Matematiikan joukko-opillisia perusteita

Tutkielman aiheena on joidenkin matematiikan peruskäsitteiden esittäminen joukkoopin keinoin. Muun muassa järjestetyt parit eli kahden komponentin vektorit ja luonnolliset luvut voidaan kohtalaisen yksinkertaisesti esittää pelkistettyinä joukkoina. Pelkistetyt joukot ovat joukkoja, joiden kaikki jäsenet, jäsenten jäsenet ja niin edespäin ovat joukkoja. Määritelmät ja todistukset esitetään formalismin hengessä matemaattisella symbolikielellä. Tarkoitus on varmistua, että perustelut todella noudattavat tutkielman alussa asetettuja sääntöjä ja sopimuksia ja perustuvat tutkielmassa esitettyihin aksioomiin. Aksiomaattisen joukko-opin suhdetta intuitioon perustuvaan naiiviin joukkooppiin pyritään selvittämään perustelemalla syitä eri aksioomien asettamiselle. Monen asetetun aksiooman tarkoitus on mahdollistaa uusien joukkojen muodostaminen tai toisin ilmaisten kertoa, minkälaisia joukkoja on olemassa. Tällaisia aksioomia asetettaessa on oltava varovainen, jottei teoria ajaudu ristiriitaan. Joukkoja on voitava määritellä esimerkiksi ominaisuuden perusteella, jonka täyttävät alkiot valitaan joukon jäseniksi. Siksi esitetään separaatioaksiooma, jonka muoto on niin kutsutun Russellin paradoksin vuoksi harkittava tarkoin. Lopuksi tarkastellaan lyhyesti äärettömiä joukkoja ja joukkoina esitettyjen luonnollisten lukujen yhteenlaskua. Yksinkertaisuudestaan huolimatta äärettömyyden ja yhteenlaskun käsitteet osoittautuvat tämän tutkielman puitteissa liian hankaliksi, kun ne yritetään esittää täsmällisen formaalisesti.Siirretty Doriast

Leaving mathematics as it is: Wittgenstein’s later philosophy of mathematics

Wittgenstein’s later philosophy of mathematics has been widely interpreted to involve Wittgenstein’s making dogmatic requirements of what can and cannot be mathematics, as well as involving Wittgenstein dismissing whole areas (e.g. set theory) as not legitimate mathematics. Given that Wittgenstein promised to ‘leave mathematics as it is’, Wittgenstein is left looking either hypocritical or confused. This thesis will argue that Wittgenstein can be read as true to his promise to ‘leave mathematics as it is’ and that Wittgenstein can be seen to present coherent, careful and non-dogmatic treatments of philosophical problems in relation to mathematics. If Wittgenstein’s conception of philosophy is understood in sufficient detail, then it is possible to lift the appearance of confusion and contradiction in his work on mathematics. Whilst apparently dogmatic and sweeping claims figure in Wittgenstein’s writing, they figure only as pictures to be compared against language-use and not as definitive accounts (which would claim exclusive right to correctness). Wittgenstein emphasises the importance of the applications of mathematics and he feels that our inclination to overlook the connections of mathematics with its applications is a key source of a number of philosophical problems in relation to mathematics. Wittgenstein does not emphasise applications to the exclusion of all else or insist that nothing is mathematics unless it has direct applications. Wittgenstein does question the alleged importance of certain non-applied mathematical systems such as set theory and the logicist systems of Frege and Russell. But his criticism is confined to the aspirations towards philosophical insight that has been attributed to those systems. This is consonant with Wittgenstein’s promises in (PI, §124) to ‘leave mathematics as it is’ and to see ‘leading problems of mathematical logic’ as ‘mathematical problems like any other.’ It is the aim of this thesis to see precisely what Wittgenstein means by these promises and how he goes about keeping them

Implementation of Bourbaki's Elements of Mathematics in Coq: Part Two; Ordered Sets, Cardinals, Integers

We believe that it is possible to put the whole work of Bourbaki into a computer. One of the objectives of the Gaia project concerns homological algebra (theory as well as algorithms); in a first step we want to implement all nine chapters of the book Algebra. But this requires a theory of sets (with axiom of choice, etc.) more powerful than what is provided by Ensembles; we have chosen the work of Carlos Simpson as basis. This reports lists and comments all definitions and theorems of the Chapter ''Ordered Sets, Cardinals, Integers''. Version 3 is based on the Coq ssreflect library. Version 5 implements many properties of ordinal numbers and infinite cardinal numbers. Version 6 includes the Veblen hierarchy of ordinals, the Schütte function psi, and a bit of theory of models.Version 7 includes rational and real numbers. Versions 8 and 9 include more theorems about ordinal numbers. Version 9 includes Sperner's theorem, and corrects a mistake in the size of one. The code (including some exercises) is available on the Web, under http://www-sop.inria.fr/marelle/gaia .Nous pensons qu’il est possible de mettre dans un ordinateur l’ensemble de l’œuvre de Bourbaki. L’un des objectifs du projet Gaia concerne l’algèbre homologique (théorie et algorithmes); dans une première étape nous voulons implémenter les neuf chapitres du livre Algèbre. Au préalable, il faut implémenter la théorie des ensembles. Nous utilisons l’Assistant de Preuve Coq; les choix fondamentaux et axiomes sont ceux proposés par Carlos Simpson. Ce rapport liste et commente toutes les définitions et théorèmes du Chapitre “Ensembles ordonnés, cardinaux, nombres entiers”. La version 9 de ce document décrit la bibliothèque à la fin de l'année 2017. Une partie des exercises a été résolue. Le code est disponible sur le site Web http://www-sop.inria.fr/marelle/gai