A Locally Optimal Triangulation of the Hyperbolic Paraboloid

International audienceGiven a set S of data points in R2 and corresponding data val ues for a specific non-convex surface, the unit hyperbolic paraboloid, we consider the problem of finding a locally optimal triangulation of S for the linear approximation of this surface. The chosen optimality criterion will be the L2 norm: it means that we will try to find directly a triangulation that minimizes the L2 error made when approximating locally the surface with triangles

Triangulations et quadriques

Given a set S of data points on a surface F whose equation is z = f(x,y), we would like to triangulate the convex hull of the projection of F on the xy-plane. This triangulation determines a linear approximation of F whose quality is given by a measure of the approximation error. It has been recently proved that the Delaunay triangulation is optimal with respect to Lp-norm criteria, when used for approximating convex quadratic functions. But, little research has been carried out for non convex surfaces. This work studies the approximation, with respect to L1- and L2-norms, of a non convex surface by using a triangulation. We consider a simple case: the hyperbolic paraboloid z = x2 − y2. A construction is given for finding the separation curves of a triangle ∆, the curves limiting the planar zones where ∆ will be kept in a locally optimal triangulation of the hyperbolic paraboloid. Triangu- lation algorithms that use several heuristics based on the separation curves are amply tested and are shown to be better than the Delaunay triangulation. A comparison with globally optimal triangulations which are obtained by means of exponential programs shows that these algorithms finally give "good" trian- gulations. Our research proves that such a process can be easily extended to general quadratic functions z = αx2 + βy2 + γxy + δ1x + δ2y + δ3.Soit S un ensemble de points pris sur une surface F d'équation z = f(x,y) ; on projette S dans le plan (xOy), et on désire construire une triangulation de l'enveloppe convexe de la projection de S qui déterminera une approximation linéaire par morceaux de F, dont la qualité sera liée à une mesure de l'erreur d'approximation de la surface. Il a été récemment prouvé que la triangulation de Delaunay était optimale pour des critères de normes Lp, lorsqu'il s'agissait d'approcher linéairement toute fonction quadratique convexe, dans un espace de dimension quelconque. En revanche, très peu de recherches ont été menées lorsque la surface n'est pas convexe. Ce mémoire propose donc d'étudier l'approximation par une tri- angulation, pour des critères de normes L1 et L2, d'une surface non convexe d'équation la plus simple possible : le paraboloïde hyperbolique défini par z = x2 − y2. Une construction est ainsi donnée pour déterminer, de manière naturelle, les courbes de séparation d'un triangle ∆, c'est-à-dire les limites du plan pour lesquelles ∆ doit être conservé dans une triangulation localement op- timale du paraboloïde hyperbolique. Des algorithmes de triangulation qui font appel à diverses heuristiques fondées sur les courbes de séparation ont été abon- damment testés ; une amélioration significative par rapport à la triangulation de Delaunay a été mise en évidence. Une comparaison avec des triangulations glob- alement optimales, dont l'obtention n'est possible qu'au moyen de programmes de complexité exponentielle, prouve que ces algorithmes rendent finalement de "bonnes" triangulations. Les recherches montrent qu'un tel procédé peut facile- ment être généralisé à toutes les surfaces définies par des fonctions quadratiques, de la forme z = αx2 + βy2 + γxy + δ1x + δ2y + δ3