6 research outputs found
PTOPO: A Maple package for the topology of parametric curves
International audiencePTOPO is a MAPLE package computing the topology and describing the geometry of a parametric plane curve. The algorithm behind PTOPO constructs an abstract graph that is isotopic to the curve. PTOPO exploits the benefits of the parametric representation and performs all computations in the parameter space using exact computing. PTOPO computes the topology and visualizes the curve in less than a second for most examples in the literature
On the Geometry and the Topology of Parametric Curves
International audienceWe consider the problem of computing the topology and describing the geometry of a parametric curve in R. We present an algorithm, PTOPO, that constructs an abstract graph that is isotopic to the curve in the embedding space. Our method exploits the benefits of the parametric representation and does not resort to implicitization. Most importantly, we perform all computations in the parameter space and not in implicit space. When the parametrization involves polynomials of degree at most and maximum bitsize of coefficients , then the worst case bit complexity of PTOPO is O (6 + 5 + 4 (2 +) + 3 (2 + 3) + 3 2). This bound matches the current record bound O (6 + 5) for the problem of computing the topology of a planar algebraic curve given in implicit form. For planar and space curves, if = max{ , }, the complexity of PTOPO becomes O (6), which improves the state-of-the-art result, due to Alcázar and Díaz-Toca [CAGD'10], by a factor of 10. However, visualizing the curve on top of the abstract graph construction, increases the bound to O (7). We have implemented PTOPO in maple for the case of planar curves. Our experiments illustrate its practical nature
Changing representation of curves and surfaces: exact and approximate methods
Το κύριο αντικείμενο μελέτης στην παρούσα διατριβή είναι η αλλαγή αναπαράστασης
γεωμετρικών αντικειμένων από παραμετρική σε αλγεβρική (ή πεπλεγμένη) μορφή.
Υπολογίζουμε την αλγεβρική εξίσωση παρεμβάλλοντας τους άγνωστους συντελεστές
του πολυωνύμου δεδομένου ενός υπερσυνόλου των μονωνύμων του. Το τελευταίο
υπολογίζεται απο το Newton πολύτοπο της αλγεβρικής εξίσωσης που υπολογίζεται
από μια πρόσφατη μέθοδο πρόβλεψης του συνόλου στήριξης της εξίσωσης. H μέθοδος
πρόβλεψης του συνόλου στήριξης βασίζεται στην αραιή (ή τορική) απαλοιφή: το
πολύτοπο υπολογίζεται από
το Newton πολύτοπο της αραιής απαλοίφουσας αν θεωρίσουμε την παραμετροποίηση ως
πολυωνυμικό σύστημα. Στα μονώνυμα που αντιστοιχούν στα ακέραια σημεία του
Newton πολυτόπου δίνονται τιμές ώστε να σχηματίσουν έναν αριθμητικό πίνακα. Ο
πυρήνα του πίνακα αυτού, διάστασης 1 σε ιδανική περίπτωση, περιέχει τους
συντελεστές των
μονωνύμων στην αλγεβρική εξίσωση. Υπολογίζουμε τον πυρήνα του πίνακα είτε
συμβολικά είτε αριθμητικά εφαρμόζοντας την μέθοδο του singular value
decomposition (SVD). Προτείνουμε τεχνικές για να διαχειριστούμε την περίπτωση
ενός πολυδιάστατου πυρήνα το οποίο εμφανίζεται όταν το προβλεπόμενο σύνολο
στήριξης είναι ένα υπερσύνολο του
πραγματικού. Αυτό δίνει έναν αποτελεσματικό ευαίσθητο-εξόδου αλγόριθμο
υπολογισμού της αλγεβρικής εξίσωσης. Συγκρίνουμε διαφορετικές προσεγγίσεις
κατασκευής του πίνακα μέσω των λογισμικών Maple και SAGE. Στα πειράματά μας
χρησιμοποιήθηκαν ρητές
καμπύλες και επιφάνειες καθώς και NURBS. Η μέθοδός μας μπορεί να εφαρμοστεί σε
πολυώνυμα ή ρητές παραμετροποιήσεις επίπεδων καμπυλών ή (υπερ)επιφανειών
οποιασδήποτε διάστασης συμπεριλαμβανομένων και των περιπτώσεων με
παραμετροποίηση σεσημεία βάσης που εγείρουν σημαντικά ζητήματα για άλλες
μεθόδους αλγεβρικοποίησης.
Η μέθοδος έχει τον εξής περιορισμό: τα γεωμετρικά αντικείμενα πρέπει να
αναπαριστώνται από βάσεις μονωνύμων που στην περίπτωση τριγωνομετρικών
παραμετροποιήσεων θα πρέπει να μπορούν να μετασχηματιστούν σε ρητές
συναρτήσεις. Επιπλέον η τεχνική που
προτείνουμε μπορεί να εφαρμοστεί σε μη γεωμετρικά προβλήματα όπως ο
υπολογισμόςτης διακρίνουσας ενός πολυωνύμου με πολλές μεταβλητές ή της
απαλοίφουσας ενός συστήματος πολυωνύμων με πολλές μεταβλητές.The main object of study in our dissertation is the representation change of
the geometric objects
from the parametric form to implicit. We compute the implicit equation
interpolating the
unknown coefficients of the implicit polynomial given a superset of its
monomials. The latter is
derived from the Newton polytope of the implicit equation obtained by the
recently developed
method for support prediction. The support prediction method we use relies on
sparse (or
toric) elimination: the implicit polytope is obtained from the Newton polytope
of the sparse
resultant of the system in parametrization, represented as polynomials. The
monomials that
correspond to the lattice points of the Newton polytope are suitably evaluated
to build a numeric
matrix, ideally of corank 1. Its kernel contains their coefficients in the
implicit equation.
We compute kernel of the matrix either symbolically, or numerically, applying
singular value
decomposition (SVD). We propose techniques for handling the case of the
multidimensional
kernel space, caused by the predicted support being a superset of the actual.
This yields an
efficient, output-sensitive algorithm for computing the implicit equation. We
compare different
approaches for constructing the matrix in Maple and SAGE software. In our
experiments we
have used classical algebraic curves and surfaces as well as NURBS. Our method
can be
applied to polynomial or rational parametrizations of planar curves or
(hyper)surfaces of any
dimension including cases of parameterizations with base points which raise
important issues
for other implicitization methods. The method has its limits: geometric objects
have to be presented
using monomial basis; in the case of trigonometric parametrizations they have
to be
convertible to rational functions. Moreover, the proposed technique can be
applied for nongeometric
problems such as the computation of the discriminant of a multivariate
polynomial
or the resultant of a system of multivariate polynomials