CHAMP: A Cherednik Algebra Magma Package

We present a computer algebra package based on Magma for performing computations in rational Cherednik algebras at arbitrary parameters and in Verma modules for restricted rational Cherednik algebras. Part of this package is a new general Las Vegas algorithm for computing the head and the constituents of a module with simple head in characteristic zero which we develop here theoretically. This algorithm is very successful when applied to Verma modules for restricted rational Cherednik algebras and it allows us to answer several questions posed by Gordon in some specific cases. We could determine the decomposition matrices of the Verma modules, the graded G-module structure of the simple modules, and the Calogero-Moser families of the generic restricted rational Cherednik algebra for around half of the exceptional complex reflection groups. In this way we could also confirm Martino's conjecture for several exceptional complex reflection groups.Comment: Final version to appear in LMS J. Comput. Math. 41 pages, 3 ancillary files. CHAMP is available at http://thielul.github.io/CHAMP/. All results are listed explicitly in the ancillary PDF document (currently 935 pages). Please check the website for further update

The phantom menace in representation theory

Our principal goal in this overview is to explain and motivate the concept of a phantom in the representation theory of a finite dimensional algebra $\Lambda$. In particular, we exhibit the key role of phantoms towards understanding how a full subcategory $\cal A$ of the category $\Lambda\text{-mod}$ of all finitely generated left $\Lambda$-modules is embedded into $\Lambda\text{-mod}$, in terms of maps leaving or entering $\cal A$. Contents: 1. Introduction and prerequisites; 2. Contravariant finiteness and first examples; 3. Homological importance of contravariant finiteness and a model application of the theory; 4. Phantoms. Definitions, existence, and basic properties; 5. An application: Phantoms over string algebras

An approach to categorification of some small quantum groups II

We categorify an idempotented form of quantum sl2 and some of its simple representations at a prime root of unity.Comment: 59 pages, many PSTricks figures, v2 contains minor corrections and updated reference

Faithful representations of minimal degree for Lie algebras with an abelian radical

In dieser Dissertation untersuchen wir die sogenannte $\mu$-Invariante von Lie Algebren. F\"ur eine endlich-dimensionale Lie Algebra $\mathfrak{g}$ ist sie die minimale Dimension eines treuen $\mathfrak{g}$-Moduls. Es ist bereits nicht-trivial zu zeigen, da\ss\ diese Invariante Werte in den nat\"urlichen Zahlen annimmt, d.h., da\ss\ jede endlich-dimensionale Lie Algebra eine endlich-dimensionale treue Darstellung besitzt. Das wurde urspr\"unglich von Ado und Iwasawa bewiesen, und ist ein fundamentales Resultat. Es hat eine lange Geschichte. In dieser Arbeit geht es um eine Verfeinerung des Ado-Iwasawa-Theorems, und zwar in folgender Hinsicht:\\[1cm] {\it Sei $\mathfrak{g}$ eine endlich-dimensionale Lie algebra. Berechne \mu(\Lg) und finde einen treuen Modul dieser Dimension. Beschreibe die Eigenschaften treuer Moduln minimaler Dimension. Berechne obere und untere Schranken f\"ur $\mu(\mathfrak{g})$ als Funktion anderer Invarianten. }\\[1cm] Im allgemeinen kann man keine explizite Formel f\"ur $\mu(\mathfrak{g})$ erwarten, insbesondere nicht f\"ur nilpotente Lie Algebren. Die Frage ist daher, ob man f\"ur reduktive bzw. halbeinfache Lie Algebren $\mu(\mathfrak{g})$ bestimmen kann. Tats\"achlich gelingt dies f\"ur den Fall da\ss\ $\mathfrak{g}$ abelsch, einfach, halbeinfach oder reduktiv ist. Der Beweis dazu ist im wesentlichen kombinatorischer Natur und verwendet klassiche Resultate der Darstellungstheorie f\"ur reduktive Lie-Algebren. Allgemeiner untersuchen wir die $\mu$-Invariante auch f\"ur Lie Algebren deren aufl\"osbares Radikal abelsch ist. Wir betrachten weitere Invarianten, die mit der $\mu$-Invariante zusammenh\"angen. Abschliessend werden dazu einige spezielle Familien von solchen Lie Algebren im Detail betrachtet