Un th\'{e}or\`{e}me limite pour les covariances des spins dans le mod\`{e}le de Sherrington--Kirkpatrick avec champ externe

On \'{e}tudie la covariance (pour la mesure de Gibbs) des spins en deux sites dans le cas d'un mod\`{e}le de Sherrington--Kirkpatrick avec champ externe; lorsque le nombre de sites du mod\`{e}le tend vers l'infini, une \'{e}valuation asymptotique des moments d'ordre $p$ de cette covariance permet d'obtenir un th\'{e}or\`{e}me limite faible avec une loi limite en g\'{e}n\'{e}ral non gaussienne. We study the covariance (for Gibbs measure) of spins at two sites in the case of a Sherrington--Kirkpatrick model with an external field. When the number of sites of the model grows to infinity, an asymptotic evaluation of the $p$ moments of that covariance allows us to obtain a weak limit theorem, with a generally non-Gaussian limit law.Comment: Published at http://dx.doi.org/10.1214/009117906000000665 in the Annals of Probability (http://www.imstat.org/aop/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org

A support property for infinite dimensional interacting diffusion processes

The Dirichlet form associated with the intrinsic gradient on Poisson space is known to be quasi-regular on the complete metric space $\ddot\Gamma=$ $\{Z_+$-valued Radon measures on \IR^d\}. We show that under mild conditions, the set $\ddot\Gamma\setminus\Gamma$ is \e-exceptional, where $\Gamma$ is the space of locally finite configurations in \IR^d, that is, measures $\gamma\in\ddot\Gamma$ satisfying \sup_{x\in\IR^d}\gamma(\{x\})\leq 1. Thus, the associated diffusion lives on the smaller space $\Gamma$. This result also holds for Gibbs measures with superstable interactions.Comment: French title: Une propri\'et\'e de support pour des processus de diffusion en dimension infinie avec interactio

Weak Gibbs property and system of numeration

We study the selfsimilarity and the Gibbs properties of several measures defined on the product space \Omega\_r:=\{0,1,...,\break r-1\}^{\mathbb N}. This space can be identified with the interval $[0,1]$ by means of the numeration in base $r$. The last section is devoted to the Bernoulli convolution in base $\beta={1+\sqrt5\over2}$, called the Erd\H os measure, and its analogue in base $-\beta=-{1+\sqrt5\over2}$, that we study by means of a suitable system of numeration

Logarithmic Sobolev inequality for the invariant measure of the periodic Korteweg--de Vries equation.

The periodic KdV equation arises from a Hamiltonian system with infinite-dimensional phase space L^2(T). Bourgain has shown that there exists a Gibbs measure \nu on balls in the phase space such that the Cauchy problem for KdV is well posed on the support of \nu, and \nu is invariant under the KdV flow. This paper shows that \nu satisfies a logarithmic Sobolev inequality. The stationary points of the Hamiltonian on spheres are found in terms of elliptic functions, and they are shown to be linearly stable. The paper also presents logarithmic Sobolev inequalities for the modified period KdV equation and the cubic nonlinear Schrodinger equation for small values of the number operator N

A logarithmic Sobolev inequality for the invariant measure of the periodic Korteweg--de Vries equation

The periodic KdV equation u_t=u_{xxx}+\beta uu_x arises from a Hamiltonian system with infinite-dimensional phase space L^2(T). Bourgain has shown that there exists a Gibbs measure \nu on balls \{\phi :\Vert\Phi\Vert^2_{L^2}\leq N\} in the phase space such that the Cauchy problem for KdV is well posed on the support of \nu, and \nu is invariant under the KdV flow. This paper shows that \nu satisfies a logarithmic Sobolev inequality. The stationary points of the Hamiltonian on spheres are found in terms of elliptic functions, and they are shown to be linearly stable. The paper also presents logarithmic Sobolev inequalities for the modified periodic KdV equation and the cubic nonlinear Schr\"odinger equation, for small values of N

Exit spaces for Cox processes and the P\'olya sum process

For Cox processes we construct a Markov process with increasing paths to couple the condensations of the Cox process in a monotone way. A similar procedure procedure yields an analogue Markov process for the P\'olya sum process. Moreover, we identify the exit spaces of these Markov processes and identify them firstly as mixtures of certain extremal processes, i.e. as a process in a random environment, and secondly as Gibbs processes

Dynamiques hamiltoniennes et aléa

Using probabilistic methods, we give qualitative properties of partial differential equations, of Schrödinger or wave type.À l'aide de méthodes probabilistes, nous donnons des propriétés qualitatives de solutions d'équations aux dérivées partielles de type Schrödinger ou ondes. Nous tirons profit de l'aléa grâce à des propriétés de régularisation de séries aléatoires ou en éliminant un certain nombre de mauvaises valeurs d'un paramètre de l'équation. Ainsi, nous obtenons, sur un gros ensemble de paramètres, des résultats concernant la dynamique de l'équation. Notons que physiquement cette approche a un sens puisque les paramètres et les conditions initiales de l'équation ne peuvent être déterminés de façon absolue. De plus, dans chacune de nos méthodes employées, nous obtenons des résultats de stabilité de la dynamique par rapport aux conditions initiales. Enfin, nous montrons que l'approche précédente est pertinente en construisant, pour des choix particuliers de paramètres, des trajectoires exceptionnelles en utilisant des phénomènes de résonance

Une analyse PAC-Bayésienne de l'adaptation de domaine et sa spécialisation aux classifieurs linéaires

National audienceDans cet article, nous nous intéressons au problème de l'adaptation de domaine (AD) correspondant au cas où les données d'apprentissage et de test sont issues de distributions différentes. Nous proposons une analyse PAC-Bayésienne de ce problème dans le cadre de la classification binaire sans information supervisée sur les données de test. La théorie PAC-Bayésienne permet d'obtenir des garanties théoriques sur le risque d'un vote de majorité sur un ensemble d'hypothèses. Notre contribution au cadre de l'AD repose sur une nouvelle mesure de divergence entre distributions basée une notion d'espérance de désaccords entre hypothèses. Cette mesure nous permet de dériver une première borne PAC-Bayésienne pour le classifieur stochastique de Gibbs. Cette borne a l'avantage d'être optimisable directement pour tout espace d'hypothèses et nous en donnons une illustration dans le cas de classifieurs linéaires. L'algorithme proposé dans ce contexte montre des résultats intéressants sur un problème jouet ainsi que sur une tâche courante d'analyse d'avis. Ces résultats ouvrent de nouvelles perspectives pour appréhender le problème de l'adaptation domaine grâce aux outils offerts par la théorie PAC-Bayésienne