A Hilton-Milner theorem for vector spaces

We show for k = 2 that if q = 3 and n = 2k + 1, or q = 2 and n = 2k + 2, then any intersecting family F of k-subspaces of an n-dimensional vector space over GF(q) with nF¿F F = 0 has size at most (formula). This bound is sharp as is shown by Hilton-Milner type families. As an application of this result, we determine the chromatic number of the corresponding q-Kneser graphs

Kódelmélet és környéke = Coding theory and its neighbourhood

Kódelméletben hasznos véges projektív terek speciális egyenes-, illetve hipersíkmetszetű ponthalmazainak vizsgálata. Egyes cikkeinknek közvetlen kódelméleti alkalmazása van (itt ezeket soroljuk), mások geometriai ill. algebrai szálakkal kapcsolódnak oda. A polinomos módszer alkalmazásával bebizonyítottuk, hogy PG(2,q) egy olyan ponthalmaza, melyet minden egyenes adott r mod p pontban metsz, legalább (r-1)q+(p-1)r pontú kell legyen, ahol p a karakterisztika, r|q. Következésképp egy 3 dimenziós kód,melynek hossza és súlyai is oszthatók r-rel és minimális távolsága legalább 3, legalább (r-1)q+(p-1)r hosszú kell legyen. Ball, Blokhuis és Mazzocca híres, maximális ívek nemlétezéséről szóló tétele is egyszerűen kijön a tételből. Meghatároztuk két fontos poset, D^{k,n} és B_{m,n} automorfizmus-csoportját.A kérdéskör az insertion-deletion kódokhoz kapcsolódik. A B_{m,n} struktúra automorfizmus-csoportja korábban is ismert volt, de a hosszú bizonyítást 1 oldalasra redukáltuk. Megfogalmaztunk egy sejtést algebrai síkgörbék pontjainak számáról: n-edfokú, lineáris komponens nélküli görbének legfeljebb (n-1)q+1 pontja lehet; (n-1)q+n/2-t sikerült igazolni. Ilyen görbék hatékony kódokat adnak. Bebizonyítottuk, hogy ha egy lineáris [n,k,d]_q kód kiterjeszthető nem feltétlenül lineáris [n+1,k,d+1]_q kóddá, akkor a kiterjesztést lineáris módon is meg lehet csinálni. Eredményünk kiterjesztéséből pedig az következhetne,hogy az MDS sejtés lineáris és tetszőleges kódokra ekvivalens. | In coding theory, it is useful to study point sets of finite projective spaces with special intersection multiplicities with respect to lines and hyperplanes. Some of our papers have immediate application in coding theory (here we list those), the others are linked by its geometrical or algebraical concept. Using polynomial method, we proved that point sets of PG(n,q) intersecting each hyperplane in r mod p points have at least (r-1)q+(p-1)r points, where p is the characteristic and r|q. Hence a linear code whose length and weight are divisible by r and whose dual minimum distance is at least 3, has length at least (r-1)q+(p-1)r. Now the famous Ball-Blokhuis-Mazzocca theorem on the non-existence of maximal arcs becomes a corollary of this result. We determined the automorphism group of two important posets D^{k,n} and B_{m,n}. It was already known for B_{m,n}, but we shortened its long proof to 1 page. This topic is related to insertion-deletion codes. We conjecture that an algebraic plane curve of degree n without linear components can have at most (n-1)q+1 points, we showed that it is at most (n-1)q+n/2. Such curves give efficient codes. We proved that if a linear [n,k,d]_q code can be extended to a not necessarily linear[n+1,k,d+1]_q code then it can be done also in a linear way. From an extension of our results it would follow that the MDS-conjecture is equivalent for linear and arbirtary codes

Cameron-Liebler sets of k-spaces in PG(n,q)

Cameron-Liebler sets of k-spaces were introduced recently by Y. Filmus and F. Ihringer. We list several equivalent definitions for these Cameron-Liebler sets, by making a generalization of known results about Cameron-Liebler line sets in PG(n, q) and Cameron-Liebler sets of k-spaces in PG(2k + 1, q). We also present a classification result

The chromatic number of the q-Kneser graph for large q

We obtain a new weak Hilton-Milner type result for intersecting families ofk-spaces inF2kq, which improves several known results. In particular the chromaticnumber of theq-Kneser graphqKn:kwas previously known forn >2k(except forn= 2k+1 andq= 2) ork 5, so that the only remaining open cases are (n, k) = (2k, k) withq∈{2,3,4}and (n, k) = (2k+ 1, k) withq= 2