7 research outputs found
A numerical approach to the simulation of granular and multiphase flows
Multiphase flows have been an active area of research for decades. Despite this, dense compressible gas-solid flows are still poorly understood. A experiment developed recently [Wagner et al., Exp. Fluids 52, 1507 (2012)] is able to isolate these conditions through the use of a multiphase shock tube. However, the behavior of the flow inside the particle curtain remains unclear. The objective of this work is to use numerical simulations to understand the fluid dynamics at the particle scale in this flow regime. An immersed boundary method is used to model the solid particles. The particles are tracked in the Lagrangian reference frame and collisions are modeled using the hard sphere approach. The fluid phase is solved on an adaptive grid using the Parallel Adaptive Wavelet-Collocation Method.
Detailed properties of the particle curtain are necessary for accurate simulations. Therefore, the discrete element method (DEM) is used to simulate the particle curtain in isolation. The model is first validated through comparison to a granular channel flow experiment. The mean and fluctuation velocity profiles are found to show good agreement. A fully three dimensional simulation of the particle curtain used by Wagner et al. yields information about the curtain\u27s volume fraction and velocity profiles. The results suggest that the volume fraction profile is not uniform as previously thought
Wavelet-based numerical methods for the solution of the Nonuniform Multiconductor Transmission Lines
This work presents a new Time-Domain Space Expansion (TDSE) method for the numerical solution of the Nonuniform Multiconductor Transmission Lines (NMTL). This method is based on a weak formulation of the NMTL equations, which leads to a class of numerical schemes of different approximation order according to the particular choice of some trial and test functions. The core of this work is devoted to the definition of trial and test functions that can be used to produce accurate representations of the solution by keeping the computational effort as small as possible. It is shown that bases of wavelets are a good choice
Métodos numéricos adaptativos para a resolução de modelos multidimensionais em engenharia química
Tese de doutoramento em Engenharia Química (Processos Químicos), apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de CoimbraO objectivo do trabalho de investigação consiste no desenvolvimento e teste de
métodos numéricos adaptativos, aplicáveis na resolução eficiente de modelos
matemáticos diferenciais evolutivos de dimensão arbitrária, que exibam soluções com
gradientes elevados localizados no tempo e no espaço, e sejam relevantes no âmbito
específico da modelação de processos químicos. Para tal, idealizam-se códigos
computacionais para a aplicação e teste dos algoritmos numéricos desenvolvidos. A
opção de programar os algoritmos em linguagem FORTRAN deve-se principalmente ao
facto desta linguagem ser extremamente adequada ao desenvolvimento de ciclos
complexos de operações lógicas e/ou algébricas, característicos deste tipo de
algoritmos matemáticos. Por outro lado, o recurso à versão específica FORTRAN 77
deve-se ao facto desta se revelar suficiente para uma demonstração genérica da
capacidade de execução dos programas em condições triviais, definidas num ambiente
de processamento referente a um laptop comercial convencional, sem grandes
preocupações de optimização intensiva do esforço computacional.
De modo a testar a robustez e eficiência dos métodos, estes foram sujeitos de forma
sistemática a modelos de complexidade crescente, desde exercícios de geração de
malha, até à integração de problemas de equações diferenciais parciais (PDE’s)
escalares e sistemas de equações diferenciais (apenas em casos unidimensionais). Os
resultados disponibilizados permitem uma confirmação genérica da utilidade dos
métodos para uma grande variedade de problemas que abrangem diversas áreas
importantes da modelação de processos químicos como: combustão, adsorção,
reacção química, mecânica de fluidos, etc; normalmente caracterizados por exibirem
soluções com particularidades extremas.
Os métodos de geração de malha apresentados são baseados em estratégias de
colocação nodal controladas pela detecção de oscilações ou variações bruscas em
aproximações numéricas avaliadas por fórmulas de diferenças finitas, que possibilitam
a especificação de dois tipos de critérios denominados por C1 e C2, respectivamente.
Estes denotam uma aptidão geral muito satisfatória para a identificação, localização e
acompanhamento de frentes abruptas ou descontinuidades nos perfis de solução.
Simultaneamente, os algoritmos permitem o reconhecimento das regiões de menor
actividade da solução onde a malha mantém a sua esparsidade apenas limitada pela
definição da malha base estabelecida por defeito idealizada como garante de um
suporte mínimo para a solução numérica. A escolha de aproximações de diferenças
finitas para a definição de critérios de refinamento de malha deve-se exactamente a
uma tentativa de exploração das suas reconhecidas limitações, ou seja da sua
tendência para a introdução de anomalias sem significado físico nas soluções
numéricas. Deste modo, a pesquisa desse tipo de anomalias possibilita uma estratégia
simples de detecção de regiões de maior actividade da solução e, consequentemente,
seleccionáveis para refinamento de malhas inicialmente estabelecidas com um nível de
resolução mínimo.
A estratégia de integração numérica baseada num procedimento MOL (Method Of
Lines) recorre a esquemas de estimação das derivadas espaciais de diferenças finitas
(FD) ou de alta resolução (HRS) que geram sistemas de equações diferenciais ordinárias (ODE’s) resolvidos por integradores ODE na direcção temporal. Opta-se por
testar a performance das aproximações FD nos procedimentos de integração MOL de
modo a demonstrar a potencialidade de uma estratégia conceptualmente mais simples
e directa na abordagem a exemplos problemáticos. Esta análise é complementada com
o estudo de uma estratégia de discretização HRS claramente direccionada para lidar
com as derivadas espaciais de primeira ordem que genericamente definem a natureza
hiperbólica dos problemas diferenciais. Os resultados obtidos são geralmente
satisfatórios, verificando-se melhores desempenhos dos métodos para diferenças FD
descentradas que acompanhem o movimento das ondas em problemas de carácter
parabólicos e procedimentos HRS no caso de exemplos essencialmente hiperbólicos.
Os algoritmos revelam desempenhos aceitáveis, quer em relação a exactidão dos
resultados, como do esforço computacional requerido. Assim, mostram-se bastante
eficazes para uma larga gama de equações hiperbólicas e parabólicas e para problemas
com condições fronteira de diversos tipos, quer estacionárias como evolutivas.
A performance dos critérios de colocação do tipo C1 e C2 é relativamente equivalente
para a generalidade dos exemplos testados. No entanto, verifica-se uma tendência
para uma maior sensibilidade do critério C1 que necessita tipicamente de condições
mais exigentes referentes a uma escala de tolerância mais reduzida em alguns
modelos, para além de uma notória propensão para ao desenvolvimento de
perturbações nos perfis de solução do que o critério C2 que se revela
comparativamente mais estável. Por outro lado, o critério do tipo C1 ajusta-se
satisfatoriamente à integração de problemas bidimensionais.
O passo crítico dos algoritmos de integração numérica adaptativa consiste na operação
de interpolação que executa a passagem da solução suportada numa malha gerada no
passo temporal anterior para a solução definida sobre a malha seguinte
correspondente ao passo actual. Os passos interpolativos são inevitáveis neste tipo de
estratégias já que se relacionam intrinsecamente com a natureza estática do processo
adaptativo seleccionado. Portanto, a qualidade do procedimento de interpolação
revela-se essencial ao sucesso do método adaptativo de integração, principalmente no
caso de problemas bidimensionais, onde o número de nodos potencialmente
activáveis em cada passo é consideravelmente superior aos problemas
unidimensionais. Esta questão demonstra-se especialmente premente em exemplos
de carácter parabólico, ou seja predominantemente difusivos em que se constata que
a sensibilidade do problema numérico a erros de interpolação relativamente reduzidos
é muito superior, promovendo a introdução de fenómenos de instabilidade numérica
nos perfis de solução. Assim, conclui-se que os modelos teoricamente menos
problemáticos colocam maiores desafios de desenvolvimento de instabilidade e
perturbações numéricas do que os problemas correspondentes de natureza
predominantemente hiperbólica, onde a aplicação dos algoritmos adaptativos denota
uma visível maior eficácia e robustez.The general objective of the present research work relates to the development and
implementation of numerical adaptive methods for the effective solution of
differential non-stationary mathematical models, which exhibit steep gradient
solutions localized in space and time. The problems of interest should have recognized
relevance in the particular field of chemical processes modelation. For that purpose,
computational codes are constructed for the execution and test of the developed
numerical algorithms. The choice of programming the codes in FORTRAN is due to the
fact of this language being especially well adapted to the codification of complex loops
of logical and/or algebraic operations, which represent the core of this type of
mathematical algorithms. On the other hand, the FORTRAN 77 version reveals itself
sufficient for a clear demonstration of the implementation ability of the codes under
trivial conditions (defined in a processing platform available in a conventional
commercial laptop), without any concerns regarding a intensive optimization of
computation effort.
In order to test the robustness and effectiveness of the methods, these are
systematically subjected to dealing with problems of increasing complexity, from
simple exercises of grid generation to the resolution of scalar partial differential
equations (PDE’s) and systems of PDE’s (solely for one-dimensional examples). The
available results ensure a generic confirmation of the methods usefulness for a wide
variety of problems covering important fields in chemical process modelation and
simulation like: combustion, adsorption, chemical reaction, fluid mechanics, etc;
usually characterized by developing solutions with extreme features.
The grid generation methods presented in this work are based in nodal collocation
techniques controlled by numerical oscillations and steep variations tracking on finite
differences (FD) derivative approximations, which define two classes of criteria, named
C1 and C2, respectively. These criteria reveal notorious ability to identify, locate and
follow steep fronts and discontinuities in the numerical solutions profiles.
Furthermore, the algorithms allow the recognition of lower activity regions where the
grid maintains its sparsity, only limited by the definition of a default resolution lower
threshold, which defines the minimum support to the solution. The choice of including
FD approximations in the grid refining procedures is explained as an attempt of
exploring its recognized limitations, namely its propensity to introduce non-physical
perturbations in the numerical solution. Therefore, the detection of these anomalies
allows the development of a simple scheme for the higher activity regions, selected for
increasing level refinement operations.
The numerical resolution strategy is based in a MOL (Method Of Lines) procedure that
uses FD or high resolution (HRS) spatial derivatives estimation schemes for the
generation of ordinary differential equations (ODE’s) systems, solved with standard
ODE integrators in the time direction. The option of testing the FD approximations
performance in the MOL integration process is due to the fact that the FD strategy
represents a conceptually simpler and direct approach to difficult problems. This
analysis is complemented with the study of the HRS discretizations, clearly directed for
dealing with first order spatial derivatives (representing advection phenomena) which generally define the hyperbolic nature of the problem. These algorithms provide good
results, with more successful performances for biased FD formulas that tag along the
movement of the waves in parabolic examples, and HRS procedures for mainly
hyperbolic cases. These procedures show acceptable result precision and require
reasonable computing effort. Thus, they seem rather effective for a large range of
hyperbolic and parabolic models, and several types of boundary conditions.
The performance of the C1 and C2 type collocation criteria is relatively equivalent for
most tested examples. However, the criterion C1 reveals a noticeable tendency to
greater sensitivity towards the solution conditions, as it typically needs more
demanding settings referring to reduced tolerance scales in some examples and a
notorious propensity to the development of non-physical anomalies in the solutions
profiles, comparing to the relatively more stable C2 criterion. On the other hand, the
C1 type criterion is rather successful in dealing with two-dimensional problems.
The critical step in the adaptive numerical integration algorithms refers to the
interpolation operations that implements the translation of the solution supported on
a grid generated at the previous time step to the novel solution defined on actual step
grid. The interpolative operations are inevitable in the context of this type of strategies
as they are intrinsically related with the static nature of the adaptive nature of the
selected adaptive process. Therefore, the quality of the interpolation procedure is
rather essential to the success of the integration method, mainly for two-dimensional
problems where the number of potentially active nodes at each step is far superior to
correspondent one-dimensional examples. This matter is especially important for
parabolic mainly diffusive problems, which reveal themselves rather sensitive to
otherwise reasonable interpolative errors, promoting the development of numerical
instability in the solution profiles. It is concluded that theoretically less problematic
models pose greater challenges than predominantly hyperbolic problems, where the
application of the adaptive algorithms shows visible robustness and effectiveness
Métodos numéricos adaptativos para a resolução de modelos multidimensionais em Engenharia Química
O objectivo do trabalho de investigação consiste no desenvolvimento e teste de métodos numéricos adaptativos, aplicáveis na resolução eficiente de modelos matemáticos diferenciais evolutivos de dimensão arbitrária, que exibam soluções com gradientes elevados localizados no tempo e no espaço, e sejam relevantes no âmbito específico da modelação de processos químicos. Para tal, idealizam-se códigos computacionais para a aplicação e teste dos algoritmos numéricos desenvolvidos. A opção de programar os algoritmos em linguagem FORTRAN deve-se principalmente ao facto desta linguagem ser extremamente adequada ao desenvolvimento de ciclos complexos de operações lógicas e/ou algébricas, característicos deste tipo de algoritmos matemáticos. Por outro lado, o recurso à versão específica FORTRAN 77 deve-se ao facto desta se revelar suficiente para uma demonstração genérica da capacidade de execução dos programas em condições triviais, definidas num ambiente de processamento referente a um laptop comercial convencional, sem grandes preocupações de optimização intensiva do esforço computacional.
De modo a testar a robustez e eficiência dos métodos, estes foram sujeitos de forma sistemática a modelos de complexidade crescente, desde exercícios de geração de malha, até à integração de problemas de equações diferenciais parciais (PDE’s) escalares e sistemas de equações diferenciais (apenas em casos unidimensionais). Os resultados disponibilizados permitem uma confirmação genérica da utilidade dos métodos para uma grande variedade de problemas que abrangem diversas áreas importantes da modelação de processos químicos como: combustão, adsorção, reacção química, mecânica de fluidos, etc; normalmente caracterizados por exibirem soluções com particularidades extremas.
Os métodos de geração de malha apresentados são baseados em estratégias de colocação nodal controladas pela detecção de oscilações ou variações bruscas em aproximações numéricas avaliadas por fórmulas de diferenças finitas, que possibilitam a especificação de dois tipos de critérios denominados por C1 e C2, respectivamente. Estes denotam uma aptidão geral muito satisfatória para a identificação, localização e acompanhamento de frentes abruptas ou descontinuidades nos perfis de solução. Simultaneamente, os algoritmos permitem o reconhecimento das regiões de menor actividade da solução onde a malha mantém a sua esparsidade apenas limitada pela definição da malha base estabelecida por defeito idealizada como garante de um suporte mínimo para a solução numérica. A escolha de aproximações de diferenças finitas para a definição de critérios de refinamento de malha deve-se exactamente a uma tentativa de exploração das suas reconhecidas limitações, ou seja da sua tendência para a introdução de anomalias sem significado físico nas soluções numéricas. Deste modo, a pesquisa desse tipo de anomalias possibilita uma estratégia simples de detecção de regiões de maior actividade da solução e, consequentemente, seleccionáveis para refinamento de malhas inicialmente estabelecidas com um nível de resolução mínimo.
A estratégia de integração numérica baseada num procedimento MOL (Method Of Lines) recorre a esquemas de estimação das derivadas espaciais de diferenças finitas (FD) ou de alta resolução (HRS) que geram sistemas de equações diferenciais ordinárias (ODE’s) resolvidos por integradores ODE na direcção temporal. Opta-se por testar a performance das aproximações FD nos procedimentos de integração MOL de modo a demonstrar a potencialidade de uma estratégia conceptualmente mais simples e directa na abordagem a exemplos problemáticos. Esta análise é complementada com o estudo de uma estratégia de discretização HRS claramente direccionada para lidar com as derivadas espaciais de primeira ordem que genericamente definem a natureza hiperbólica dos problemas diferenciais. Os resultados obtidos são geralmente satisfatórios, verificando-se melhores desempenhos dos métodos para diferenças FD descentradas que acompanhem o movimento das ondas em problemas de carácter parabólicos e procedimentos HRS no caso de exemplos essencialmente hiperbólicos. Os algoritmos revelam desempenhos aceitáveis, quer em relação a exactidão dos resultados, como do esforço computacional requerido. Assim, mostram-se bastante eficazes para uma larga gama de equações hiperbólicas e parabólicas e para problemas com condições fronteira de diversos tipos, quer estacionárias como evolutivas.
A performance dos critérios de colocação do tipo C1 e C2 é relativamente equivalente para a generalidade dos exemplos testados. No entanto, verifica-se uma tendência para uma maior sensibilidade do critério C1 que necessita tipicamente de condições mais exigentes referentes a uma escala de tolerância mais reduzida em alguns modelos, para além de uma notória propensão para ao desenvolvimento de perturbações nos perfis de solução do que o critério C2 que se revela comparativamente mais estável. Por outro lado, o critério do tipo C1 ajusta-se satisfatoriamente à integração de problemas bidimensionais.
O passo crítico dos algoritmos de integração numérica adaptativa consiste na operação de interpolação que executa a passagem da solução suportada numa malha gerada no passo temporal anterior para a solução definida sobre a malha seguinte correspondente ao passo actual. Os passos interpolativos são inevitáveis neste tipo de estratégias já que se relacionam intrinsecamente com a natureza estática do processo adaptativo seleccionado. Portanto, a qualidade do procedimento de interpolação revela-se essencial ao sucesso do método adaptativo de integração, principalmente no caso de problemas bidimensionais, onde o número de nodos potencialmente activáveis em cada passo é consideravelmente superior aos problemas unidimensionais. Esta questão demonstra-se especialmente premente em exemplos de carácter parabólico, ou seja predominantemente difusivos em que se constata que a sensibilidade do problema numérico a erros de interpolação relativamente reduzidos é muito superior, promovendo a introdução de fenómenos de instabilidade numérica nos perfis de solução. Assim, conclui-se que os modelos teoricamente menos problemáticos colocam maiores desafios de desenvolvimento de instabilidade e perturbações numéricas do que os problemas correspondentes de natureza predominantemente hiperbólica, onde a aplicação dos algoritmos adaptativos denota uma visível maior eficácia e robustez
A Wavelet-Galerkin method for the Stokes-equations
The purpose of this paper is to investigate Galerkin schemes for the Stokes-equations based on a suitably adapted multiresolution analysis. In particular, it will be shown that techniques developed in connection with shift-invariant refinable spaces give rise to trial spaces satisfying the Ladysenskaja-Babuska-Brezzi condition for any spatial dimension. Moreover, in the time dependent case efficient preconditioners for the Schur complements of the discrete systems of equations can be based on corresponding stable multiscale decompositions. The results are illustrated by some concrete examples of adapted wavelets and corresponding numerical experiments. (orig.)SIGLEAvailable from TIB Hannover: RN 8680(111) / FIZ - Fachinformationszzentrum Karlsruhe / TIB - Technische InformationsbibliothekDEGerman