Csendes, Tibor

Kozma, Attila

Repository of the Academy's Library

Alkalmazott Matematikai Lapok 31 (2014), 99-108.VO¨DRO¨K OPTIMA´LIS PAKOLA´SA RAKLAPOKRACSENDES TIBOR E´S KOZMA ATTILA1Egy nyomdaipari sza´ll´ıta´si proble´ma´bo´l kiindulva a raklapra valo´ ko¨rpa-kola´s feladata´ra olyan elja´ra´st mutatunk be, amely ke´pes rea´lis sza´mı´ta´siido˝ felhaszna´la´sa´val ko¨zel optima´lis megolda´sokat adni. Megadjuk a tala´ltpakola´sokat a 80 × 120 ara´nyu´ te´glalapba n = 1 − 50 ko¨rre, e´s a´ttekintju¨ka kapott megolda´sok tulajdonsa´gait. Ta´rgyaljuk az eredme´nyek lehetse´gesalkalmaza´sai felte´teleit e´s eredme´nyesse´ge´t.A feladatA ne´gyzetbe valo´ ko¨rpakola´si feladatok megolda´sa´ban ele´rt eredme´nyeink [3, 4,5, 7, 8, 9] alapja´n megkeresett bennu¨nket egy nyomdai feste´keket forgalmazo´ belgace´g a ko¨vetkezo˝ proble´ma´val. A feste´keiket vo¨dro¨kben a´rulja´k, azokat raklapokra(la´sd az 1. a´bra´t), nyilva´n a´tlapola´s ne´lku¨l e´s a kilo´ga´st keru¨lve rakodta´k. Me´gis azttapasztalta´k, hogy a minima´lis kilo´ga´s a kamionra valo´ pakola´s sora´n azt eredme´-nyezte, hogy a vo¨dro¨k teteje felny´ılt, e´s a feste´k egyre´szt ka´rba veszett, ma´sre´szt atiszt´ıta´s miatt extra ko¨ltse´gek a´lltak elo˝. To˝lu¨nk azt ke´rdezte´k, hogy adott me´retu˝vo¨dro¨kbo˝l mennyi helyezheto˝ el a 80×120 centime´teres Euro-raklapra, illetve hogyadott darabsza´mu´ vo¨dro¨t elo˝´ırva raklaponke´nt mi a maxima´lis a´tme´ro˝je azoknaka vo¨dro¨knek, amivel azok me´g megfelelo˝en elhelyezheto˝k.A proble´ma teha´t az, hogy egy 80 × 120 oldalara´nyu´ te´glalap alaku´ teru¨letenhogyan helyezzu¨nk el azonos me´retu˝, adott sza´mu´ ko¨ro¨ket u´gy, hogy azok ne fedje´ka´t egyma´st, e´s ne is lo´gjanak tu´l a te´glalap oldalain – e´s a ko¨ro¨k a´ltal lefedett teru¨letmaxima´lis legyen.Az algoritmusA megolda´shoz Eckard Specht ne´gyzetbe valo´ ko¨rpakola´sra kifejlesztett prog-ramja´t [6, 10] igaz´ıtottuk a´t. Megjegyezzu¨k, hogy a feltett ke´rde´sek megva´laszo-la´sa me´g nem elegendo˝ az optima´lis rakoda´shoz, mert a kapott optima´lis elhelye-ze´s a legto¨bb esetben nagyon szaba´lytalan. Emiatt azok rutinszeru˝ kiraka´sa nem1Ko¨szo¨netnyilva´n´ıta´s: A kutata´st ta´mogatta a Telemedic´ına fo´kuszu´ kutata´sok Orvosi,Matematikai e´s Informatikai tudoma´nyteru¨leteken (TOMI) c´ımu˝ pa´lya´zat: TA´MOP-4.2.2.A-11/1/KONV-2012-0073.Alkalmazott Matematikai Lapok (2014)100 CSENDES TIBOR E´S KOZMA ATTILAva´rhato´ el a rakodo´kto´l. Az optima´lis elhelyeze´sek megada´sa ma´r seg´ıthet, de avalo´di megolda´st valo´sz´ınu˝leg az u´n. ra´cspakola´sok jelentik, amelyek szaba´lyossa´-guk miatt ko¨nnyen alkalmazhato´k. Az eredme´nyeink persze ba´rmilyen ko¨r alapu´a´ru esete´n haszna´lhato´k.Algoritmus. PDS-algoritmus (Pulsating Disk Shaking)0. le´pe´s: A´ll´ıtsunk elo˝ egy lehetse´ges megolda´st random mo´don. Legyen azaktua´lis suga´r r, epszilon pozit´ıv sza´m, egy kis konstans e´rte´k, tova´bba´M := 0 az a´tfede´s e´s a tu´lnyu´la´s me´rte´ke. k := 0.1. le´pe´s: k := k + 1, r := r + ǫ. Ha k > MAXIT, vagy a pulza´la´s amplitu´do´jamegfelelo˝en kicsi, akkor STOP.2. le´pe´s: Ra´zzuk o¨ssze az aktua´lis konfigura´cio´t. Ha az M a´tfede´s nem no˝tt azelo˝zo˝ itera´cio´hoz ke´pest, akkor folytassuk az 1. le´pe´ssel.3. le´pe´s: r := r − ǫ. Folytassuk az 1. le´pe´ssel.1. a´bra. Az EUR raklap.Az algoritmus elo˝nye, hogy a futa´si ido˝ nagy re´sze´ben lehetse´ges megolda´sokko¨zo¨tt va´logat, ı´gy a felte´teleknek valo´ megfelele´s megteremte´se viszonylag keve´sido˝t visz el - szemben ma´s elja´ra´sokkal. Maga a program sztochasztikus jellegu˝,teha´t ko¨zel´ıto˝ megolda´s szolga´ltata´sa´ra ke´pes. Emiatt bizony´ıtottan optima´liselhelyeze´st puszta´n erre ta´maszkodva nem kaphatunk. Ma´sre´szt sza´mos nehe´zproble´ma´ra kaptuk ma´r meg ezzel az optima´lis megolda´st ro¨vid ido˝ alatt, amitazta´n egy megb´ızhato´ sza´mı´to´ge´pes elja´ra´ssal ko¨nnyebb volt verifika´lni, mint azuto´bbival azt elo˝ is a´ll´ıtani (vo¨. [9]).Alkalmazott Matematikai Lapok (2014)VO¨DRO¨K OPTIMA´LIS PAKOLA´SA RAKLAPOKRA 101Az egyszeru˝ algoritmusunk ma´r sikeresnek bizonyult sza´mos ko¨rpakola´si feladatmegolda´sa´ra. Megvizsga´ltuk a feladatunkat Jozef Kallrath u´j, GAMS e´s Baronalapu´ elja´ra´sa´val is [1, 2], de az azzal kapott eredme´nyek egyre´szt nem voltakmegb´ızhato´k, ma´sre´szt szinte mindig gyenge´bb ko¨zel´ıte´seket kaptunk csak.Eredme´nyekAz elja´ra´st N = 1− 50 darab ko¨rre futtattuk le. A kapott eredme´nyek csak jo´lehetse´ges megolda´sok, de ezek optimalita´sa ma´r nem garanta´lt. Persze az opti-mumto´l valo´ kis elte´re´s a gyakorlati alkalmaza´sban a´ltala´ban elfogadhato´. Ma´s-re´szt te´nyleges rakoda´shoz csak az olyan konfigura´cio´k haszna´lhato´k, melyek vala-milyen ko¨nnyen e´rve´nyes´ıtheto˝ szaba´lyszeru˝se´get tartalmaznak. A kapott eredme´-nyek egy re´sze´t a 2–4. a´bra´k mutatja´k.Nem szimmetrikus konfigura´cio´k tartoznak ezekbo˝l az n = 7, 10, 14, 17, 19, 21,22, 23, 26, 27, 29 e´rte´kekhez (30-ig, la´sd az 1. ta´bla´zatot). E´rdekes, hogy viszony-lag milyen sok szimmetrikus elhelyeze´st tala´ltunk, ba´r a nagyobb ko¨rsza´mok ese-te´n egyre kevesebb van. Ez o¨sszhangban van a s´ıkon valo´ optima´lis ko¨rpakola´sravonatkozo´ elme´leti eredme´nnyel.N r szimmetria ra´cs N r szimmetria ra´cs1 40.000 X 16 11.7294 X2 30.718 X X 17 11.48083 24.0408 X X 18 11.3291 X X4 22.005 X X 19 11.07795 20.3992 X X 20 10.9677 X X6 20.000 X X 21 10.54397 17.1786 22 10.27468 16.3175 X X 23 10.13969 15.2646 X X 24 10.000 X X10 14.8085 25 9.77135 X11 14.721 X X 26 9.4541212 13.8538 X X 27 9.2937313 13.3348 X X 28 9.2196 X14 12.806 29 9.0649415 12.3107 X X 30 9.02455 X1. ta´bla´zat. Az N darab ko¨r elhelyeze´se´nek adatai: a tala´lt legnagyobb suga´r,e´s annak megjelo¨le´se, hogy az adott pakola´s szimmetrikus-e, illetve ra´cspakola´s-e.Alkalmazott Matematikai Lapok (2014)102 CSENDES TIBOR E´S KOZMA ATTILAA ta´bla´zatban megadott kapott suga´re´rte´kek jo´l tu¨kro¨zik azokat a helyzeteket,amikor va´rhato´ megolda´s szu¨letett (mint pe´lda´ul az n = 1, 6 e´s 24 ko¨r esete´n).Megjegyzendo˝ az is, hogy a 6 e´s 24 ko¨r optima´lis pakola´sa egyben az ipari stan-darddal is egyezik, ugyanis eszerint csomagolja´k a ku¨lo¨nfe´le italokat.Az a´bra´kon az adott pontossa´ggal egyma´ssal e´rintkezo˝ ko¨ro¨ket szaggatott vona-lak jelzik. Az egyes ko¨ro¨k sz´ıne a ko¨r tulajdonsa´ga´t tu¨kro¨zi: a szabad ko¨ro¨k (ame-lyek mozgathato´k kicsit, e´s a pakola´s su˝ru˝se´ge emiatt nem va´ltozik, az elso˝ pe´ldaa 7 ko¨r pakola´sa´t mutato´ rajzon la´thato´ a 2. a´bra´n) a legso¨te´tebbek. Az egyespakola´sok felirata´t a program maga genera´lta, eze´rt azok angolul vannak. Az a´bra-feliratok megadja´k a ko¨ro¨k sugara´t (angolul radius), a pontpakola´si feladat alakravonatkozo´an a pontok ta´volsa´gainak minimuma´t (distance), a ko¨rpakola´s su˝ru˝se´ge´t(density), valamint az eml´ıtett e´rtelemben vett e´rintkeze´sek, kapcsolatok sza´ma´t(contacts). A 45 ko¨r esete´n la´thato´lag me´g ele´rheto˝ su˝ru˝bb pakola´s is.A teljes s´ıkon optima´lis ko¨rpakola´si minta, a me´hsejt szerkezetu˝, hexagona´lispakola´s elo˝szo¨r a 31 ko¨rnek a 80 × 120 ara´nyu´ te´glalapba valo´ elhelyeze´se sora´njelentkezik. Ez o¨sszhangban van azzal az e´szreve´tellel, amit a ne´gyzetbe valo´pakola´s sora´n tettu¨nk ([9]): a ko¨rsza´m no¨vekede´se´vel a hexagona´lis ta´bla´kbo´l a´llo´re´szstruktu´ra´k uralja´k el fokozatosan a ve´ges tartoma´nyon vett pakola´sokat, e´sezeket a ta´bla´kat ege´sz´ıtik ki ezekhez illeszkedo˝ ko¨ro¨k.A kapott eredme´nyek optimalita´sa nem igazolt, teha´t ezt intervallum aritmeti-ka´ra e´pu¨lo˝ elja´ra´sokkal kell verifika´lni, mint amilyen elja´ra´sokat a ne´gyzetbe valo´pakola´sok egyes egyszeru˝bb eseteiben meg tettu¨nk (la´sd [4, 5, 7, 8]). Ebbo˝l aszempontbo´l tanulsa´gos, hogy a ku¨lo¨nben elfogadott GAMS–Baron mo´dszertan(amilyent az [1, 2] ko¨zleme´nyek alkalmaztak) milyen gyakran adott nem optima´-lis, e´s az optimalita´si re´st illeto˝en fe´lrevezeto˝ eredme´nyt. A suga´r e´rte´kek szigoru´anmonoton mo´don cso¨kkennek a no¨vekvo˝ ko¨rsza´mmal. Ez a tulajdonsa´g a´ltala´banterme´szetesnek mondhato´, ba´r van ezen szaba´ly alo´l kive´tel, pe´lda´ul a ko¨rbe ko¨r-pakola´s n = 6 e´s 7 esetei azonos suga´rral adja´k az optima´lis elhelyeze´st. Ezzelegyu¨tt ez uto´bbi jelense´g kive´telesnek sza´mı´t.Alkalmaza´s1. Megjegyzendo˝, hogy a gyakorlati alkalmaza´st tova´bbi te´nyezo˝k is befolya´sol-ja´k. I´gy a hasonlo´ rakoda´s sora´n haszna´lt zsugorfo´lia vagy pa´nt a helyesen lerakottelhelyeze´st elronthatja. Ezek a hata´sok az adott szerkezetet nyilva´nvalo´an a ko¨rbeı´rt pakola´sok ira´nya´ban torz´ıtja´k. Emiatt a helyesen elhelyezett vo¨dro¨k vagy hor-do´k a raklapro´l lelo´ghatnak, e´s e´pp a megb´ızo´ a´ltal kifoga´solt jelense´g jelentkezik,az a´ru se´ru¨l, e´s ara´nytalanul nagy ko¨ltse´gno¨vekede´st okozhat. Az ala´bb mutatottoptima´lis elhelyeze´sek ro¨gz´ıte´se´t u´gy kell megoldani, hogy az a fentieknek megfe-lelo˝en ne torzuljon olyanna´, ami megse´rti a befoglalo´ te´glalap hata´ra´t.A tala´lt elo˝nyo¨s pakola´si minta´k sokszor nehezen szerkesztheto˝k, emiatt a pa-kola´s kialak´ıta´sa nehe´zse´get jelenthet. Az a´ltala´ban nem raciona´lis sza´mmal adottAlkalmazott Matematikai Lapok (2014)VO¨DRO¨K OPTIMA´LIS PAKOLA´SA RAKLAPOKRA 1032. a´bra. A raklap pakola´sra kapott ko¨zel optima´lis megolda´sok az n = 3 − 10esetekre. A re´sza´bra´kon szerepel a suga´r, a su˝ru˝se´g, a pont pakola´si ta´volsa´g e´s aze´rinte´sek sza´ma.Alkalmazott Matematikai Lapok (2014)104 CSENDES TIBOR E´S KOZMA ATTILA3. a´bra. A raklap pakola´sra kapott ko¨zel optima´lis megolda´sok az n = 11 − 18esetekre.Alkalmazott Matematikai Lapok (2014)VO¨DRO¨K OPTIMA´LIS PAKOLA´SA RAKLAPOKRA 1054. a´bra. A raklap pakola´sra kapott ko¨zel optima´lis megolda´sok az n = 19 − 26esetekre.Alkalmazott Matematikai Lapok (2014)106 CSENDES TIBOR E´S KOZMA ATTILAkoordina´ta´k, valamint a te´nyleges elhelyeze´s technikai gondjai miatt a pakola´sokmegvalo´s´ıta´sa´ra ku¨lo¨n gondot kell ford´ıtani. E ce´lbo´l elo˝re nyomott pap´ırt vagyvet´ıte´st lehet alkalmazni.2. A gyakorlati hasznos´ıta´s szempontja´bo´l kitu˝ntetett jelento˝se´gu˝ek az u´gynevezett ra´cspakola´sok [9], amelyekben a ko¨ro¨k ko¨ze´ppontjai egy a te´glalapra fek-tetett ra´cs egyes szaba´lyosan elhelyezkedo˝ ra´cspontjai. A jelen ko¨zleme´nyben meg-adottak nem mind ilyenek (jellemzo˝ ilyen pe´lda az itt a´ltalunk megadott pakola´sa 11, illetve a 12 ko¨rre). Amennyiben minden ko¨rsza´mra ilyeneket akarunk meg-adni, akkor az ennek megfelelo˝ tova´bbi felte´teleket be kell e´p´ıteni a matematikaimodellbe, e´s az optimaliza´la´st ennek megfelelo˝en ve´grehajtani. Ezt a most alkal-mazott elja´ra´s nem ta´mogatja, de bizonyos szempontbo´l egyszeru˝bb az optima´lisra´cspakola´sok meghata´roza´sa, mint az a´ltala´nos alaku´ake´.A ra´cspakola´sok leraka´sa egyszeru˝: a vo¨dro¨ket vagy hordo´kat soronke´nt lehetelhelyezni, e´s az egyma´st ko¨veto˝ sorokat szabad az e´rintkeze´sig elcsu´sztatni. Ez azelja´ra´s a pakola´s szerkezete miatt nem okozhatja azta´n a ta´rolo´ede´nyek tu´llo´ga´sa´ta raklap hata´rain. Ennek ellene´re az 1. pontban eml´ıtett technikai sege´deszko¨zo¨kitt is seg´ıthetnek az optima´lis pakola´snak megfelelo˝ elhelyeze´s megtala´la´sa´ban.3. A bemutatott ko¨rpakola´sokkal ele´rheto˝ megtakar´ıta´s o¨nmaga´ban nem felte´t-len jelento˝s, mindo¨ssze pa´r sza´zale´kos lehet. Ennek ellene´re egyes esetekben ez azteredme´nyezheti, hogy kevesebb sza´ll´ıto´eszko¨zzel lehet megoldani az adott a´ru meg-rendelo˝ho¨z valo´ tova´bb´ıta´sa´t. Ma´sre´szt ezek haszna´lata nyilva´n e´sszeru˝, e´s ku¨lo¨nko¨ltse´get nem jelent, mı´g ko¨zben megtakar´ıta´st e´rhetu¨nk el velu¨k. Eml´ıte´sre me´lto´itt az a megjegyze´s, ami hasonlo´ logisztikai feladatok megolda´sa´ban a´ltala´nosanelfogadott szakmai terveze´si elv, miszerint sokszor e´rdemes a sza´ll´ıto´eszko¨zo¨k mi-nimaliza´la´sa´ra to¨rekedni az egye´b e´sszeru˝ szempontok helyett (a leheto˝ legkisebbszeme´lyi kiada´sok, minima´lis ko¨ltse´g, legro¨videbb teljes rakoda´si ido˝tartam stb.).4. Felmeru¨lhet, hogy az a´ltalunk is ta´rgyalt ko¨r darabsza´mok tu´l nagyok, ennyihengeres dobozt, vo¨dro¨t vagy hordo´t nem szoka´s ebben a forma´ban csomagolni.Ez jogos, ku¨lo¨no¨sen nagy ko¨rsza´mra e´s abban az esetben, ha nincsenek olyan esz-ko¨zeink, amivel biztos´ıtani tudjuk, hogy a raklap hata´rain ne csu´sszanak k´ıvu¨l ata´rolo´ede´nyek. Terme´szetesen a te´glalapba valo´ ko¨rpakola´s ma´s alkalmaza´sai ese-te´n, amit a ko¨vetkezo˝ pontban ta´rgyalunk ro¨viden, ezek az e´rvek keve´sbe´ hatnak.Az a gya´rta´si elja´ra´s, amely a ge´psorokro´l lejo¨vo˝ ko¨r alapu´ csomagola´su´ ter-me´keket kis darabsza´mban a raklapna´l le´nyegesen kisebb egyse´gekbe csomagolja,majd ezeket rendezi a raklapra, ko¨zvetve szinte´n ta´maszkodik a te´glalapba valo´ko¨rpakola´sra. A raklapna´l kisebb me´retu˝ csomagok kialak´ıta´sa mellett szo´l az,hogy ezek ke´zzel jobban rakodhato´k. Terme´szetesen ezek a kisebb me´retu˝ pakola´sifeladatok is megoldhato´k az ismertetett mo´dszerrel, so˝t adott esetben a te´glalapoldalai hossza ara´nya´nak egyeze´se esete´n az eredme´nyeink ko¨zvetlenu¨l is haszna´l-hato´k erre az esetre is.5. Ma´s alkalmaza´sok is vannak a te´glalapba valo´ ko¨rpakola´s eredme´nyeinekhasznos´ıta´sa´ra. A pakola´si feladatoknak megfeleltetheto˝k a szaba´si feladatok, ame-Alkalmazott Matematikai Lapok (2014)VO¨DRO¨K OPTIMA´LIS PAKOLA´SA RAKLAPOKRA 107lyek adott nyersanyagbo´l a leheto˝ legnagyobb me´retu˝ ve´gterme´kek kiva´ga´sa´t, vagyennek megfelelo˝ mo´don adott te´glalap alaku´ nyersanyagbo´l a legto¨bb adott me´retu˝ve´gterme´k leszaba´sa´t ce´lozza´k. E´rte´kes nyersanyag esete´n az ı´gy ele´rheto˝ megta-kar´ıta´s tetemes lehet. A bemutatott mo´dszertan az a´ltalunk ta´rgyaltto´l elte´ro˝esetekben is alkalmazhato´.Bolyai Farkas is ta´rgyalta a ko¨rpakola´si feladatok olyan alkalmaza´sa´t, amelyekadott ke´tdimenzio´s alakzatba (ne´gyzetbe, te´glalapba vagy ha´romszo¨gbe) egybe-va´go´ ko¨ro¨k olyan nem a´tlapolo´ elhelyeze´se´t kereste, hogy a ko¨ro¨k sugara maxima´lislegyen. O˝ ezt egy tervezett erde´szi a´lla´s pa´lya´zata´hoz vizsga´lta. A ko¨ro¨k szerepe´taz indokolja, hogy ezek adja´k meg az egyes fa´k e´lettere´t. Az adott teru¨let legjobbkihaszna´la´sa´t pedig e´pp az optima´lis ko¨rpakola´si megolda´s tudja biztos´ıtani.A pakola´si feladatok mellett a lefede´si proble´ma´k is ide kapcsolo´dnak. Ezekbizonyos e´rtelemben dua´lisai a pakola´si feladatoknak. Elo˝bbi esete´n az a ce´lkitu˝ze´s,hogy adott korla´tos tartoma´nyt (esetleg a´tlapola´ssal) teljes me´rte´kben lefedju¨nkminima´lis darabsza´mu´ egybeva´go´ adott alakzattal. Ebben az e´rtelemben egy adottteru¨let, pe´lda´ul egy orsza´g minima´lis sza´mu´ telekommunika´cio´s ado´toronnyal valo´lefede´se (felte´telezve, hogy adott megko¨vetelt te´rero˝ esete´n az ado´torony hato´ko¨reko¨r alaku´), ko¨ro¨kkel valo´ lefede´si feladatra vezet. Ma´sre´szt interferencia e´s egye´btechnikai jelense´gek miatt az elhelyezendo˝ objektumok egyma´sto´l egy minima´lista´volsa´got kell hogy tartsanak. Ez viszont isme´t a ko¨rpakola´si feladatot jelenti.Kicsit ta´volabbro´l, de ide ko¨to˝dik a Latin hiperkocka terveze´s [11], amely adottte´rre´sz koordina´ta´nke´nt ku¨lo¨nbo¨zo˝ koordina´ta´ju´, mine´l ta´volabbi pontok kijelo¨le´-se´re to¨rekszik. Ez sza´mos alkalmaza´ssal rendelkezik, a ko´dterveze´sto˝l a me´re´simintave´teleze´s ilyen szempontbo´l optima´lis meghata´roza´sa´ig.Tova´bbi kutata´sokat kell ezt ko¨veto˝en ve´gezni a matematikai e´rtelemben vettoptimalita´s igazola´sa´ra, e´s az optima´lis ra´cspakola´sok numerikus meghata´roza´sa´ra.Hivatkoza´sok[1] J. Kallrath, S. Rebennack, and P. Pardalos: Column Enumeration based Decompo-sition Techniques for a Class of Non-Convex MINLP Problems. J. of Global Optimization43 (2009), 277–297[2] J. Kallrath, S. Rebennack, and P. Pardalos: Cutting Circles and Polygons from Area-Minimizing Rectangles. J. of Global Optimization 43 (2009), 299–328[3] M. CS. Marko´t: An Interval Method to Validate Optimal Solutions of the”PackingCircles in a Unit Square” Problems, Central European Journal of Operational Research 8(2000) 63–78[4] M. CS. Marko´t and T. Csendes: A new verified optimization technique for the ”packingcircles in a unit square” problems. SIAM J. on Optimization 16 (2005), 193–219[5] M. CS. Marko´t and T. Csendes: A reliable area reduction technique for solving circlepacking problems. Computing 77 (2006), 147–162Alkalmazott Matematikai Lapok (2014)108 CSENDES TIBOR E´S KOZMA ATTILA[6] E. Specht: Circles In ReCtangle (crc.c) algoritmus.[7] P. G. Szabo´: Some New Structures for the”Equal Circles Packing in a Square” Problem.Central European Journal of Operations Research 8 (2000), 79–91[8] P. G. Szabo´: Optimal substructures in optimal and approximate circle packings. Beitra¨gezur Algebra und Geometrie 46 (2005), 103–118[9] P. G. Szabo´, M. CS. Marko´t, T. Csendes, E. Specht, L. G. Casado, and I. Garc´ıa:New Approaches to Circle Packing in a Square – With Program Codes. Springer, Berlin,2007[10] Packomania vende´goldal: http://www.packomania.com[11] E. R. Van Dam, B. Husslage, D. Den Hertog, and Hand Melissen: Maximin LatinHypercube Designs in Two Dimensions. Operations Research 55 (2007), 158–169(Bee´rkezett: 2014. ju´nius 5.)CSENDES TIBORSZTE Sza´mı´to´ge´pes Optimaliza´la´s Tansze´k6720 Szeged, A´rpa´d te´r 2.csendes@inf.u-szeged.huKOZMA ATTILAStreamNovation Kft.1083 Budapest, Pra´ter utca 50/a.Attila.Kozma@esat.kuleuven.beOPTIMAL PACKING OF BUCKETS ON EUR-PALETTETibor Csendes and Attila KozmaA Belgian firm selling printing color asked us to help their delivery services with providingoptimal number of buckets or barrels that can be positioned on a standard size eur-palette(80× 120 cm). The reason why they were interested was that the earlier ad hoc packing resultedin a not exact fit, and during the loading of the lorries the lids of the bins containing the printingcolors opened and the material was wasted causing substantial losses both expressed in moneyand time of the delivery.We used the Pulsating Disk Shaking algorithm of Eckard Specht, and here we report thebest approximative solutions obtained with some discussion on the quality of these.Alkalmazott Matematikai Lapok (2014)

Vödrök optimális pakolása raklapokra

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Repository of the Academy's Library