Regularization error estimates for semilinear elliptic optimal control problems with pointwise state and control constraints

In this paper a class of semilinear elliptic optimal control problem with pointwise state and control constraints is studied. A sufficient second order optimality condition and uniqueness of the dual variables are assumed for that problem. Sufficient second order optimality conditions are shown for regularized problems with small regularization parameter. Moreover, error estimates with respect to the regularization parameter are derived

Optimal control of geometric partial differential equations

Optimal control problems for geometric (evolutionary) partial differential inclusions are considered. The focus is on problems which, in addition to the nonlinearity due to geometric evolution, contain optimization theoretic challenges because of non-smoothness. The latter might stem from energies containing non-smooth constituents such as obstacle-type potentials or terms modeling, e.g., pinning phenomena in microfluidics. Several techniques to remedy the resulting constraint degeneracy when deriving stationarity conditions are presented. A particular focus is on Yosida-type mollifications approximating the original degenerate problem by a sequence of nondegenerate nonconvex optimal control problems. This technique is also the starting point for the development of numerical solution schemes. In this context, also dual-weighted residual based error estimates are addressed to facilitate an adaptive mesh refinement. Concerning the underlying state model, sharp and diffuse interface formulations are discussed. While the former always allows for accurately tracing interfacial motion, the latter model may be dictated by the underlying physical phenomenon, where near the interface mixed phases may exist, but it may also be used as an approximate model for (sharp) interface motion. In view of the latter, (sharp interface) limits of diffuse interface models are addressed. For the sake of presentation, this exposition confines itself to phase field type diffuse interface models and, moreover, develops the optimal control of either of the two interface models along model applications. More precisely, electro-wetting on dielectric is used in the sharp interface context, and the control of multiphase fluids involving spinodal decomposition highlights the phase field technique. Mathematically, the former leads to a Hele-Shaw flow with geometric boundary conditions involving a complementarity system due to contact line pinning, and the latter gives rise to a Cahn-Hilliard Navier-Stokes model including a non-smooth obstacle type potential leading to a variational inequality constraint

Operator preconditioning for a class of inequality constrained optimal control problems

Abstract We propose and analyze two strategies for preconditioning linear operator equations that arise in PDE constrained optimal control in the framework of conjugate gradient methods. Our particular focus is on control or state constrained problems, where we consider the question of robustness with respect to critical parameters. We construct a preconditioner that yields favorable robustness properties with respect to critical parameters

Numerische Konzepte und Fehleranalysis zu elliptischen Randsteuerungsproblemen mit punktweisen Zustands- und Kontrollbeschränkungen

Optimization in technical applications described by partial differential equations plays a more and more important role. By means of the control the solution of a partial differential equation called state is influenced. Simultaneously a cost functional has to be minimized. In many technical applications pointwise constraints to the state or the control are reasonable. It is well known that the Lagrange multipliers with respect to pure state constraints are in general only regular Borel measures. This fact implies a lower regularity of the optimal solution of the problem. In this dissertation a linear quadratic optimal control problem governed by an elliptic partial differential equation an Neumann boundary control is investigated. Furthermore, we consider pointwise state constraints in an inner subdomain and bilateral constraints on the boundary control. Despite the above mentioned problems, we benefit from the localization of the Lagrange multiplier in the inner subdomain such that a higher regularity of the optimal control is shown. However, the so called dual variables of the optimal control problem are not unique. Hence, the application of well known and efficient optimization algorithms becomes difficult. Presenting a regularization concept, we will avoid these problems. We introduce an additional distributed control ("virtual control") which appears in the cost functional, the right hand side of the partial differential equation and in the regularized state constraints. The effect of regularization is influenced by several parameter functions. We derive an error estimate for the error between the optimal solution of the original problem and the regularized one. Moreover, under some assumptions on the parameter functions we obtain certain convergence rates of the regularization error. In the following a finite element based approximation of the regularized optimal control problems is established. Based on appropriate feasible test functions, we derive an error estimate between the optimal solution of the unregularized original problem and the regularized and discretized one. Thereby, we consider the regularization and discretization simultaneously and we propose a suitable coupling of the parameter functions and the mesh size. Forthcoming, we present the primal-dual active set strategy as a optimization method for solving the regularized optimal control problems. Moreover, we derive an error estimate between the current iterates of the algorithm and the optimal solution. Based on this, we construct an error estimator, which is reliable as an alternative stopping criterion for the primal-dual active set strategy. Finally, the theoretical results of this work are illustrated by several numerical examples.Physikalische und technische Anwendungen werden häufig durch partielle Differentialgleichungen beschrieben. Die Optimierung solcher Prozesse führt auf sogenannte Optimalsteuerprobleme mit partiellen Differentialgleichungen. Mit Hilfe einer Steuerungsvariable wird die Lösung der Differentialgleichung, welche Zustand genannt wird, beeinflusst. Gleichzeitig soll ein Zielfunktional minimiert werden. Bei vielen technischen Anwendungen sind punktweise Beschränkungen an den Zustand oder die Steuerung sinnvoll. Es ist bekannt, dass die zu den Zustandsbeschränkungen gehörigen Lagrangsche Multiplikatoren im allgemeinen nur reguläre Borel-Maße sind. Dies führt zu einer geringeren Regularität der optimalen Lösung des Problems. In dieser Dissertationsschrift wird ein linear-quadratisches Optimalsteuerproblem mit elliptischer partieller Differentialgleichung und Neumann-Randsteuerung untersucht. Wir betrachten punkteweise Zustandsschranken in einem inneren Teilgebiet und bilaterale Schranken an die Randsteuerung. Die räumliche Trennung der Zustandsbeschränkungen von dem Wirkungsgebiet der Steuerung gestattet an vielen Stellen den Einsatz von speziell konstruierten mathematischen Techniken. Dies betrifft sowohl Regularitätsaussagen als auch Fehlerabschätzungen. Allerdings sind die sogenannten dualen Variablen des Problems nicht eindeutig. Dies macht die Anwendung bekannter effizienter Optimierungsalgorithmen unmöglich. Es wird ein Regularisierungskonzept vorgestellt, um dieses Problem zu vermeiden. Dabei wird eine zusätzliche verteilte Steuerung ("virtuelle Steuerung") eingeführt, welche im Zielfunktional, in der rechten Seite der Differentialgleichungen und in den regularisierten Zustandsbeschränkungen auftaucht. Die Regularisierung wird durch verschiedene Parameterfunktionen beeinflusst. Wir leiten Abschätzungen für den Fehler zwischen der optimalen Lösung des Ausgangsproblems und der des regularisierten Problems her. Bei Verwendung geschickt gewählter Parameterfunktionen ergeben sich aus diesen Abschätzungen direkt Konvergenzraten für die Regularisierung. Im weiteren betrachten wir auch eine Diskretisierung des regularisierten Problems mit Hilfe von finiten Elementen. Basierend auf geeignet konstruierten zulässigen Testfunktionen wird eine Fehlerabschätzung der optimalen Lösung des unregularisierten Problems zur diskretisierten und regularisierten Lösung hergeleitet. Da der Regularisierungs- und der Diskretisierungsfehler gleichzeitig auftreten, wird eine geeignete Kopplung des Regularisierungsparameters mit der Gitterweite angegeben. Eine primal-duale aktive Mengenstrategie wird als Optimierungsalgorithmus zur Lösung der regularisierten Probleme vorgestellt. Weiterhin wird eine Fehlerabschätzung der aktuellen Iterierten dieses Algorithmus zur optimalen Lösung bewiesen. Basierend auf diesem Resultat wird ein Fehlerschätzer konstruiert, welcher als alternatives Abbruchkriterium für die aktive Mengenstrategie benutzt werden kann. Die Resultate der Arbeit werden durch verschiedene numerische Beispiele bestätigt

A virtual control concept for state constrained optimal control problems

Optimal control, Elliptic equation, State constraints, Boundary control, Regularization, Virtual control,