Neste trabalho apresenta-se uma estratégia h-adaptativa para problemas de elasticidade bidimensional, discretizados por elementos finitos triangulares lineares, considerando a nao linearidade do material. Esta estratégia é baseada na técnica de remalhamento (remeshing) onde, através de estimativa de erro a posteriori, se prediz o tamanho do elemento necessário para atingir um nível de precisao pré-especificado. O comportamento nao linear do material é tratado através do modelo de subcamadas, nao se limitando portanto a modelos bilineares.Peer Reviewe

Landau, Luis

Ribeiro, Fernando B.

Silva, R. C. C.

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería

UPCommons

Estratégia h-adaptativa para a análise elasto-plástica bidimensional

UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 11,4, 519-528(1995) R.C.C. SILVA L. LANDAU e F.L.B. RIBEIRO Programa de Engenharia Civil COPPE/UFR J Caixa Postal 68506 - 21945 - 970 Rio d e  Janeiro, Brasil Neste trabalho apresenta-se uma estratégia h-adaptativa para problemas de elasticidade bidimensional, discretizados por elementos finitos triangulares lineares, considerando a nao linearidade do material. Esta estratégia é baseada na técnica de remalhamento (remeshing) onde, através de estimativa de erro a posteriori, se prediz o tamanho do elemento necessário para atingir um nível de precisa0 pré-especificado. O comportamento nao linear do material é tratado através do modelo de subcamadas, nao se limitando portanto a modelos bilineares. SUMMARY In this work an h-adaptive strategy for 2D elasticity is presented, using linear triangular elements and considering material non-linearity. This strategy is based on a remeshing technique where the size of the required element for a specific accuracy is provided by an a posteriori error estimation. The non-linear material behaviour is considered using a layered model and is not limited to bilinear models. Apesar do método de elementos finitos ser a técnica de aproximacáo de maior impacto na área de métodos numéricos, aplicados a problemas de engenharia, suas análises convencionais exigem grande esforco e experiencia por parte dos analistas, principalmente em aplicacóes industriais envolvendo análises nao lineares. Sendo assim, a automatizacáo de procedimentos, visando A análise de erro e refinamento (automático) adaptativo, torna-se uma questáo fundamental para o aperfeicoamento e consolidacáo do método. Recibido: Enero 1995 OUniversitat Politecnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 520 R.C.C. SILVA, L. LANDAU E F.L.B. RIBEIRO A estratégia h-adaptativa apresentada é utilizada ao longo do processo incremental de problemas de elasticidade, considerando a náo linearidade física do material. A malha final, discretizada por elementos triangulares lineares, deverá atingir um nível de erro predeterminado pelo usuário. Duas alternativas de implementaciio do método h sáo freqüentemente utilizadas. Na primeira, a malha é sucessivamente refinada até a obtenciio do nível de precisa0 desejado. Neste caso, o elemento a ser refinado é identificado através de um critério apropriado. A outra prediz o tamanho do elemento necessário para que o nível de precisáo preestabelecido seja atingido. No caso náo linear optou-se por esta última técnica, pois é, a princípio, computacionalmente mais economica, já que evita a análise durante os sucessivos passos necessários para a obtencáo da malha final. Utilizou-se uma estimativa de erro a posteriori baseada nos conceitos propostos por Zienkiewicz e Zhu, que implica na recuperacao de um campo contínuo de tensóes suavizadas para substituir o campo exato de tensóes náo conhecido. Neste trabalho, adotou-se a técnica conhecida como superconvergent patch recovery ( S P R )  para a recuperacáo do campo de tensóes. Finalmente, o comportamento do material foi tratado através do modelo de subcamadas. As equacóes básicas necessárias para a resolucáo de um problema estático bidimensional náo linear podem ser deduzidas através do princípio dos trabalhos virtuais. Considera-se que para um corpo em equilíbrio (domínio O), sob a acao de forcas de volume b, e forqas de superfície i em Fa, o trabalho virtual das forcas externas é igual ao trabalho virtual das forcas internas, para todo campo de deslocamento virtual Su que se anule no contorno I', onde o deslocamento u é prescrito ( u  = u em FU). Entáo, . a d O = i  S u T . b d C l + l o  SuT.EdI' Em (1) a representa as deformacóes e a as tensóes. MODELO DISCRETO Utilizando os procedimentos normais de discretizacáo do método de elementos finitos foram obtidas as seguintes expressóes para os deslocamentos e deformacóes no elemento: onde a matriz N contém as funcóes de interpolacáo, u sao os valores nodais da solucáo aproximada e L é o operador diferencial linear. Substituindo-se (2)  e (3) em (l), ESTRATÉGIA H-ADAPTATIVA PARA A ANÁLISE ELASTO-PLÁSTICA BIDIMENSIONAL 521 considerando que a expressáo assim obtida é válida para qualquer valor arbitrário de Su,  tem-se Devido a nao linearidade do material existirá0 forcas residuais m,  tais que m = P - F # O  (5) onde P and F representam os vetores de forcas internas e os de forqas externas determinados, respectivamente, pelas parcelas do lado esquerdo e do direito de equacáo (4). Neste caso, para que se obtenha o equilíbrio estático, a análise deve ser realizada até que as forcas residuais se anulem. Técnicas d e  soluqáo O método utilizado para a obtencáo da resposta náo linear de um problema estático é essencialmente incremental. Assume-se que para uma determinada intensidade de carga (am),  a solucáo (u,) é conhecida e procura-se a solu~áo (u, + Au,) para o nível de carga posterior ( am + Aam).  A solucáo através de método puramente incremental está sujeita a erros que váo se acumulando a cada passo da análise. Para contornar este inconveniente, pode-se utilizar um método iterativo tangente. Este método consiste em se obter uma melhor aproximacáo de u ,  utilizando uma expansáo de P através de séries de Taylor. Obtém- se, entáo, uma formulacáo incremental-iterativa para solucionar problemas náo lineares na forma onde m e n representam, respectivamente, um contador de incrementos de carga e um contador de iteracoes e Kt é a matriz de rigidez tangente. Os novos deslocamentos sáo obtidos por Un+l - m+l - ~ k + i  + Aurn+1 a (7) A análise é realizada para este nível de carga até que se obtenha a convergencia para uma tolerancia pré-especificada. Cri tér io  d e  escoamento O critério de escoamento de Von Mises (Owen, Hinton3) é dado por f = ae - a 0  = \ / 5 .  J:'~ - a. (8) onde a, é a tensáo efetiva; ao, a tensáo de escoamento da superfície e J2, o segundo invariante do estado desviatório. Foi considerado um endurecimento linear para o material, isto implica que, após o escoamento, as superfícies subseqüentes possuem uma tensáo de escoamento maior 522 R.C.C. SILVA, L. LANDAU E F.L.B. RIBEIRO do que a da superfície anterior. Além disso, considerou-se que o material com carregamento cíclico, possui um comportamento cinemático, isto é, as superfícies de escoamento preservam sua forma e orientaciio, mas transladam no espaco das tensóes como um corpo rígido. Para que o fluxo plástico ocorra (AA # O),  as tensóes devem permanecer na superfície de escoamento (A f = O ) .  Pode-se considerar, utilizando uma lei associativa, que as deformacoes plásticas (Aep = AA . a) ocorrem em uma direcáo normal A superfície de escoamento (a = S f /So). Encontra-se demostrado (Crisfieldl) que para as consideracoes acima é válida a expressiio Af = a T . & - H ' . A A = O  (9) com A A = a T . ~ . A s / ( a T . ~ . a + ~ ' )  = a T . ~ . A e / ( 3 p + ~ ' )  (10) onde D é a matriz constitutiva, Ae é o incremento total de deformacáo, H' é o módulo plástico e p = E/2(1 + u) é a constante de Lamé, onde E representa o módulo de elasticidade e u o coeficiente de Poisson. Modelo elasto-plástico d e  subcamadas O comportamento cinemático pode ser simulado através do modelo de subcamadas. Este modelo consiste em assumir que o sólido seja composto de várias subcamadas, sendo cada uma constituída de um material elasto-plástico perfeito. Estas subcamadas possuem propriedades diferentes (espessura e tensiio de escoamento), porém estáo sujeitas a uma mesma deformacáo (Owen et al2). Optou-se pela utilizacáo da curva característica de um material bilinear para exemplificar a deducáo das espessuras das subcamadas, embora o modelo permita a análise de materiais com curva tensiio- deformacao complexa. Neste caso, um estado de tensáo (ap) superior ao estado limite de escoamento (al) pode ser escrito na forma a, = al + Aal = al + D . (As - AA . a) (11) Considerando Ae = E, - €1, onde ep e el  siio as deformacoes correspondentes As tens8es ap e al, e substituindo (10) em ( l l ) ,  tem-se a, = D . el  + [H1/(3p + H')] . D . (ep - el)  (12) que pode ser reescrito de uma forma genérica como a, = 01 . ti + a 2  . t2 (13) onde t e a para cada subcamada representam, respectivamente, a espessura e o estado de tensiio. ti = 1 - [H1/(3p + H')] e t2 = [H1/(3p + H')] (14) U I = D . E ~  e u ~ = D . E ,  (15) -- - ESTRATÉGIA H-ADAPTATIVA PARA A ANÁLISE ELASTO-PLÁSTICA BIDIMENSIONAL 523 Considerando um estado de deformacáo total e qualquer, obtém-se um estado de tensa0 teste (at) com at = D E .  A tensáo total (a) é obtida somando as diferentes contribuicoes de cada subcamada. Podem ocorrer duas situacoes: se a tensáo efetiva teste a: (8) for menor do que a tensáo de escoamento (a,,), entáo o material tem um comportamento elástico e a contribuiqiio para a subcamada i é at; se a: for maior do que a tensáo de escoamento (a,,), entáo houve plastificacáo e o estado de tensáo deve retornar i, superfície de escoamento da subcamada i. O retorno i, superficie de escoamento foi realizado através da técnica de retorno radial (Crisfieldl). Com o intuito de aprimorar a qualidade da solucáo numérica, utilizou-se uma estratégia h-adaptativa via remeshing, baseada em estimativas de erro a posteriori. Esta estratégia consiste em predizer o tamanho necessário de alguns elementos, identificados através de um critério apropriado, de tal forma que a malha final atinja o nível de erro predeterminado. Estimativa de erro A estimativa de erro desenvolvida por Zienkiewicz e Zhu e conhecida como z2 consiste em substituir o campo de tensoes exatas (a), desconhecido, por um campo suavizado contínuo (a*) obtido segundo uma interpolacáo de seus valores nodais (a*), aproximacáo esta igual i, realizada para os deslocamentos em (2). O erro aproximado, associado a solu~áo numérica, pode ser definido como sendo a funqáo que determina a diferenca entre o campo contínuo e o campo de tensoes aproximadas (ah).  Utilizando a norma de L2 para determinar a magnitude do erro aproximado, tem-se ah)T . (a* - ah) dR (16) Sendo (le11 um escalar positivo, ele pode ser avaliado em todo o domínio ou em subdomínios (elementos) do problema. Pode-se definir um erro médio aproximado como sendo onde o índice i refere-se aos n elementos da malha. Como a ordem de grandeza da norma do erro depende das unidades empregadas no problema, procurou-se utilizar o conceito de erro relativo R.C.C. SILVA, L. LANDAU E F.L.B. RIBEIRO Suavizaciío das tensoes A estimativa de erro adotada depende da estratégia utilizada para a obtenciio do campo contínuo de tensoes. Optou-se pela técnica conhecida como superconvergent patch recovery (Zienkiewicz, Zhu6). O campo de tensoes suavizadas, no interior de cada patch (conjunto de elementos que circundam um nó), é determinado através de uma expansiio polinomial completa de grau p onde P é uma base do conjunto de todos os polinomios de grau p e c contém os parametros a serem determinados para o problema em questiio. Para funcoes lineares (p = 1) tem-se Os parametros c siio determinados através de um procedimento de ajuste, pelo processo dos mínimos quadrados, visando minimizar o quadrado das diferencas entre a expansiio polinomial e o campo de tensoes aproximadas nos pontos da amostragem (pontos de superconvergencia). Para o elemento linear triangular, o ponto de superconvergencia coincide com o baricentro do mesmo, ou seja, a tensiio obtida através da análise numérica é mais precisa no baricentro do que em qualquer outro ponto deste elemento. O processo dos mínimos quadrados envolve a avaliacao das derivadas parciais em relaciio a cada uma de suas variáveis, impondo-se a nulidade das mesmas. Obtém-se assim um sistema de equacoes que pode ser escrito de uma forma matricial onde o índice i refere-se aos n pontos de superconverg~ncia do patch considerado para o nó j .  O valor da tensa0 nodal do campo contínuo para este nó pode ser obtido diretamente por Para a determinaciio dos coeficientes, é necessário que, no mínimo, tres elementos concorram para o nó analisado. Para os nós de contorno, esta condiciio nem sempre é satisfeita, neste caso, utilizou-se a tensa0 média nodal. ESTRATÉGIA H-ADAPTATIVA PARA A ANÁLISE ELASTO-PLÁSTICA BIDIMENSIONAL 525 Refinamento Deseja-se obter uma malha 'h-adaptativa vza remeshzbg que atenda a um nível de erro relativo preestabelecido (q). Determinou-se entáo um parametro (t,), por elemento, que é capaz de: identificar os elementos que devem ser subdivididos; prever o número de subdivisoes necessárias (Ribeiro, Landaus). Sabe-se que o tamanho (h) do elemento decresce na taxa de 2nS, onde ns é o número de subdivisoes, e que, para elementos lineares o erro é proporcional ao tamanho. Ou seja, onde h, e E ,  representam, respectivamente, o tamanho e o erro médio de uma malha que satisfaz o erro relativo predeterminado V. Obtendo o valor de E, através de (18) e substituindo em (26) temos O número de subdivisoes por elemento foi determinado por: Caso a malha nao atinja o erro predeterminado, uma nova análise e, conseqüentemente, novas divisoes deveráo ser efetuadas. Para a análise numérica realizada, foi considerada uma viga curta em balanqo (Figura l), no estado plano de deformaqáo, discretizada através de elementos triangulares lineares. A curva tensáo-deforma~áo do material, aproximada por seis trechos lineares, encontra-se representada na Figura 2, onde também foram indicadas a espessura (t,) e a tensáo de escoamento (a,,) de cada subcamada. As análises adaptativas (estimativa de erro e refinamento) foram realizadas ao longo de dez incrementos de carga, sendo cada incremento igual a 0.1 (Aa  = 0.1). Estas análises foram executadas em cada passo de carga (aF,), com exceqao do primeiro, a partir da malha final obtida no passo anterior. Para o primeiro passo utilizou-se a malha inicial indicada na Figura 4. Se a malha inicial for pouco refinada, provavelmente apenas uma análise nao será suficiente para que a malha atinja o erro relativo predeterminado. Isto porque o critério de refinamento utilizado limita o número de subdivisoes por análise. Observou-se que para o material elasto-plástico o erro relativo náo se mantém constante durante todos os R.C.C. SILVA, L. LANDAU E F.L.B. RIBEIRO passos de carga. De uma forma geral, este erro aumenta com a evolucao da plastificaqiio. Sendo assim, em algumas etapas da análise incremental o erro relativo preestabelecido foi ultrapassado, acarretando uma nova subdivisiio da malha. Estado plano de deformaqáo 1.0 m carregamento- Fo =l. 0 N/m2 módulo de elasticidade E =1.0 N/m coeficiente de Poisson- V =0.3 Figura 1. Viga curta em balanco Overlays 1 2 3 4 5 6 ti 0.5357 0.2862 0.0604 0.0594 0.0293 0.0290 o,i 1.2 3.6 8.6 14.6 23.6 75.0 I O 10 20 30 40 50 60 70 80 deforrnag30 Figura 2. Curva tensao-deforrnacáo aproximada por seis overlays Figura 3. Curvas carga-deslocamento Estao indicados na Tabela 1, para todos os passos de carga, os erros relativos obtidos durante cada análise realizada, objetivando satisfazer o erro relativo predeterminado de 10%. O número de nós (NN) e o número de elementos (NE) para as malhas finais (última análise) encontram-se na mesma tabela. ESTRATÉGIA H-ADAPTATIVA PARA A ANÁLISE ELASTO-PLÁSTICA BIDIMENSIONAL 527 Outras duas análises foram realizadas com o objetivo de atingir erros relativos de 35% e 25%. Encontram-se representadas na Figura 3 as curvas carga-deslocamento para as malhas adaptativas finais (Figura 4) e para a malha inicial. Foi considerado o deslocamento (S) na diresilo vertical do nó situado no canto superior direito da viga curta. TABELA 1. Erros relativos (%) e malhas obtidas durante a análise adaptativa com erro relativo de 10% Malha inicial- NN=9 NE=8 Malha 02- q=25% NN=94 NE=158 Figura 4. Malha inicial e malhas adaptativas finais 528 R.C.C. SILVA. L. LANDAU E F.L.B. RIBEIRO A estratégia adaptativa utilizada neste trabalho para a análise elasto-plástica bidimensional, onde a evolus5o das regioes plastificadas ao longo do carregamento implica na  varias50 dos erros relativos, mostrou-se capaz de manter e recuperar o padr5o de refinamento necessário para o nível de erro desejado. A utilizaciio do modelo de subcamadas, em conjunto com elementos triangulares lineares, possibilitou que a redefinic5o d a  malha fosse realizada de forma ágil e versátil, atendendo A estratégia adaptativa proposta. Os resultados obtidos permitem e exigem que se de continuidade A investigas50 de, por exemplo, outras alternativas para os estimadores de erro e suavizas50 (recuperas50 através de pós-processamento) do campo de tensoes (Perié et al4) e esquemas de desrefinamento para o carregamento cíclico. Com isso será possível em futuro próximo a implementasiio de procedimentos numéricos capazes de realizarem análises diniimicas elasto-plásticas através, também, de técnicas adaptativas. 1. M. A. Crisfield, "Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structure", John Wiley&Sons, England, (1991). 2. D.R.J. Owen, A. Prakash, O.C. Zienkiewicz, "Finite Element Analysis of Non-linear Composite Materials Use of Overlay Systems", Computers and Structures, Vol. 4, pp. 1251-1267, (1974). 3. D.R.J. Owen, E. Hinton, "Finite Elements in Plasticity-Theory and Practice", Pineridge Press, Swansea, (1980). 4. D. PeriC, J. Yu, D.R.J. Owen, "On Error Estimates and Adaptivity in Elastoplastic Solids: Applications to the Numerical Simulation of Strain Localization in Classical and Crosserat Continua", International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 37, pp. 1351-1379, (1994). 5. F.L.B. Ribeiro, L. Landau, "An H-refinement Strategy for Convection Dominated Problems Using Triangular Finite Elements", Anais XIV-CILAMCE, Vol. 2, pp. 713- 722, (1993). 6. O.C. Zienkiewicz, J.Z. Zhu, "The Superconvergent Patch Recovery (SPR) and Adaptive Finite Element Refinement", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 101, pp. 207-224, (1992). 

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 11,4, 519-528(1995) 
R.C.C. SILVA 
L. LANDAU 
e 
F.L.B. RIBEIRO 
Programa de Engenharia Civil 
COPPE/UFR J 
Caixa Postal 68506 - 21945 - 970 
Rio d e  Janeiro, Brasil 
Neste trabalho apresenta-se uma estratégia h-adaptativa para problemas de elasticidade 
bidimensional, discretizados por elementos finitos triangulares lineares, considerando a nao 
linearidade do material. Esta estratégia é baseada na técnica de remalhamento (remeshing) 
onde, através de estimativa de erro a posteriori, se prediz o tamanho do elemento necessário 
para atingir um nível de precisa0 pré-especificado. O comportamento nao linear do material é 
tratado através do modelo de subcamadas, nao se limitando portanto a modelos bilineares. 
SUMMARY 
In this work an h-adaptive strategy for 2D elasticity is presented, using linear triangular 
elements and considering material non-linearity. This strategy is based on a remeshing 
technique where the size of the required element for a specific accuracy is provided by an a 
posteriori error estimation. The non-linear material behaviour is considered using a layered 
model and is not limited to bilinear models. 
Apesar do método de elementos finitos ser a técnica de aproximacáo de maior 
impacto na área de métodos numéricos, aplicados a problemas de engenharia, suas 
análises convencionais exigem grande esforco e experiencia por parte dos analistas, 
principalmente em aplicacóes industriais envolvendo análises nao lineares. Sendo assim, 
a automatizacáo de procedimentos, visando A análise de erro e refinamento (automático) 
adaptativo, torna-se uma questáo fundamental para o aperfeicoamento e consolidacáo 
do método. 
Recibido: Enero 1995 
OUniversitat Politecnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 
520 R.C.C. SILVA, L. LANDAU E F.L.B. RIBEIRO 
A estratégia h-adaptativa apresentada é utilizada ao longo do processo incremental 
de problemas de elasticidade, considerando a náo linearidade física do material. A 
malha final, discretizada por elementos triangulares lineares, deverá atingir um nível 
de erro predeterminado pelo usuário. Duas alternativas de implementaciio do método 
h sáo freqüentemente utilizadas. Na primeira, a malha é sucessivamente refinada até 
a obtenciio do nível de precisa0 desejado. Neste caso, o elemento a ser refinado é 
identificado através de um critério apropriado. A outra prediz o tamanho do elemento 
necessário para que o nível de precisáo preestabelecido seja atingido. No caso náo 
linear optou-se por esta última técnica, pois é, a princípio, computacionalmente mais 
economica, já que evita a análise durante os sucessivos passos necessários para a 
obtencáo da malha final. Utilizou-se uma estimativa de erro a posteriori baseada 
nos conceitos propostos por Zienkiewicz e Zhu, que implica na recuperacao de um 
campo contínuo de tensóes suavizadas para substituir o campo exato de tensóes náo 
conhecido. Neste trabalho, adotou-se a técnica conhecida como superconvergent patch 
recovery ( S P R )  para a recuperacáo do campo de tensóes. Finalmente, o comportamento 
do material foi tratado através do modelo de subcamadas. 
As equacóes básicas necessárias para a resolucáo de um problema estático 
bidimensional náo linear podem ser deduzidas através do princípio dos trabalhos 
virtuais. Considera-se que para um corpo em equilíbrio (domínio O), sob a acao de 
forcas de volume b, e forqas de superfície i em Fa, o trabalho virtual das forcas externas 
é igual ao trabalho virtual das forcas internas, para todo campo de deslocamento virtual 
Su que se anule no contorno I', onde o deslocamento u é prescrito ( u  = u em FU). 
Entáo, 
. a d O = i  S u T . b d C l + l o  SuT.EdI' 
Em (1) a representa as deformacóes e a as tensóes. 
MODELO DISCRETO 
Utilizando os procedimentos normais de discretizacáo do método de elementos 
finitos foram obtidas as seguintes expressóes para os deslocamentos e deformacóes no 
elemento: 
onde a matriz N contém as funcóes de interpolacáo, u sao os valores nodais da solucáo 
aproximada e L é o operador diferencial linear. Substituindo-se (2)  e (3) em (l), 
ESTRATÉGIA H-ADAPTATIVA PARA A ANÁLISE ELASTO-PLÁSTICA BIDIMENSIONAL 521 
considerando que a expressáo assim obtida é válida para qualquer valor arbitrário de 
Su,  tem-se 
Devido a nao linearidade do material existirá0 forcas residuais m,  tais que 
m = P - F # O  (5) 
onde P and F representam os vetores de forcas internas e os de forqas externas 
determinados, respectivamente, pelas parcelas do lado esquerdo e do direito de equacáo 
(4). Neste caso, para que se obtenha o equilíbrio estático, a análise deve ser realizada 
até que as forcas residuais se anulem. 
Técnicas d e  soluqáo 
O método utilizado para a obtencáo da resposta náo linear de um problema estático 
é essencialmente incremental. Assume-se que para uma determinada intensidade de 
carga (am),  a solucáo (u,) é conhecida e procura-se a solu~áo (u, + Au,) para o 
nível de carga posterior ( am + Aam).  
A solucáo através de método puramente incremental está sujeita a erros que váo 
se acumulando a cada passo da análise. Para contornar este inconveniente, pode-se 
utilizar um método iterativo tangente. Este método consiste em se obter uma melhor 
aproximacáo de u ,  utilizando uma expansáo de P através de séries de Taylor. Obtém- 
se, entáo, uma formulacáo incremental-iterativa para solucionar problemas náo lineares 
na forma 
onde m e n representam, respectivamente, um contador de incrementos de carga e um 
contador de iteracoes e Kt é a matriz de rigidez tangente. 
Os novos deslocamentos sáo obtidos por 
Un+l - 
m+l - ~ k + i  + Aurn+1 a (7) 
A análise é realizada para este nível de carga até que se obtenha a convergencia 
para uma tolerancia pré-especificada. 
Cri tér io  d e  escoamento 
O critério de escoamento de Von Mises (Owen, Hinton3) é dado por 
f = ae - a 0  = \ / 5 .  J:'~ - a. (8) 
onde a, é a tensáo efetiva; ao, a tensáo de escoamento da superfície e J2, o segundo 
invariante do estado desviatório. 
Foi considerado um endurecimento linear para o material, isto implica que, após 
o escoamento, as superfícies subseqüentes possuem uma tensáo de escoamento maior 
522 R.C.C. SILVA, L. LANDAU E F.L.B. RIBEIRO 
do que a da superfície anterior. Além disso, considerou-se que o material com 
carregamento cíclico, possui um comportamento cinemático, isto é, as superfícies de 
escoamento preservam sua forma e orientaciio, mas transladam no espaco das tensóes 
como um corpo rígido. 
Para que o fluxo plástico ocorra (AA # O),  as tensóes devem permanecer na 
superfície de escoamento (A f = O ) .  Pode-se considerar, utilizando uma lei associativa, 
que as deformacoes plásticas (Aep = AA . a) ocorrem em uma direcáo normal A 
superfície de escoamento (a = S f /So). Encontra-se demostrado (Crisfieldl) que para 
as consideracoes acima é válida a expressiio 
Af = a T . & - H ' . A A = O  (9) 
com 
A A = a T . ~ . A s / ( a T . ~ . a + ~ ' )  = a T . ~ . A e / ( 3 p + ~ ' )  (10) 
onde D é a matriz constitutiva, Ae é o incremento total de deformacáo, H' é o módulo 
plástico e p = E/2(1 + u) é a constante de Lamé, onde E representa o módulo de 
elasticidade e u o coeficiente de Poisson. 
Modelo elasto-plástico d e  subcamadas 
O comportamento cinemático pode ser simulado através do modelo de subcamadas. 
Este modelo consiste em assumir que o sólido seja composto de várias subcamadas, 
sendo cada uma constituída de um material elasto-plástico perfeito. Estas subcamadas 
possuem propriedades diferentes (espessura e tensiio de escoamento), porém estáo 
sujeitas a uma mesma deformacáo (Owen et al2). Optou-se pela utilizacáo da curva 
característica de um material bilinear para exemplificar a deducáo das espessuras das 
subcamadas, embora o modelo permita a análise de materiais com curva tensiio- 
deformacao complexa. Neste caso, um estado de tensáo (ap) superior ao estado limite 
de escoamento (al) pode ser escrito na forma 
a, = al + Aal = al + D . (As - AA . a) (11) 
Considerando Ae = E, - €1, onde ep e el  siio as deformacoes correspondentes As 
tens8es ap e al, e substituindo (10) em ( l l ) ,  tem-se 
a, = D . el  + [H1/(3p + H')] . D . (ep - el)  (12) 
que pode ser reescrito de uma forma genérica como 
a, = 01 . ti + a 2  . t2 (13) 
onde t e a para cada subcamada representam, respectivamente, a espessura e o estado 
de tensiio. 
ti = 1 - [H1/(3p + H')] e t2 = [H1/(3p + H')] (14) 
U I = D . E ~  e u ~ = D . E ,  (15) 
-- - 
ESTRATÉGIA H-ADAPTATIVA PARA A ANÁLISE ELASTO-PLÁSTICA BIDIMENSIONAL 523 
Considerando um estado de deformacáo total e qualquer, obtém-se um estado de 
tensa0 teste (at) com at = D E .  A tensáo total (a) é obtida somando as diferentes 
contribuicoes de cada subcamada. Podem ocorrer duas situacoes: se a tensáo efetiva 
teste a: (8) for menor do que a tensáo de escoamento (a,,), entáo o material tem um 
comportamento elástico e a contribuiqiio para a subcamada i é at; se a: for maior 
do que a tensáo de escoamento (a,,), entáo houve plastificacáo e o estado de tensáo 
deve retornar i, superfície de escoamento da subcamada i. O retorno i, superficie de 
escoamento foi realizado através da técnica de retorno radial (Crisfieldl). 
Com o intuito de aprimorar a qualidade da solucáo numérica, utilizou-se uma 
estratégia h-adaptativa via remeshing, baseada em estimativas de erro a posteriori. 
Esta estratégia consiste em predizer o tamanho necessário de alguns elementos, 
identificados através de um critério apropriado, de tal forma que a malha final atinja o 
nível de erro predeterminado. 
Estimativa de erro 
A estimativa de erro desenvolvida por Zienkiewicz e Zhu e conhecida como z2 
consiste em substituir o campo de tensoes exatas (a), desconhecido, por um campo 
suavizado contínuo (a*) obtido segundo uma interpolacáo de seus valores nodais (a*), 
aproximacáo esta igual i, realizada para os deslocamentos em (2). O erro aproximado, 
associado a solu~áo numérica, pode ser definido como sendo a funqáo que determina a 
diferenca entre o campo contínuo e o campo de tensoes aproximadas (ah).  Utilizando 
a norma de L2 para determinar a magnitude do erro aproximado, tem-se 
ah)T . (a* - ah) dR (16) 
Sendo (le11 um escalar positivo, ele pode ser avaliado em todo o domínio ou em 
subdomínios (elementos) do problema. 
Pode-se definir um erro médio aproximado como sendo 
onde o índice i refere-se aos n elementos da malha. Como a ordem de grandeza da 
norma do erro depende das unidades empregadas no problema, procurou-se utilizar o 
conceito de erro relativo 
R.C.C. SILVA, L. LANDAU E F.L.B. RIBEIRO 
Suavizaciío das tensoes 
A estimativa de erro adotada depende da estratégia utilizada para a obtenciio do 
campo contínuo de tensoes. Optou-se pela técnica conhecida como superconvergent 
patch recovery (Zienkiewicz, Zhu6). O campo de tensoes suavizadas, no interior de 
cada patch (conjunto de elementos que circundam um nó), é determinado através de 
uma expansiio polinomial completa de grau p 
onde P é uma base do conjunto de todos os polinomios de grau p e c contém os 
parametros a serem determinados para o problema em questiio. Para funcoes lineares 
(p = 1) tem-se 
Os parametros c siio determinados através de um procedimento de ajuste, pelo 
processo dos mínimos quadrados, visando minimizar o quadrado das diferencas entre a 
expansiio polinomial e o campo de tensoes aproximadas nos pontos da amostragem 
(pontos de superconvergencia). Para o elemento linear triangular, o ponto de 
superconvergencia coincide com o baricentro do mesmo, ou seja, a tensiio obtida através 
da análise numérica é mais precisa no baricentro do que em qualquer outro ponto deste 
elemento. O processo dos mínimos quadrados envolve a avaliacao das derivadas parciais 
em relaciio a cada uma de suas variáveis, impondo-se a nulidade das mesmas. Obtém-se 
assim um sistema de equacoes que pode ser escrito de uma forma matricial 
onde o índice i refere-se aos n pontos de superconverg~ncia do patch considerado para 
o nó j .  O valor da tensa0 nodal do campo contínuo para este nó pode ser obtido 
diretamente por 
Para a determinaciio dos coeficientes, é necessário que, no mínimo, tres elementos 
concorram para o nó analisado. Para os nós de contorno, esta condiciio nem sempre é 
satisfeita, neste caso, utilizou-se a tensa0 média nodal. 
ESTRATÉGIA H-ADAPTATIVA PARA A ANÁLISE ELASTO-PLÁSTICA BIDIMENSIONAL 525 
Refinamento 
Deseja-se obter uma malha 'h-adaptativa vza remeshzbg que atenda a um nível 
de erro relativo preestabelecido (q). Determinou-se entáo um parametro (t,), por 
elemento, que é capaz de: identificar os elementos que devem ser subdivididos; prever 
o número de subdivisoes necessárias (Ribeiro, Landaus). Sabe-se que o tamanho (h) 
do elemento decresce na taxa de 2nS, onde ns é o número de subdivisoes, e que, para 
elementos lineares o erro é proporcional ao tamanho. Ou seja, 
onde h, e E ,  representam, respectivamente, o tamanho e o erro médio de uma malha 
que satisfaz o erro relativo predeterminado V. Obtendo o valor de E, através de (18) e 
substituindo em (26) temos 
O número de subdivisoes por elemento foi determinado por: 
Caso a malha nao atinja o erro predeterminado, uma nova análise e, 
conseqüentemente, novas divisoes deveráo ser efetuadas. 
Para a análise numérica realizada, foi considerada uma viga curta em balanqo 
(Figura l), no estado plano de deformaqáo, discretizada através de elementos 
triangulares lineares. A curva tensáo-deforma~áo do material, aproximada por seis 
trechos lineares, encontra-se representada na Figura 2, onde também foram indicadas 
a espessura (t,) e a tensáo de escoamento (a,,) de cada subcamada. 
As análises adaptativas (estimativa de erro e refinamento) foram realizadas ao longo 
de dez incrementos de carga, sendo cada incremento igual a 0.1 (Aa  = 0.1). Estas 
análises foram executadas em cada passo de carga (aF,), com exceqao do primeiro, 
a partir da malha final obtida no passo anterior. Para o primeiro passo utilizou-se a 
malha inicial indicada na Figura 4. 
Se a malha inicial for pouco refinada, provavelmente apenas uma análise nao será 
suficiente para que a malha atinja o erro relativo predeterminado. Isto porque o critério 
de refinamento utilizado limita o número de subdivisoes por análise. Observou-se que 
para o material elasto-plástico o erro relativo náo se mantém constante durante todos os 
R.C.C. SILVA, L. LANDAU E F.L.B. RIBEIRO 
passos de carga. De uma forma geral, este erro aumenta com a evolucao da plastificaqiio. 
Sendo assim, em algumas etapas da análise incremental o erro relativo preestabelecido 
foi ultrapassado, acarretando uma nova subdivisiio da malha. 
Estado plano de deformaqáo 
1.0 m carregamento- Fo =l. 0 N/m2 
módulo de elasticidade E =1.0 N/m 
coeficiente de Poisson- V =0.3 
Figura 1. Viga curta em balanco 
Overlays 
1 2 3 4 5 6 
ti 0.5357 0.2862 0.0604 0.0594 0.0293 0.0290 
o,i 1.2 3.6 8.6 14.6 23.6 75.0 
I 
O 10 20 30 40 50 60 70 80 
deforrnag30 
Figura 2. Curva tensao-deforrnacáo aproximada por seis overlays 
Figura 3. Curvas carga-deslocamento 
Estao indicados na Tabela 1, para todos os passos de carga, os erros relativos obtidos 
durante cada análise realizada, objetivando satisfazer o erro relativo predeterminado 
de 10%. O número de nós (NN) e o número de elementos (NE) para as malhas finais 
(última análise) encontram-se na mesma tabela. 
ESTRATÉGIA H-ADAPTATIVA PARA A ANÁLISE ELASTO-PLÁSTICA BIDIMENSIONAL 527 
Outras duas análises foram realizadas com o objetivo de atingir erros relativos de 
35% e 25%. Encontram-se representadas na Figura 3 as curvas carga-deslocamento 
para as malhas adaptativas finais (Figura 4) e para a malha inicial. Foi considerado 
o deslocamento (S) na diresilo vertical do nó situado no canto superior direito da viga 
curta. 
TABELA 1. Erros relativos (%) e malhas obtidas durante a análise adaptativa com 
erro relativo de 10% 
Malha inicial- 
NN=9 NE=8 
Malha 02- q=25% 
NN=94 NE=158 
Figura 4. Malha inicial e malhas adaptativas finais 
528 R.C.C. SILVA. L. LANDAU E F.L.B. RIBEIRO 
A estratégia adaptativa utilizada neste trabalho para a análise elasto-plástica 
bidimensional, onde a evolus5o das regioes plastificadas ao longo do carregamento 
implica na  varias50 dos erros relativos, mostrou-se capaz de manter e recuperar o 
padr5o de refinamento necessário para o nível de erro desejado. A utilizaciio do modelo 
de subcamadas, em conjunto com elementos triangulares lineares, possibilitou que a 
redefinic5o d a  malha fosse realizada de forma ágil e versátil, atendendo A estratégia 
adaptativa proposta. 
Os resultados obtidos permitem e exigem que se de continuidade A investigas50 de, 
por exemplo, outras alternativas para os estimadores de erro e suavizas50 (recuperas50 
através de pós-processamento) do campo de tensoes (Perié et al4) e esquemas de 
desrefinamento para o carregamento cíclico. Com isso será possível em futuro próximo 
a implementasiio de procedimentos numéricos capazes de realizarem análises diniimicas 
elasto-plásticas através, também, de técnicas adaptativas. 
1. M. A. Crisfield, "Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structure", John 
Wiley&Sons, England, (1991). 
2. D.R.J. Owen, A. Prakash, O.C. Zienkiewicz, "Finite Element Analysis of Non-linear 
Composite Materials Use of Overlay Systems", Computers and Structures, Vol. 4, pp. 
1251-1267, (1974). 
3. D.R.J. Owen, E. Hinton, "Finite Elements in Plasticity-Theory and Practice", Pineridge 
Press, Swansea, (1980). 
4. D. PeriC, J. Yu, D.R.J. Owen, "On Error Estimates and Adaptivity in Elastoplastic Solids: 
Applications to the Numerical Simulation of Strain Localization in Classical and Crosserat 
Continua", International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 37, pp. 
1351-1379, (1994). 
5. F.L.B. Ribeiro, L. Landau, "An H-refinement Strategy for Convection Dominated 
Problems Using Triangular Finite Elements", Anais XIV-CILAMCE, Vol. 2, pp. 713- 
722, (1993). 
6. O.C. Zienkiewicz, J.Z. Zhu, "The Superconvergent Patch Recovery (SPR) and Adaptive 
Finite Element Refinement", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 
Vol. 101, pp. 207-224, (1992). 


Estratégia h-adaptativa para a análise elasto-plástica bidimensional

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