーク問題の多項式時間的可解性について, 新しい枠組みを与えた.電気通信大学201

New Results on Directed Edge Dominating Set

We study a family of generalizations of Edge Dominating Set on directed graphs called Directed $(p,q)$-Edge Dominating Set. In this problem an arc $(u,v)$ is said to dominate itself, as well as all arcs which are at distance at most $q$ from $v$, or at distance at most $p$ to $u$. First, we give significantly improved FPT algorithms for the two most important cases of the problem, $(0,1)$-dEDS and $(1,1)$-dEDS (that correspond to versions of Dominating Set on line graphs), as well as polynomial kernels. We also improve the best-known approximation for these cases from logarithmic to constant. In addition, we show that $(p,q)$-dEDS is FPT parameterized by $p+q+tw$, but W-hard parameterized by $tw$ (even if the size of the optimal is added as a second parameter), where $tw$ is the treewidth of the underlying graph of the input. We then go on to focus on the complexity of the problem on tournaments. Here, we provide a complete classification for every possible fixed value of $p,q$, which shows that the problem exhibits a surprising behavior, including cases which are in P; cases which are solvable in quasi-polynomial time but not in P; and a single case $(p=q=1)$ which is NP-hard (under randomized reductions) and cannot be solved in sub-exponential time, under standard assumptions