23 research outputs found
OTTER Experiments in a System of Combinatory Logic
This paper describes some experiments involving the automated theorem-proving
program OTTER in the system TRC of illative combinatory logic. We show how
OTTER can be steered to find a contradiction in an inconsistent variant of TRC,
and present some experimentally discovered identities in TRC
Systems of combinatory logic related to Quine's âNew Foundationsâ
AbstractSystems TRC and TRCU of illative combinatory logic are introduced and shown to be equivalent in consistency strength and expressive power to Quine's set theory âNew Foundationsâ (NF) and the fragment NFU + Infinity of NF described by Jensen, respectively. Jensen demonstrated the consistency of NFU + Infinity relative to ZFC; the question of the consistency of NF remains open. TRC and TRCU are presented here as classical first-order theories, although they can be presented as equational theories; they are not constructive
Analyse critique de la notion de variable. Points de vue sémiotique et formel
For B. Russell âThe variable is perhaps the most distinctively mathematical of all notions ; it is certainly also one of the most difficult to understandâ (The Principles of Mathematics, 1903). The aim of this paper is to highlight the meaning of variable in different fields of Mathematics: the expression of equations in Algebra with indeterminate entities; the analytical expression of functions in Analysis; the expression of quantification in Logic⊠We give a historical survey of this notion from ViĂšte and Descartes to Fregeâs representations of a concept, viewed as a non numerical function, yielding to the modern theory of quantification in first order languages. On one hand, the Peirceâs theory of signs, and on the other hand, with Churchâs functional types, λ-calculus âwith bound variablesâ and Curryâs combinatory logic âwithout bound variablesâ, are very useful tools for investigating different kinds of variables in Mathematics, in Logic and in theoretical Computer Sciences. For instance, it was showed that âbound variablesâ were not semiotic tools necessary to formulate quantification (in Fregeâs sense) in âclassicalâ Logic. Indeed, a simple quantifier is an operator which applies to a predicate by building a proposition; restricted quantifiers are derived from simple quantifiers by formal combinations with logical connectors (conditional or conjunction operators). We propose to take into account and to formalize, inside the framework of Combinatory Logic with types, (i) the âold logical notionsâ of âextension / intensionâ; (ii) determination operations from Port Royalâs Logic; (iii) the distinction from the anthropology and cognitive psychology between âtypicalâ and âatypicalâ instances of a concept, which brings us to define new quantifiers, called âstar quantifiersâ, conceived as determination operators acting on terms. These quantifiers are more adequate than the fregean quantifiers, for a natural languages processing. Thus, we are able to give a conceptual distinction between the meanings of âWhateverâ and âIndeterminateâ, implicitly used in Gentzenâs Natural Deduction; thanks to this distinction, we can clarify an apparent âparadoxâ emerging with the universal quantifier introduction rule.Pour B. Russell, la variable est peut-ĂȘtre une des notions les plus difficiles Ă comprendre en mathĂ©matiques (The Principles of Mathematics, 1903). En effet, la variable est fondamentalement polysĂ©mique. Sa signification varie avec les domaines dâutilisation ; tantĂŽt elle est utilisĂ©e pour indiquer une indĂ©termination dâun signe dans une Ă©quation ; tantĂŽt elle sert Ă dĂ©crire analytiquement une fonction en Analyse, tantĂŽt, on lâutilise en logique pour exprimer la quantification au moyen de « variables liĂ©es ». Nous donnons une brĂšve analyse historique de lâĂ©volution de cette notion en mathĂ©matiques, depuis sa crĂ©ation avec lâAlgĂšbre de ViĂšte et Descartes pour lâexpression des Ă©quations, jusquâĂ la reprĂ©sentation formelle dâun concept, formalisĂ© par Frege comme une fonction non numĂ©rique, ce qui a donnĂ© naissance aux modernes langages du premier ordre. Dâune part, la thĂ©orie des signes de Peirce et dâautre part, les types fonctionnels de Church, le λ-calcul « avec variables liĂ©es » ainsi que la logique combinatoire de Curry « sans variables liĂ©es », sont dâexcellents instruments qui sont convoquĂ©s pour examiner les diffĂ©rentes sortes de variables aussi bien en mathĂ©matiques, quâen logique ou en informatique thĂ©orique. Par exemple, nous montrons que la notion de « variable liĂ©e » nâest pas nĂ©cessaire pour la formulation de la quantification en logique et son analyse dans le fonctionnement des langues naturelles : un quantificateur simple est avant tout un opĂ©rateur qui sâapplique Ă un prĂ©dicat afin de construire une proposition ; un quantificateur restreint est dĂ©rivĂ© dâun quantificateur simple, obtenu par une composition fonctionnelle avec un connecteur logique (les opĂ©rateurs dâimplication ou de conjonction). Nous proposons de prendre en compte et de formaliser Ă lâintĂ©rieur du cadre formel de la logique combinatoire typĂ©e :(i) les « vielles notions » logiques « extension / intension », (ii) les distinctions issues de la psychologie cognitive et de lâanthropologie, entre les exemplaires « typiques » ou « atypiques » dâun concept, (iii) lâopĂ©ration de dĂ©termination » de la Logique de Port Royal,, ce qui nous a conduit Ă dĂ©finir les quantificateurs « star », considĂ©rĂ©s comme des opĂ©rateurs qui viennent apporter des dĂ©terminations supplĂ©mentaires aux termes, en particulier aux termes nominaux. Ces nouveaux quantificateurs sont plus adĂ©quats Ă lâanalyse logique des langues naturelles que les quantificateurs frĂ©gĂ©ens. Nous sommes ainsi capables de donner une distinction nette entre les significations de « quelconque » et «indĂ©terminĂ© », qui sont implicitement mises en Ćuvre dans la DĂ©duction Naturelle de Gentzen. Cela nous conduit Ă donner une solution Ă un paradoxe apparent qui surgit avec la rĂšgle dâintroduction du quantificateur universel
Church's Thesis and Functional Programming
David Turner's contribution to a volume published on the 70th anniversary of Church's Thesis.
ERRATUM: In the published version (Ontos Verlag 2006) Wadsworth's 1976 result on Solvability and head normal form (p6 bottom) was incorrectly attributed to Böhm - this has now been corrected
Analyse critique de la notion de variable. Points de vue sémiotique et formel
For B. Russell âThe variable is perhaps the most distinctively mathematical of all notions ; it is certainly also one of the most difficult to understandâ (The Principles of Mathematics, 1903). The aim of this paper is to highlight the meaning of variable in different fields of Mathematics: the expression of equations in Algebra with indeterminate entities; the analytical expression of functions in Analysis; the expression of quantification in Logic⊠We give a historical survey of this notion from ViĂšte and Descartes to Fregeâs representations of a concept, viewed as a non numerical function, yielding to the modern theory of quantification in first order languages. On one hand, the Peirceâs theory of signs, and on the other hand, with Churchâs functional types, λ-calculus âwith bound variablesâ and Curryâs combinatory logic âwithout bound variablesâ, are very useful tools for investigating different kinds of variables in Mathematics, in Logic and in theoretical Computer Sciences. For instance, it was showed that âbound variablesâ were not semiotic tools necessary to formulate quantification (in Fregeâs sense) in âclassicalâ Logic. Indeed, a simple quantifier is an operator which applies to a predicate by building a proposition; restricted quantifiers are derived from simple quantifiers by formal combinations with logical connectors (conditional or conjunction operators). We propose to take into account and to formalize, inside the framework of Combinatory Logic with types, (i) the âold logical notionsâ of âextension / intensionâ; (ii) determination operations from Port Royalâs Logic; (iii) the distinction from the anthropology and cognitive psychology between âtypicalâ and âatypicalâ instances of a concept, which brings us to define new quantifiers, called âstar quantifiersâ, conceived as determination operators acting on terms. These quantifiers are more adequate than the fregean quantifiers, for a natural languages processing. Thus, we are able to give a conceptual distinction between the meanings of âWhateverâ and âIndeterminateâ, implicitly used in Gentzenâs Natural Deduction; thanks to this distinction, we can clarify an apparent âparadoxâ emerging with the universal quantifier introduction rule.Pour B. Russell, la variable est peut-ĂȘtre une des notions les plus difficiles Ă comprendre en mathĂ©matiques (The Principles of Mathematics, 1903). En effet, la variable est fondamentalement polysĂ©mique. Sa signification varie avec les domaines dâutilisation ; tantĂŽt elle est utilisĂ©e pour indiquer une indĂ©termination dâun signe dans une Ă©quation ; tantĂŽt elle sert Ă dĂ©crire analytiquement une fonction en Analyse, tantĂŽt, on lâutilise en logique pour exprimer la quantification au moyen de « variables liĂ©es ». Nous donnons une brĂšve analyse historique de lâĂ©volution de cette notion en mathĂ©matiques, depuis sa crĂ©ation avec lâAlgĂšbre de ViĂšte et Descartes pour lâexpression des Ă©quations, jusquâĂ la reprĂ©sentation formelle dâun concept, formalisĂ© par Frege comme une fonction non numĂ©rique, ce qui a donnĂ© naissance aux modernes langages du premier ordre. Dâune part, la thĂ©orie des signes de Peirce et dâautre part, les types fonctionnels de Church, le λ-calcul « avec variables liĂ©es » ainsi que la logique combinatoire de Curry « sans variables liĂ©es », sont dâexcellents instruments qui sont convoquĂ©s pour examiner les diffĂ©rentes sortes de variables aussi bien en mathĂ©matiques, quâen logique ou en informatique thĂ©orique. Par exemple, nous montrons que la notion de « variable liĂ©e » nâest pas nĂ©cessaire pour la formulation de la quantification en logique et son analyse dans le fonctionnement des langues naturelles : un quantificateur simple est avant tout un opĂ©rateur qui sâapplique Ă un prĂ©dicat afin de construire une proposition ; un quantificateur restreint est dĂ©rivĂ© dâun quantificateur simple, obtenu par une composition fonctionnelle avec un connecteur logique (les opĂ©rateurs dâimplication ou de conjonction). Nous proposons de prendre en compte et de formaliser Ă lâintĂ©rieur du cadre formel de la logique combinatoire typĂ©e :(i) les « vielles notions » logiques « extension / intension », (ii) les distinctions issues de la psychologie cognitive et de lâanthropologie, entre les exemplaires « typiques » ou « atypiques » dâun concept, (iii) lâopĂ©ration de dĂ©termination » de la Logique de Port Royal,, ce qui nous a conduit Ă dĂ©finir les quantificateurs « star », considĂ©rĂ©s comme des opĂ©rateurs qui viennent apporter des dĂ©terminations supplĂ©mentaires aux termes, en particulier aux termes nominaux. Ces nouveaux quantificateurs sont plus adĂ©quats Ă lâanalyse logique des langues naturelles que les quantificateurs frĂ©gĂ©ens. Nous sommes ainsi capables de donner une distinction nette entre les significations de « quelconque » et «indĂ©terminĂ© », qui sont implicitement mises en Ćuvre dans la DĂ©duction Naturelle de Gentzen. Cela nous conduit Ă donner une solution Ă un paradoxe apparent qui surgit avec la rĂšgle dâintroduction du quantificateur universel