Maximum flow is approximable by deterministic constant-time algorithm in sparse networks

We show a deterministic constant-time parallel algorithm for finding an almost maximum flow in multisource-multitarget networks with bounded degrees and bounded edge capacities. As a consequence, we show that the value of the maximum flow over the number of nodes is a testable parameter on these networks.Comment: 8 page

Random local algorithms

Consider the problem when we want to construct some structure on a bounded degree graph, e.g. an almost maximum matching, and we want to decide about each edge depending only on its constant radius neighbourhood. We show that the information about the local statistics of the graph does not help here. Namely, if there exists a random local algorithm which can use any local statistics about the graph, and produces an almost optimal structure, then the same can be achieved by a random local algorithm using no statistics.Comment: 9 page

Сублінійний оптимальний наближений алгоритм реоптимізації для задачі про мінімальне вершинне покриття графа

За наближеного розв’язання дискретних задач оптимізації виникає така iдея: чи можна, виходячи з інформації про оптимальний розв’язок екземпляра задачі (або близького до нього), використовувати цю інформацію для знаходження оптимального (або близького до нього) розв’язку екземпляра задачі, отриманого в результатi незначних локальних модифiкацiй вихiдного екземпляра. Цей пiдхiд, названий реоптимізацією, дозволяє в деяких випадках отримати кращу якiсть наближення (яке визначається як вiдношення значення наближеного розв’язку до точного i називається вiдношенням апроксимацiї) у локально модифiкованих екземплярах, нiж у вихiдних. Якщо для деяких оптимiзацiйних задач вiдношення апроксимацiї не можна покращити (наприклад, у класi всiх наближених алгоритмiв із полiномiальною складнiстю), то таке вiдношення називають пороговим або оптимальним (алгоритм на якому досягається це вiдношення також називають пороговим або оптимальним). Складність алгоритмів оцінюється кількістю звернень (запитів) до спеціального оракулу. Для реоптимізації задачі про мінімальне вершинне покриття графа (за добавлення однієї вершини і деякої множини ребер) отриманий (3/2)-наближений алгоритм із адитивною помилкою з сублінійною (константною) складністю. Показано, що відношення апроксимації 3/2 є пороговим у класі алгоритмів із константною складністю.При приближенном решении дискретных задач оптимизации возникает такая идея: можно ли, исходя из информации об оптимальном решении экземпляра задачи (или близкого к нему), использовать эту информацию для нахождения оптимального (или близкого к нему) решения экземпляра задачи, полученного в результате незначительных локальных модификаций исходного экземпляра. Данный подход, названный реоптимизацией, позволяет, например, в некоторых случаях получить лучшее качество приближения (которое определяется как отношение значения приближенного решения к точному и называется отношением аппроксимации) в локально модифицированных экземплярах, чем в исходных. Если для некоторых оптимизационных задач отношение аппроксимации нельзя улучшить (например, в классе всех приближенных алгоритмов с полиномиальной сложностью), то такое отношение называют пороговым или оптимальным (алгоритм на котором достигается это отношение также называют пороговым или оптимальным). Сложность алгоритмов оценивается количеством обращений (запросов) к специальному оракулу. Для реоптимизации задачи о минимальном вершинном покрытии графа (при добавлении одной вершины и некоторого множества ребер) получен (3/2)-приближенный алгоритм с аддитивной ошибкой с сублинейной (константной) сложностью. Показано, что отношение аппроксимации 3/2 является пороговым в классе алгоритмов с константной сложностью.With the approximate solution of discrete optimization problems such idea arises: is it possible, taking into account the information about the optimal solution of an instance (or close to it), use this information to find the optimal (or close to it) solution of instance problem obtained as a result of minor local modifications of the initial instance. This approach, called reoptimization, allows, for example, in some cases, getting the best quality of approximation (which is defined as the ratio between the value of an approximate solution to the exact ratio and called approximation ratio) in locally modified instances than at initials. If for some tasks approximation ratio can not be improved (e.g. in class of all approximation algorithms with polynomial complexity), the ratio is called the threshold or optimal (algorithm which achieved this ratio is also called the threshold or optimal). The complexity of the algorithms is estimated by the number of hits (queries) to a special oracle. For reoptimization of minimum vertex cover problem (with addition of one vertex and some set of edges) (3/2)-approximation algorithm with additive error and sublinear (constant) complexity is received. It is shown that the approximation ratio of 3/2 is the threshold in the class of algorithms with constant complexity

Lower Bounds on Query Complexity for Testing Bounded-Degree CSPs

In this paper, we consider lower bounds on the query complexity for testing CSPs in the bounded-degree model. First, for any ``symmetric'' predicate $P:{0,1}^{k} \to {0,1}$ except \equ where $k\geq 3$, we show that every (randomized) algorithm that distinguishes satisfiable instances of CSP(P) from instances $(|P^{-1}(0)|/2^k-\epsilon)$-far from satisfiability requires $\Omega(n^{1/2+\delta})$ queries where $n$ is the number of variables and $\delta>0$ is a constant that depends on $P$ and $\epsilon$. This breaks a natural lower bound $\Omega(n^{1/2})$, which is obtained by the birthday paradox. We also show that every one-sided error tester requires $\Omega(n)$ queries for such $P$. These results are hereditary in the sense that the same results hold for any predicate $Q$ such that $P^{-1}(1) \subseteq Q^{-1}(1)$. For EQU, we give a one-sided error tester whose query complexity is $\tilde{O}(n^{1/2})$. Also, for 2-XOR (or, equivalently E2LIN2), we show an $\Omega(n^{1/2+\delta})$ lower bound for distinguishing instances between $\epsilon$-close to and $(1/2-\epsilon)$-far from satisfiability. Next, for the general k-CSP over the binary domain, we show that every algorithm that distinguishes satisfiable instances from instances $(1-2k/2^k-\epsilon)$-far from satisfiability requires $\Omega(n)$ queries. The matching NP-hardness is not known, even assuming the Unique Games Conjecture or the $d$-to-$1$ Conjecture. As a corollary, for Maximum Independent Set on graphs with $n$ vertices and a degree bound $d$, we show that every approximation algorithm within a factor d/\poly\log d and an additive error of $\epsilon n$ requires $\Omega(n)$ queries. Previously, only super-constant lower bounds were known

Optimal Constant-Time Approximation Algorithms and (Unconditional) Inapproximability Results for Every Bounded-Degree CSP

Raghavendra (STOC 2008) gave an elegant and surprising result: if Khot's Unique Games Conjecture (STOC 2002) is true, then for every constraint satisfaction problem (CSP), the best approximation ratio is attained by a certain simple semidefinite programming and a rounding scheme for it. In this paper, we show that similar results hold for constant-time approximation algorithms in the bounded-degree model. Specifically, we present the followings: (i) For every CSP, we construct an oracle that serves an access, in constant time, to a nearly optimal solution to a basic LP relaxation of the CSP. (ii) Using the oracle, we give a constant-time rounding scheme that achieves an approximation ratio coincident with the integrality gap of the basic LP. (iii) Finally, we give a generic conversion from integrality gaps of basic LPs to hardness results. All of those results are \textit{unconditional}. Therefore, for every bounded-degree CSP, we give the best constant-time approximation algorithm among all. A CSP instance is called $\epsilon$-far from satisfiability if we must remove at least an $\epsilon$-fraction of constraints to make it satisfiable. A CSP is called testable if there is a constant-time algorithm that distinguishes satisfiable instances from $\epsilon$-far instances with probability at least $2/3$. Using the results above, we also derive, under a technical assumption, an equivalent condition under which a CSP is testable in the bounded-degree model

Hereditary properties of permutations are strongly testable

We show that for every hereditary permutation property and every ∊0 > 0, there exists an integer M such that if a permutation π is ∊o-far from in the Kendall's tau distance, then a random subpermutation of π of order M has the property P with probability at most ∊0. This settles an open problem whether hereditary permutation properties are strongly testable, i.e., testable with respect to the Kendall's tau distance, which is considered to be the edit distance for permutations. Our method also yields a proof of a conjecture of Hoppen, Kohayakawa, Moreira and Sampaio on the relation of the rectangular distance and the Kendall's tau distance of a permutation from a hereditary property