Integrable systems: From the ice rule to supersymmetric fishnet Feynman diagrams

Abstract

Diese Dissertation untersucht den Zusammenhang zwischen Modellen der statistischen Physik und Feynman-Diagrammen in Quantenfeldtheorien, anhand einer gemeinsamen Eigenschaft, der Integrabilität. In beiden Fällen betrachten wir integrable Strukturen für periodische Randbedingungen und setzen dabei unseren Fokus auf das Acht- und Sechs-Vertex-Modell, sowie die bi-skalare Fischnetz-Theorie. Letztere ist eine gewisse deformierte Version der N = 4 supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie. Wir geben einen Überblick über eine bekannte Anwendung von Integrabilität in diesen Theorien, nämlich die Berechnung der freien Energie im thermodynamischen Limes und ihr Gegenstück in Quantenfeldtheorien, die kritische Kopplungsstärke. Auch wiederholen wir die Berechnung anomaler Dimensionen und Koeffizienten der Operator-Produkt Entwicklung (OPE) in der konformen Fischnetz-Feldtheorie, dessen Ergebnis zu beliebiger Schleifenordnung bestimmt werden kann. Die neuen Erkenntnisse dieser Arbeit umfassen die Ergebnisse zur kritischen Kopplungsstärke für gewisse Modelle mit Fermionen. Genauer handelt es sich dabei um die Brick-Wall-Theorie und die fermionische Fischnetz-Theorie. Darüber hin- aus verallgemeinern wir die Studien integrabler Feynman-Diagramme für supersymmetrische Diagramme. Dank der Entwicklung eines effizienten graphischen Formalismus sind wir in der Lage die kritische Kopplungsstärke von starken Deformationen der N = 4 Super-Yang-Mills-Theorie sowie der ABJM-Theorie zu bestimmen, die sogenannte Super-Brick-Wall- und Superfishnet-Theorie. Desweitern leiten wir nützliche Superraumtechniken her, die uns erlauben die anomale Skalendimension und einen OPE-Koeffizienten zu beliebiger Schleifenordung zu bestimmen. Zudem untersuchen wir die Rand-Integrabilität im Sechs-Vertex-Modell und in Feynman-Diagrammen. Wir präsentieren neue, kastenförmige Randbedingungen für das Sechs-Vertex-Modell und postulieren eine geschlossene Form der Zustandssumme bei beliebiger Gittergröße.This thesis examines the correspondence between models of statistical physics and Feynman graphs of quantum field theories by a common property: integrability. We review integrable structures for periodic boundary conditions on both sides, while focusing on the eight- and six-vertex model and the bi-scalar fishnet theory. The latter is a double-scaled γ-deformations of N = 4 super Yang-Mills theory. Interesting applications of integrability existing in the literature that we reconsider are the computation of the free energy in the thermodynamic limit and its quantum field theory (QFT) counterpart, the critical coupling. In addition, we provide a detailed overview of the calculation of exact anomalous dimensions and operator product expansion (OPE) coefficients in the conformal bi-scalar fishnet theory. The original contributions of this work comprise the results of the critical coupling for models with fermions, the brick wall theory, and the fermionic fishnet theory. Additionally, we extend the study of integrable Feynman graphs to supersymmetric diagrams in superspace. By establishing an efficient graphical formalism, we obtain the critical coupling of double-scaled β-deformations of N = 4 super Yang-Mills theory and Aharony-Bergman-Jafferis-Maldacena theory, the super brick wall and superfishnet theory, respectively. Moreover, we apply superspace methods to the superfishnet theory and find results for anomalous dimensions and an OPE coefficient, which are all-loop exact in the coupling. In addition, we study boundary integrability in the six-vertex model and for Feynman diagrams. We present new box-shaped boundary conditions for the six-vertex model and conjecture a closed form for its partition function at any lattice size. On the QFT side, we find integrable boundary scattering matrices in the form of generalized Feynman diagrams by graphical methods