Dynamique de propagation sur réseaux aléatoires : caractérisation de la transition de phase

Pour modéliser des systèmes complexes où un grand nombre d’éléments interagissent, la science des réseaux offre une approche systématique et universelle où les éléments sont représentés par des noeuds et les interactions par des liens. Cette science est devenu un incontournable pour l’étude des dynamiques stochastiques de propagation, servant à modéliser la transmission d’un virus ou quelconque type d’information qui se propage par contacts à l’intérieur d’une population. Un des aspects intéressants des dynamiques de propagation sur réseaux est l’émergence d’un phénomène collectif, prenant la forme d’une transition de phase au sens de la physique statistique, lorsque l’on varie le taux de transmission. Ce phénomène critique marque le moment où une fraction non nulle de la population sera affectée par le processus. Dans ce mémoire, on se consacre au développement de méthodes d’analyse pour caractériser la transition de phase des dynamiques de propagation sur réseaux. On s’intéresse plus particulièrement au modèle susceptible-infecté-susceptible sur réseaux aléatoires issus du modèle des configurations et variant temporellement. Nous proposons un cadre théorique pour l’étude de ce modèle, menant à une description autocohérente de l’état stationnaire du système. Cela nous permet d’obtenir plusieurs résultats analytiques associés au phénomène critique, notamment une expression implicite pour le seuil de transition de phase et des bornes pour la valeur des exposants critiques de certains observables. Ces résultats nous permettent de mieux comprendre le concept de transition de phase localisée et comment chaque classe de noeuds s’active au-delà du seuil d’épidémie.To study complex systems where a large number of elements interact with each other, network science gives a systematic and universal approach using nodes and edges to represent the elements and their interactions. This has become a must for the study of stochastic propagation dynamics, used to model the transmission of viruses or any kind of information propagating through contacts within a population. One interesting aspect of propagation dynamics on networks is the emergence of a collective phenomenon, a phase transition from the statistical physics’ perspective, as the transmission rate is varied. This critical phenomenon is associated with a non-vanishing fraction of the population affected by the process. The purpose of this work is to develop new analysis methods to characterize the phase transition of propagation dynamics on networks. We investigate more particularly the susceptible-infected-susceptible dynamics on time-varying configuration model networks. We propose a theoretical framework for the study of this model, leading to a self-consistent description of the stationary state of the system. This allows us to obtain a number of analytical results concerning the critical phenomenon, such as an implicit expression for the epidemic threshold and bounds for the critical exponents of various observables. These results help us to understand the concept of localized phase transition and how each class of nodes activates beyond the epidemic threshold

Affectation de canaux dans les réseaux de téléphonie mobile cellulaire

Architecture et fonctionnement d'un système cellulaire -- Affectation des canaux et planification des systèmes cellulaires -- Quelques définitions -- Affectation des canaux dans les réseaux non saturés -- Affectation de canaux dans les réseaux saturées -- Affectation de canaux dans les réseaux non saturés -- Modèles de programmation mathématique -- Algorithmes gloutons -- Algorithme multiphase -- Affectation de canaux dans les réseaux saturés -- Notations et description du problème -- Modélisation du problème -- Algorithme glouton HGREEDY -- Algorithme ALPINIST -- Résultats numériques -- Calcul de bornes inférieures -- Un nouveau modèle de programmation linéaire en variables 0-1 -- Estimation de la qualité des solutions de ALPINIST -- Applications numériques

L'effet tunnel assisté par le chaos comme nouvel outil pour la simulation quantique

L'effet tunnel est une manifestation emblématique de la nature ondulatoire de la matière. Il décrit le passage de particules quantiques à travers des barrières de potentiel classiquement infranchissables. Lorsqu'il se produit dans des systèmes dont la dynamique classique est mixte, c'est-à-dire intermédiaire entre chaotique et régulière, l'effet tunnel est un processus bien plus riche que celui présenté dans les livres d'introduction à la mécanique quantique. En effet, dans l'espace des phases classique de ces systèmes, les orbites régulières s'organisent en îlots stables entourés par un mer d'orbites chaotiques instables. L'effet tunnel entre les îlots réguliers est alors partiellement médié par des états ergodiques dans la mer chaotique. Une des signatures emblématiques de cet effet tunnel assisté par le chaos est l'existence de résonances de la fréquence d'oscillation entre deux îlots symétriques. Dans ce manuscrit nous rapportons, en collaboration avec un groupe d'expérimentateurs et expérimentatrice du LCAR à Toulouse, la première observation de ces résonances dans un système quantique, avec une expérience d'atomes froids. Nous présentons également une généralisation de ce mécanisme de transport à des réseaux optiques modulés dans le temps qui forment dans l'espace des phases une chaîne d'îlots d'orbites stables immergés dans une même mer de trajectoires chaotiques. Nous montrons que l'effet tunnel assisté par le chaos s'y traduit par des couplages à longue portée entre les îlots et démontrons que les propriétés de fluctuation statistique de ces couplages sont universelles. De tels couplages à longue portée pourraient servir dans le champ de la simulation quantique pour accéder expérimentalement à de nouvelles classes de systèmes difficiles à réaliser autrement, notamment des systèmes désordonnés critiques. La dernière partie de ce manuscrit est consacrée à l'étude de tels systèmes désordonnés critiques, comme au seuil de la transition d'Anderson, dont les états quantiques sont multifractals : ils sont délocalisés mais non ergodiques et possèdent des fluctuations invariantes d'échelle. Nous caractérisons la dynamique de ces systèmes en décrivant le rôle de la multifractalité sur la diffusion cohérente d'une onde plane. Cette étude est une étape importante vers la caractérisation expérimentale de la multifractalité dans un système quantique, qui reste à ce jour très difficile par d'autres méthodes.Tunneling is an emblematic manifestation of the wave nature of matter. It describes the passage of quantum particles through classically forbidden barriers of energy. When it occurs in systems whose classical dynamics is mixed, that is to say intermediate between chaotic and regular, tunneling is a much richer process than presented in introductory books to quantum mechanics. Indeed, in the classical phase space of such systems, regular orbits organize themselves into stable islands surrounded by a sea of unstable chaotic orbits. Tunneling between regular islands is then partially mediated by ergodic states in the chaotic sea. One of the striking signatures of this chaos-assisted tunneling is the existence of resonances of the oscillation frequency between two neighboring sites. In this thesis we report, in collaboration with an experimental team at LCAR in Toulouse, the first observation of these resonances in a quantum system, with a a cold atom experiment. We also present a generalization of this transport mechanism to driven optical lattices that form in phase space a chain of stable islands surrounded by the same chaotic sea. We show that chaos- assisted tunneling results in very long-range couplings between islands, whose fluctuations statistical propreties are universal. These long-range couplings could be used in the field of quantum simulation to experimentally access new classes of systems, difficult to achieve otherwise, in particular critical disordered systems. The last part of this manuscript is devoted to the study of such critical disordered systems, e.g. at the Anderson transition, whose quantum states are multifractals: they are delocalized but not ergodic and have remarkable scaling properties. We characterize the dynamics of these systems by describing the role of multifractality on the coherent scattering of a plane wave. This study is an important step towards the experimental characterization of multifractality in a quantum system, which remains up to now very difficult by other methods