在齐型空间上,建立了关于分数次积分算子与BMO函数生成的交换子的加权弱型端点估计,并运用此估计式得到交换子的一个双权弱型估计

伍火熊

王卫红

Xiamen University Institutional Repository

2009 ,29A (3):553一563.赫词黔标如数学物理学报齐型空间上的分数次积分交换子的加权弱型估计 *1,2 王卫红 伍火熊 **(1 厦门大学数学科学学院 福建厦门361005;2 汕头大学数学系 广东汕头515063)摘要: 在齐型空间上, 建立了关于分数次积分算子与 B M O 函数生成的交换子的加权弱型端点估计, 并运用此估计式得到交换子的一个双权弱型估计.关扭词: 齐型空间; 分数次积分; 交换子; 加权弱型估计.M R (2000) 主题分类:42B 20;42B25;42B 99 中图分类号:0 177 6 文献标识码:A文章编号 :1003一3995(2009)03一553一111 引言设 x 为一集合 , 赋予其正的 Bor el 正则测度 拼以及拟距离 d , 满足球 B (x , r) = {,  x :d( x,刃 < r} 为开集, 并对 才中任何 x, 夕和 z,存在常数 K 全1 使得d(x , , )三 !(d(x ,:) + d(z,万 )). (1.1)在 c ni fm an 和 we is 川意义下称 (x ,d ,川 为齐型空间 , 如果测度 拼满足如下二倍条件: 存在常数 C 全1使得对于所有 x 任x 和 r > 0, 有0 < 拼(B (x ,2:))三C 拼(B (x , :)) < 0 . (1.2)再者 , 设 C 是满足二倍条件的最小常数 , 则称 D 二109 :C 为 拼的二倍阶, 我们有I n ! l ! D拼欠∀ l ) , ∀ I 了#B l \甲丁于犷戈 圣 U ∃ l % .拼气∀ 2 ) \ rB Z / (1.3)对于所有的球 B : c B l c 才都成立 , 其中勺 表示球 B 的半径 , 乞= 1,2.对于 0 < 守< 1,定义分数次积分算子 几几了(x) = jx !(一, )f (, )d拼(万), 0 < 守< 1,其中{∀(B(X,d(X, ∀))},一{户(x)}∃一,x 尹叭x = y 且 风x) > 0.rl少!es!一X凡收稿日期:2007- 11一22;修订日期: 200争0各11E- m a il: wan gw hzk 回sohu .eo m : hu oxw u @ xm u .ed u .en* 荃金项目: 国家自然科学基金 (10571122, 10771054) 资助** 通讯作者554 数 学 傀 理 学 报 从 &1.29A注意到函数委干∀(∀(二,J(x, ∀)))+ ∀(∀(, , (x, ∀)))飞∃ J x 尹叭X 二 V了.少!一! .产召甘X矛.!P是 才上的拟距离 , 由M ac ias 及 se govial引结论可知, 存在与 p 等价的拟距离刀,使得l, (x , ∀)一∀(:, , )I三C , (x , :)e (, (x , , )+ , (z , ;)) 一 o (1.4)利用 刀, 定义核Q,(x,u卜{黑坟#x 笋梦二二, 且 风劝 > 0.显然 , 存在某个常数 C > 1,有C 一价 (x, ∀)三Q (x, ∀)丛C 凡 (x, , )因此 , 可以视算子 几为∀,(卜天Q一,, ∃∀, ∃ ∃,已知 几是从 Ll (才)到 Ll /( #一称co (才)的有界算子 , 取 p 任(l , 1/的 及 1/q 二l/p 一守, 则入是从 护(x )到 护(x )的有界算子. 关于算子几的加权估计 , P合ez 和 w hed en 证明了,当取定 1< p < co , 则存在常数 c > 0, 使得对任意 ∀有jx}!了(,,一)d∀,: !jx , ∃ ,, ! M倒∀, ,d∀,我们规定权 ∀是指非负局部可积函数, 回表示不超过p 的最大整数, M 是标准的Har 好Lit tle wo od 极大算子, 而对于任意正数 p, M 回表示算子 M 叠代 回次, 令 口 (0 , l) , 定义分数次极大算子屿 为娜 f(x)= sup拼(!B )∋一厂一,(,)一d∀(,)J B对于函数 b  B M O (x )及自然数 二,我们如下定义分数次积分的 tn 阶交换子∀,(卜jx(∃卜∃,,, #∃Q(一;, ∃;,即∃,, ∃<, < , (1.5)以及∀了(卜jx.∃(,一∃(∀,,∋!Q一∀, ∃ ∀,d∀,,, 0<,< (1.6)显然, 不等式 }讯 j( 二)}三珠 (IfI )(x) 对于任何 f 全0都成立 对于交换子的加一般权的不等式, 已由 Bernar dis, H ar tzstein 及 prad olini在文献 [2]中得到.定理 A 设 (x , d ,川 为齐型空间 , ∀为 才 中任意权 , 0 < 守< 1, 1 < p < co 以及二任N U {0}. 若 b任BM o( x ), 则存在常数 c ,使得f l, , ,_ !!p ._ !月,,,_ !, ∀!!;,,∀, l , , ,_!.p !, , , I(二+1)p]_.!, !月,,,_ !jx }书衬Lx)l 一叭x) ∃脚 , 5 ∋∋∃硫∀jx # Lx) #r, ∋气∃ ∋#一#一厅#叼叹x) ∃邓 , ∃ #N o .3 王卫红等: 齐型空间上的分数次积分交换子的加权弱型估计 555本文我们将建立下列主要定理.定理 1.1 在定理 A 的条件下 , 存在 占> 1且 倾 < 1, 使得对于任何具有有界支集的有界函数 f 及 入> 0 ,满足.r, _ 二, 二;, , _!.! !, ! ∀ l }f(x)},__∀了_ , }f(x)}\:, _ !, l∀+11.!,_ !J二,_ !公tl劣任X : 11若飞J(x )l> 入全) 三C l 二于二109, ∃ te + 二气二二(材弓占(M Ly∃宁山,公)(x)d拼(x), (1 .8)#一lU ∃ # J了一 Jx 入 一∀ !一 # 入 /一 ∃ --- 一# !一#一尸一 #其中常数 C 只与 m , 占, , 有关.作为定理Ll的应用, 我们可以得到理 ∀的加双权弱型估计定理 L Z 在定理 A 的条件下, 设 1 < p 丛q < co , 0 < 守< 1, (∀, v) 为满足如下条件的双权 2 1 r . ! 1/p ,{;(B )}∃ +, p#一∃ ∃# 101, ,∀(万怡可走∀(x)一p #d∀(x)) 三C ,\ 尸 !~ j J 万 / (1.9)其中 平 (t)= tq109(m +2)q一#+ t7(e + t), 范数 11 !1∀, ∀如第二节定义. 则/ 户 , I了l_ !l! ∀ }, I_ !I! ! q/p_ _ 1 1 / }t (X (}! p . ~ / It )X l}! ! _ , ! ! , ∗∀(丈x C 才 :几,∀f(x) > 入少)三C l (竺斗二止} 10扩 e + 2共望 }v(x)d户 (x) 1 . (1.10),~ ∃ 一 # 一 !J之 ! 入 / 一∀ !一 # 入 /一!一, 一r !一,/我们作如下约定, 字母 C 表示与本质变量无关的正常数 , 在不同的位置其值可以不同.带有下标的字母如 Cl,则表示一个不变的常数. 对干可测集 E 及权 ∀,我们用 xE 表示 E 上的特征函数, 以E) = 几∀(x) d风x) .给定入及球B , ∀表示球B 的半径, 人B 表示与球B同心, 半径是球 B 的入倍的球. 固定 p > 0 ,厂表示 p 的对偶指数 , 即 , 厂= 可(p 一1) .对于才上的一个局部可积函数 f 及有界的可测集 E , 饥以f) 表示 f 在 E 上的平均 , 即m (了卜尚分(x)d∀,2 定理 L l 的证明首先回顾 Yo un g 函数的概念. 一个函数 垂:[0 , o ) * [0 , co )被称作 Yo ung 函数, 如果它是连续的 , 凸的递增函数 , 满足 侧0) = 0 及 叫t) * o ( t ! co ). Yo ung 函数 叻的补函数定义为蚕(s) = sup )st一垂(t)+, 0 三吕< 0 .O < t< 沉给定一个 Yo ung 函数 价和一个球 B ,定义可测函数 f 在 B 上的平均 L ux em bul g 模为. _ ,. _ l r _ ._ !. _ _ 1∃了∋#,∋一nt i入> ∀: 瓜百了几中划了(x) l/ ∃)∃幽)三少关于 }}fl ∀,B 及 ∀< 守< 1, 我们定义极大算子 几扬材奋f( x) 二suP !(fjI ∀,B ,B &劣分数次极大算子 五肠, ,屿 ,, f( x) = suP 风B )∋}}fI ∀,B ,B 弓怎其中对所有包含二的球B 取上确界.本文中我们取例t) = tlog (e 十t) ,其补函数为虱t) 二e 一, 一1.记}Jf }!: ,∀g: ,, = }}f l}∀, , , }If {!ex p: ,∀= }Jf JJ唇, ∀5 56 数 学 物 理 学 报 V 乙 1.29A我们将用到广义 H6lde :不等式渝无,∃,,∀,,,d∃ ∋,三,, ,,一, ∃∋, (2.1)及如下事实 (见文献 !2, 引理 4.1])峨 109: ,, f( 幻 七叭 M f( x) , 坑 1os ;j( x) ! M 2f( x) .如果二倍 Yo ung 函数 垂满足 Bp (1 < p < o )条件 , 即, 存在正常数 C 使得 (2.2)rco 蚕 (t)dt ro 了tp \ ∋一d∀了 一 一 侧 了 l 一 l 一 < 0 0 ,Je 亡p 亡 Je \币(亡)/ 亡则 屿 是 L , (x )有界的 [e] .存在一个广义 H6lde r 不等式 ls] , 即, 如果 中, 平和 e 是 Yo un g函数, 满足对任意亡任{0, o ), 平一#(亡)e 一#(∀)三币一(∀), NlJ}}了01 ∀,B 三酬}fIl , ,刻列e ,B为证明定理 1.1,我们先介绍两个预备定理.引理 2.1 1] 设 (x ,d,川 是齐型空间, f 是非负可积函数. 则对每个 入之二x (j) (若风刃 = co ,则二x (f) = 0) ,存在互不相交的球列 {马}伦l及常数 CI 全1 使得m CI∀, (f)三入< m 马(f), (2.3)以及 m ∀(l) 三入对于每个中心在  x \ U jCI 马 的球B 成立引理 2. 21 51 设 ∀< 守< 1及 占> 0, 则对于任何权 ∀及具有有界支集的有界函数 , 有,,∀,,一(∀) C关,,(,,!城(1∀二)占∀,(,d∀, (2,下面我们给出定理 1.1 的证明.定理 L l 的证明 我们只考虑 ∀ = 1 的情况 , 当 m 全2 时 , 可以应用与 ∀ = l 情形相同的证法结合数学归纳法来证明. 令 m x( f)入三二x (f) ,不等式 (1.5) 容易验证. 故只要考虑一∀(,一天,(x,,d∀(x,若∀(,< !及入> ∀x (f) 的情形. 不失一般性 , 我们假设}lb BM o = 1.由引理 2.1,我们得到互不相交的球列 {马}佗1.令Vl 一 CIBl\U 马, 巧 旧!L几= 几U∀全J+ 1\]!!VBj日C于是有马 C 巧 C C ,马 , 一U cl 几J分解 了了(x)一∀(x)+ h(x)一∀(x)+艺h,(x),夕其中g(x)一了(二)xx,u, !(x)+艺 ∀!(, )x!(x),JN 0 .3 王卫红等: 齐型空间上的分数次积分交换子的加权弱型估计 5 5 7州x) = (f(x) 一m v, ( f) xv,( x) .由引理 2.1可得 , 对于任何固定的 j志jv, ,(∃, #d拜∃,三风Cl马)< 入风巧)风Cl马)风巧)万丈长可jcl∀j#(∃, #d∃(∃,:州剖 ∋:州臀)∋一∀其中第三个不等式运用了(l. 3)式 设弓 = 峨4护+ l) 场 = C* 场,由不等式(l. 3) 和(z. 3) 可知∀(胆):∀耳鲁 !): −蕊jM∀(x)u 乓,J J 少 J三C耳恶洲 贵儿j,∃,,,d(,三C一耳瓜,∃∀,,M∀∀,d ,,:e入一/I,(∀)l!∀(∀)d∀(∀).J 毛于∀({x∀ :l ,∀,(X)l> }): ∀({x∀ \U可:一石,∀(X)一>入/2})+∀(U劣)J J+∀({二∀ \U 即 lIwt n(x )l>砂})J于是对 (1.5) 式的证明可转化为证明∀({X∀!\日劣:.!, ∀(X).>今})J< C天}f(x ){入109(e +}f(x)}入)叭 (M Z∀)(x)d拼(x) (2.5)∀({ ∀\U今lI.,洲x)1 >合})J:ejx掣 ∀g(+粤 ,!占MZ∀,(,d∃ , (2.6)先证 (2. 5)式 , 由于 拼是正则的且连续函数在 护(才) p 任 )1,o ) 中稠密. 引理 2.1 及Le be sg us 微分原理可推得 腼1:, (的 丛C 入.选取 1 < p < 1/甲使得 [2P .二2, 由定理 A , 有∀({ ∀x\U弓:}!,∀,(X).>会})夕: ∀f了x \U , B箩l几, ∀夕(x)lp人p ∀(x)d拼(x)5 5 8 数 学 物 理 学 报 V bl.2 9A一c∃一天兰∃一天三∃一jxI几, ∀, (x)Ip ( )义x \u, 弓(二)d户(x)l∀(x)I,蛛 p(M Z xx \u , ∀;)(x)d ∀(x)一∀(x)l叭, (M ,∀xx!uj∀:)(x)d∀(x):e*一(/ 一,(x)一城,(∀,∀)(x)d∀(x)!J x \U , 玲琴jv, 饥!∃, ,城M #∀!∀,二, , ,),与文献 阁 在欧氏空间中的讨论类似, 我们可以证明存在只与空间 才有关的常数 C 使得对任意 x  巧 ,有叭p(M , Xx!u,二)(x)三C恶岭p(M , Xx!uj弓)(∃)这样jv, m!(, ,屿M # !∀j二,(,d∃ ,infV 任玲infV  玲叭 p(M Z∀!x \u , ∀;)(, )叭 p(M , ∀!x \uj ∀;)(, )jv, m!∃, ,d∃∃,jv, ,(, ∃∋(x,左If (x)I域 p(M Z∀)(二)d拼(x).不等式(z. 5)得证 接下来证明(z. 6)式 记 一风马)一玩试幻d∀(x ),直接计算可得石, ∀h(x)一艺(∋(X)一!)石(h,)(X)一几(艺(卜!)句)(x)J J因此∀({二 \U 可:J: ∀({二∀ \U可:J十∀({二任\U ∋;:J}!,∀,(X).>合})}!(艺(∀一!)!)()卜会})J艺.b(X)一!.}∀!(x)}>会})J:= I + 11 .为估计第一项, 我们将运用广义 H说der 不等式 (2.1) , 根据引理 2. 2 及 (2.2)式, 可知, 对于任意权 ∀, 有:∀(,)}一(!):Cjx ,(,,!(M #∀)()∀()N o .3 王卫红等: 齐型空间上的分数次积分交换子的加权弱型估计于是I < C ^ 一ljx艺, ∃ ,一,,∃ ,,叭M #∀X!∀二, ,如,J以一艺 ∀(咐}h,Ilm osL ,v,lI ∃一咧exp:, !J恶叭(MZ Xx!U,B:)(y)由以下事实.,入J(),一g,一 {!志jv,粤109(二粤)d ,}:e入十点下f l, (x)一;∀g(∀+典烈!d∀(x)拼气yJ ) J 巧 ! 人可得一耳瓢!(MZ一,二,,,(入:,人,∃,,109(二掣)d ,):e天掣 ∀g(∀+掣)叭M #公, ,d∃ ,此处利用 T John一N irenberg 不等式的一个推论}}乙一叫}expL,玲三 CI }&l BM o.为估计第二项 1 ,首先注意到 la],Q , (x , , )一Q , (x ,x , )I _ ∀ 拼(几),! ! 气2 - -丁: :二es 一- 气二尸一- - 二一 料L万tz, d t之, x ))) 一, , ,对于所有 ∀, xj  乓,二任才\弓 都成立, 其中:是球马 的中心, C 与马 无关 如果我们能证明如下事实jx !二}b(劝一试且 !, / ! 一 _ _ _勺l瓜西下丁不不刃砰二蔺Lx)∃风x)S C恶 ,M L #∀∃,山Ly), (2.7)那么天,二l(b(x)一bj )几h, (x)∀(x).d拼(x)l∋(x,一勿l} ∀:(x,∀)h,(∀)d∀(,){∀(x)d∀(x)!试x) 一酬 }Q :(x , , )一Q , (x ,x , )}}h , (, )}d户(, )∀(x)d拼(x){hJ(, )}d拼(, ) }b(二)一污{{Q :(x, , )一Q , (x,x, )}∀(x)d拼(x)心瓜妙}hj (, )}d拼(, )恶j坑,∀gL,, (∃)}f (, )}材乙,o :,, ∀(, )d产(, ).切口∀人了儿了户r月广C<一5 6 0 数 学 物 理 学 报 丫b l.29A所以1:艺畏_人!∀.}(∀!卜!)∀!()∀, ∀,J 一 ∃ !~ j三耳认三C入一jx}f (, ) ,M 匕,09:,, ∀(, )d拼(, )If (x)l坑 一∀g:,, ∀(x)d拼(x)结合第一项 I和第二项 1 的估计, 以及 (2. 2)式, 得到不等式 (2. 6).于是定理 1.1得证. 最后我们来证明 (2.7)式, 我们使用的方法来自于文献 {2, 引理 5.1] 的证明. 对于每个取定的x 任才及 今> 0, 令E (x , r) = {, 任才:拼(B (x, d(x, , )))三r},以及其中那 = s即 d(x, , ),,  E (二, r)B (x , R ) = {,  x : d(x , , )三R }.考虑如下两种情形情形I 风弓 \马)尹0. 设Ro = 拼(Bj ), 尽(∃) = E (z, 2,Ro ), 尽 = B (z, R鑫+:场文献 [z] 中指出户(且)三C Z + R0 , 拼(B (z, d(z ,二)))全C Z R0 全C 拜(2尽), 若 x 彭尽(z).于是jx !二}b(二)一b, } 拜(马)e拼(B (z, d(z , x))) 一, +e山(二)d拼(二)三c∃马, ∃jx}试x) 一勿}∀(x)\二∀(:)拼(B (z,d(z , x))) #一, +ed拼(x )产/绍8艺i=0三 C 拼三 C 拼(马 ) ∃}b(x)一bj }∀(x)十:(:)\二:(z)拼(B (z , d(:, x))) 一什ed拼(x)(马)e艺云= 0 ~丝擎生f拼(2尽)且一, JZ刀}b(x)一勿}∀(x)d拜(二)< C霎,一#黯 关∀!氢2一∃黯 关∀Ib(x)一勿I!(x)d拼(x){b(x)一m Z∀l∀(x)d拼(x)昏一黯石 二二U!∀2∀一!}/ 公(x)d∀(x)J Z 刀 :N o .3 王卫红等: 齐型空间上的分数次积分交换子的加权弱型估计三C艺2一e∀(2尽)∋ 1Ib一mZ∀1一p;,2∀1诬= 0O O:C艺2一∃(! 109;,,∀(,)+叭∀(∀)葱= 0三C ,魏县坑,∀gL,: (∃),∀1:109:,2∀+ C艺2一口10 2∀一bjl城 ∀(∀)其中在倒数第二个不等式, 利用了文献 [z] 中的 (5.13) 式及 (5.14) 式, 最后一个不等式由(2.2)式得到.情形1 风弓 \马) = 0. 假设风x \弓)护0,否则无须证明 设n 是使得以下不等式成立的最小正整数拼((C* )∋乓 \ (C* )∋一场)并0.注意到风马)二风C* 场 )= 一 风(C* )卜 马)所以}bj 一m (c.)∀∀j(b)}三C }}b}}BM o,(x )这样我们有五 }拭x) 一州 (x)d拼(二)< C.BI !弓拼(场)e拼(凡)∃- 一犷二丁7- 一一丁尸 -- - 戈戈 山 I工拼(万t之, d t之, x )))工一, 一∀拼(弓)一,一e([ _l,(x)一∀e.∀,(,)l∀(X)d∀(X)!∀(c* ∀,)}me.,,(∀)一!l)!J C . 月产 /三C拼(C* B )丫 116一m e.∀,(b)Ilexp:,e.∀,}}公}}:109: ,e.∀,Cj结,婉,OgL,, (x),其中 Bl 二心一#马 ,于是有风C* B# \ Bl ) = 0.由情形 I的结论 , 有/ }∀(二)一!l一∀:(x,∀)一∀,(x,∀)一∀(x)d∀(x)Jx !哪三五Ib(x)一勿 1IQ , (x , , )一Q :(x ,x, )I∀(x)d拜(x)*B \B;+jxlb(x)一勿 1IQ :(x , , )一Q :(x ,xj)l∀(x)d拼(x)\C .B< C in f,  马材乙109: ,:∀(, )(2.7)式得证.3 定理 L Z 的证明这一节我们将给出定理 1.2 的证明. 先叙述两个引理. 对于每个固定的 p  (1, o ), 及∋ > o ,令 蚕 (t)= t1092(e+ t), 则币一(t)二 t tl/p109, (∀+ t) 一10 9,+ (p一+ ∋)/p(∀+ t)垂一(t)e 一( ),∃ /p 109(p一+ ∋)/p(e + t)5 6 2 数 学 物 理 学 报 V bl.29A其中蚕(t)二 tp 1093∋一+ ∋(e + t), e ( ) ! tp#l吃一#一(p#一#)∋(∀+ t).引理 3. 1 8) 设 0 三今< 1, 占> 0.存在常数 C > 0, 使得对于满足 叽 (log :)∀了局部可积的非负函数 了及任意 x  x , 有城 (ML (,∀g:)∀f)(x)三C城 ,:(,∀g:)a+:f (x) (3.1)引理 3. 215 给定 1 < p 三q < co 及 ∀兰 , < 1 . 设 垂一, (t) e 一(t) 兰垂一,(t) 对任意的亡> 0 成立, 其中币, 垂和 e 为 Yo un g 函数, 且 e 为双倍函数满足马 条件. 双权 (∀,的满足对任意球 B ,, 1 , ! 1/叮_ ! , ~ . . , , 一 , , _ , l , , ! _ , ! 二 , , ~ 二 ~l∋(万)Jr甲∃ ∃一∃ ∃又丽 几∃(x)d∃(x)) I,v一∃ #:, , BSC <co ,则对于函数了 护(才, 约,/ r _ ! l/ q / r _ _ _ . ∃ ! l/ p戈人(叭, #f(x))∃∃(x)d∃(x)) 三c戈 jx If(x)l#∋(,d∃(x)) (32,定理 L Z 的证明 对于取定的 p 和 q, 1 < p 兰吼厂_,,., ,, !._!!U(X)d∀(X)一[.(U(X)1∀x{一 ∀∀了()/} ,)∃d∀,∃ t 二七汽 : 11份.6) !二)l户人I 沙八由对偶原理, 存在非负函数 G  护 , 1引}∀, 二1使得∀(x) #/q !{二∀x :一:, , , (二).>*}(x)G (二)d拜(x)u(x) /qG (x)d拼(x )八九了户11∀/qx {二∀x :,, , ,∀, (二)一>*}11∀-二 x :11, . f(二)l> 入}根据 (2.2)式及引理 3.1,有城 ∀(M Zf)(x)二从 ∀ (ML .09:f)(x)兰C从 ∀,:(,∀g:):f(x)因此 , 由引理 3. 2 ,我们得到11从 ;, :(109:)2f11:p,(u卜p,)三C llfll;∀,(∀卜∀,)运用定理 1.1,可得(3.3)关二∀!:l;,,!了(二).>人}(()1/∀(二,d∀(二)Cjx掣 ∀g(+粤)!占(∀2(一,e))()d∀()一C天粤 ,∀g(+吟卫)!占,(l∀g)(一∀)()d∀()三C(jx(掣 ∀g(二#掣)∋()d() ∃pN o .3 王卫红等: 齐型空间上的分数次积分交换子的加权弱型估计 5 6 3(天(叭占,一 (一)()p一 () ∃#:e(jx(罕109(二掣)p()d() ∃p:G.}∀,一(jx(罕109(二粤), ()d() ∃#定理 1.2 证毕.参 考 文 献)1. A im ar H .Sin即lar int egrals an d aP prox im at e ident ities on spac es ofhom ogeneo us type.竹ans A m er M athSo e , 19 85 , 29 2 : 135一15 3)2. B ernar dis A , H ar tzstein S, P rad olini G .W 七ighted in叫ualities fo r eom m utat ors of fr ac tional inte盯als on sp ac es of h om oge n eous ty pe . J M at h A n al A pP I, 200 6, 3 2 2 : 82 5一846 131 G ar ei, C uerva J, R ubio de 外aneia J L.M儿ighted N orm In叫uai ities and R elat ed TO pics . N orth一H olland M at h S tud 116. A m sterda m : N o rth 一H olla nd , 198 5 [4] M ac faS R , Segov ia C .Lipsehitz fu netio朋 on spac es of hom oge neo us ty pe. A dv M at h, 1979, 33 : 257一270151 0 , N eilR .R ac tionalint egr at ion in o rliez spac es .肠ans A m er M at h Soe, 1965, 116: 30于328)6+ p rad oliniG , Sal inas 0 .M ax im al operators on sp es of hom 昭eneo us type. P roe A m er M at h Soe, 1995,7 1 : 1 3 5一15 7[71 P rez C , W he den R .U neertai nt y prineiple es tim at es fo r vector fields. 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M R (2000) Subj eet C las sifi eat ion : 42B 20:42B 25;42B 99

齐型空间上的分数次积分交换子的加权弱型估计

http://dspace.xmu.edu.cn/bitstream/handle/2288/18981/%e9%bd%90%e5%9e%8b%e7%a9%ba%e9%97%b4%e4%b8%8a%e7%9a%84%e5%88%86%e6%95%b0%e6%ac%a1%e7%a7%af%e5%88%86%e4%ba%a4%e6%8d%a2%e5%ad%90%e7%9a%84%e5%8a%a0%e6%9d%83%e5%bc%b1%e5%9e%8b%e4%bc%b0%e8%ae%a1.pdf?sequence=1&isAllowed=y

齐型空间上的分数次积分交换子的加权弱型估计

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