Die Rolle von Hopfkategorien und Operaden in störungstheoretischen Quantenfeldtheorien

Abstract

Die Vorhersagen störungstheoretischer Quantenfeldtheorienzeigen eine gute Übereinstimmung mit experimentellgemessenen Werten. Bei diesen störungstheoretischenBerechnungen treten allerdings Ultraviolettdivergenzen auf,die keine physikalische Interpretation der Ergebnisseermöglichen. Durch Renormierung dieser Theorien erhält manjedoch berechnbare Ergebnisse mit hoher experimentellerVorhersagekraft. Der Renormierungsvorgang kann durch eineHopfalgebra, die sogenannte \u27Hopfalgebra der Wurzelbäume\u27,beschrieben werden.Die vorliegende Arbeit leistet einen Beitrag für weitereUntersuchungen dieser Hopfalgebrenstruktur und Bestimmungneuer mathematischer Methoden zur Beschreibung desRenormierungsvorgangs. Dazu wird die algebraische Strukturvon Renormierung aus der Sicht der Kategorientheorie und derTheorie von Operaden untersucht.Aus Sicht der Kategorientheorie lassen sich die den Renormierungsprozess beschreibenden mathematischen Größen ineiner Kategorie zusammenfassen. Eine additive Strukturermöglicht dabei die Berücksichtigung beliebigerRenormierungsschemata. Auf dieser Kategorie kann einassoziativitätsverletzendes Produkt definiert werden, wobeidie Verletzung durch einen sogenannten \u27Assoziator\u27kontrolliert werden kann. Die Struktur wird auf die einerHopfkategorie erweitert, so daß eine kategorientheoretischeUntersuchung des Renormierungsprozesses ermöglicht wird.Diese Hopfkategorie wird aus Sicht von Renormierunginterpretiert, wobei Beispielrechnungen die definierteStruktur verdeutlichen.Aus algebraischer Sicht kann aufgrund der graphischenDarstellung des Operadenproduktes eine Bijektivität zwischenWurzelbäumen und Operaden gezeigt werden. Auf diesenOperaden kann wiederum eine Hopfalgebrenstruktur definiertwerden. Beispiele verdeutlichen diese Bijektivität.The predictions of Perturbative Quntum Field Theories show agood consistency with experimentally measured quantities.Unfortunately, these calculations in Perturbative QuantumField Theories suffer from ultraviolet divergencies, whichdon\u27t allow a physical interpretation of those results.Butrenormalisation of those theories enables computation withhigh experimental prediction. Renormalisatzion can beexpressed in terms of a Hopf algebra, the socalled \u27Hopfalgebra of Rooted Trees\u27.This dissertation contributes for further research of thisHopf algebraic structure and determination of newmathematical methods for describing renormalization.Therefore the combinatorics of the renormalization processis studied with respect to the theory of Categories andOperads.In the categorial view renormalization can be viewed as amonoidal Category in which the associativity law of themonoidal product is broken in a controlable way by asocalled \u27Associator\u27. This categorical structure can beaugmented to a so called \u27Hopf categorical structure\u27 whichdelivers a lot of additional structuremaps to be studied infuture works.On the other hand the combinatorical structure ofrenormalization enables a close relationship to a specialkind of Operads called \u27Tree Operads\u27 which also givesreason for a Hopf algera structure of those Operads. Thisrelationship is also studied in this dissertation