A unified meshfree pseudospectral method for solving both classical and fractional PDEs

In this paper, we propose a meshfree method based on the Gaussian radial basis function (RBF) to solve both classical and fractional PDEs. The proposed method takes advantage of the analytical Laplacian of Gaussian functions so as to accommodate the discretization of the classical and fractional Laplacian in a single framework and avoid the large computational cost for numerical evaluation of the fractional derivatives. These important merits distinguish it from other numerical methods for fractional PDEs. Moreover, our method is simple and easy to handle complex geometry and local refinement, and its computer program implementation remains the same for any dimension $d \ge 1$. Extensive numerical experiments are provided to study the performance of our method in both approximating the Dirichlet Laplace operators and solving PDE problems. Compared to the recently proposed Wendland RBF method, our method exactly incorporates the Dirichlet boundary conditions into the scheme and is free of the Gibbs phenomenon as observed in the literature. Our studies suggest that to obtain good accuracy the shape parameter cannot be too small or too big, and the optimal shape parameter might depend on the RBF center points and the solution properties.Comment: 24 pages; 15 figure

Aspects of fractional-order modeling and efficient bases to simulate complex materials using finite element methods

Orientadores: Marco Lúcio Bittencourt, Pablo Andrés Muñoz-RojasTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia MecânicaResumo: Este trabalho foca em potenciais melhorias de aproximações numéricas e eficiência para a simulação de sistemas com materiais complexos, tais como tecidos biológicos. Estes materiais possuem comportamento visco-elasto-plástico sujeito a grandes deformações e dano. Nesse sentido, foca-se no desenvolvimento de modelos visco-elasto-plásticos fracionários com incorporação de dano. Derivadas fracionárias são operadores integro-diferenciais que possuem um núcleo de convolução seguindo uma lei da potência \textit{(power-law)}, e naturalmente descrevem o comportamento associado de relaxação/fluência observados em um grande quantidade de materiais denominados materiais moles. O sistema resultante de equações diferenciais fracionárias no tempo é discretizado implicitamente, e algoritmos de mapeamento de retorno fracionários são propostos, que generalizam as versões clássicas quando a ordem fracionária tende à ordem inteira. Os algoritmos são incorporados em códigos de elementos finitos de maneira simples. Também foca-se no uso de elementos finitos de alta ordem, e para obter melhor eficiência, bases de mínima energia foram desenvolvidas, juntamente com diagonalização simultânea das matrizes de massa e rigidez. Este procedimento permite obter números de condição praticamente constantes para as matrizes dos elementos usando polinômios de interpolação de alta ordem. Os mesmos são de simples implementação em códigos de elementos finitos, e neste trabalho faz-se o uso da plataforma $(hp)^2$-FEM, nas versões serial e paralela. O uso de bases de mínima energia permitiu uma redução significativa do tempo de solução do sistema linear de equações para problemas estruturais transientes, lineares e não-lineares, utilizando integrações temporais explícita e implícitaAbstract: This work focuses on the potential improvement of the numerical approximation and efficiency to simulate systems with complex materials, such as biological tissues. Such materials have visco-elasto-plastic behavior, subject to large strains, and undergo damage. In this sense, we focus on the development of fractional-order visco-elasto-plastic models, incorporating damage effects. Fractional-order derivatives are integro-differential operators that consider a power-law convolution kernel, and naturally describe the power-law behavior observed in the viscous relaxation/creep of soft materials, as well as the power-law hardening. The resulting system of time-fractional differential equations is discretized in a fully implicit fashion, and we develop generalized, fractional-order return mapping algorithms that recover their classical counterparts as the fractional orders approach integer values. The algorithms are incorporated in finite element codes in a straightforward way. We also make use of high-order finite element schemes, and develop efficient, high-order, minimum energy bases in conjunction with simultaneous diagonalization procedures for mass and stiffness matrices, in order to obtain almost constant condition numbers for the element mass and stiffness matrices, when using high-order interpolating polynomials. This scheme is straightforward to implemented in finite element codes, and we incorporated it in the high-order finite element framework $(hp)^2$-FEM in serial and parallel versions. The minimum energy procedure allowed a significant reduction in the linear system solution times for transient, linear and nonlinear structural problems, using explicit and implicit time integrationDoutoradoMecanica dos Sólidos e Projeto MecanicoDoutor em Engenharia MecânicaCAPE