Hyperbolisen geometrian puolitasomalli

Tutkin Pro Gradu työssäni hyperbolista geometriaa puolitasomallin kautta. Tutkielman päätuloksena on osoittaa, että pari (H,dH) on polkumetrinen avaruus. Aloitan tutkielman käsittelemällä puolitasomallia yleisesti. Määrittelen peruskäsitteitä kuten puolitasomallin joukon H ja kaksi eri tyyppistä hyperbolista suoraa. Toisessa luvussa lähden tutkimaan joukkoa nimeltä Riemannin kuula. Kyseinen joukko on oleellinen puolitasomallin tarkastelun kannalta. Riemannin kuulan tarkastelu vie luontevasti tutkimaan Möbius-kuvauksia, jotka säilyttävät hyperbolisen pituuden puolitasomallissa. Nämä kuvaukset ovat tärkeitä kun käsittelen hyperbolista pituutta ja etäisyyttä. Neljännessä luvussa siirryn tarkastelemaan kaaren pituutta kompleksitasossa. Esittelen polun pituuden käsitteen polkuintegraalin avulla. Viidennessä luvussa siirryn tutkimaan kaaren pituutta joukossa H ja määrittelen hyperbolisen pituuden käsitteen. Kuudennessa luvussa esittelen metriikan käsitteen. Tämän lisäksi määrittelen käsitteen polkumetrinen avaruus. Viimeisessä luvussa todistan, että pari (H,dH) on polkumetrinen avaruus. Samalla määrittelen hyperbolisen etäisyyden dH

Koettu työstä irtautuminen työpäivän aikana

Tutkimukseni tarkoituksena on kuvata työntekijöiden työstä irtautumisen kokemuksia työpäivän aikana. Tutkittavat työskentelevät toimitalossa, jonka keskeisiä ominaisuuksia ovat avaruus, luonnonvalo ja luontomaisema. Työstä irtautuminen ja työkuormituksesta palautuminen ovat tärkeitä työntekijän hyvinvoinnin kannalta. Erityisen tärkeää on päivittäinen mahdollisuus palautumiseen. Tutkimuskohteena ovat ihmisten kokemukset, joten valitsin tutkimukseni lähtökohdaksi fenomenologian. Analyysimenetelmänä käytän fenomenologista metodia, joka soveltuu hyvin kokemuksellisen ilmiön analyysitavaksi. Tutkimukseni tulokset ovat yhdeksän ehdotelmaa yleiseksi merkitysverkostoksi ja kolme työstä irtautumisen kokemuksen yleisen merkitysverkoston tyyppikuvausta. Yhdeksän ehdotelmaa kuvaavat työstä irtautumisen kokemuksen moninaisuutta. Kolme työstä irtautumisen kokemuksen tyyppikuvausta tiivistävät ehdotelmien yleisesti olennaisen tiedon. Tyyppikuvauksissa työstä irtautuminen liittyy keskeisesti toimitalosta avautuvaan luontomaisemaan ja toimitalon arkkitehtuuriin. Eri tyyppikuvauksissa maisema ja arkkitehtuuri ilmenevät eri tavoin; ne ovat havainnon kohde, aistielämysten luoja ja siten myös vaikuttavat myönteisesti mielialaan, ja ne luovat kuuluvuuden tunnetta. Kahdessa tyyppikuvauksessa olennaista on myös vapaamuotoinen sosiaalinen kontakti. Tutkimuksen tulokset liittyvät muun muassa seuraaviin palautumisen psykologian mekanismeihin; psykologinen irrottautuminen, rentoutuminen ja kontrolli. Tulokset heijastavat myös ympäristöpsykologian luonnonympäristön luoman elpymiskokemuksen osakomeuksia; paikassa syntyvä lumoutuminen, arkipäivästä irrottautumisen tuntemus, ympäristön yhtenäisyyden ja johdonmukaisuuden tuntu sekä ympäristön sopivuus itselle

Trooppiteoriat ja relaatiossa olemisen analyysi

Trope theories aim to eschew the primitive dichotomy between characterising (properties, relations) and characterized entities (objects). This article (in Finnish) presents a new trope theoretical analysis of relational inherence as the best way out of the impasse created by the alleged necessity to choose between an eliminativist and a primitivist ("relata-specific") view about relations in trope theory

Gromov–Hausdorff -etäisyys

Tässä työssä syvennytään metristen avaruuksien erilaisuuden vertailuun määrittelemällä niin sanottu Gromov–Hausdorff -etäisyys, eli metristen avaruuksien välinen etäisyyskuvaus, jonka osoitetaan toteuttavan metriikan ehdot jokaisessa joukossa metristen avaruuksien ekvivalenssiluokkia. Työssä todistetaan, että metristen avaruuksien välinen Gromov–Hausdorff -etäisyys on nolla, jos ja vain jos avaruudet ovat isometrisia. Työn päätuloksena todistetaan, että jonolla tasaisesti kompakteja metrisiä avaruuksia on osajono, joka suppenee kompaktien metristen avaruksien kokoelmassa Gromov–Hausdorff -metriikalla. Tutkielman edetessä todistetaan muita yleisiä, tutkielmassa hyödynnettäviä matemaattisia tuloksia. Näistä mainittakoon Heinen ja Borelin lause, jonka mukaan metrinen avaruus on kompakti, jos ja vain jos se on täysin rajoittunut ja täydellinen. Todistus pohjautuu metrisiin avaruuksiin pätevään jonokompaktiuden määritelmään. Lisäksi todistetaan, että jos f on tasaisesti jatkuva kuvaus metrisen avaruuden (X ,d_X) tiheältä osajoukolta A täydelliselle metriselle avaruudelle (Y, d_Y), niin on olemassa sellainen tasaisesti jatkuva kuvaus g : \overline{A} → Y, että g on kuvauksen f laajennus. Työn kannalta yksi merkittävimmistä välituloksista koskee metrisen täydellistämistä, jonka mukaan jokaisella metrisellä avaruudella (X, d) on olemassa sellainen täydellinen metrinen avaruus (Y, d^*) ja sellainen isometrinen kuvaus \varphi : X → Y, että \varphi(X) on tiheä avaruudessa Y

Kierto- ja peilauskuvaukset äärellisulotteisessa euklidisessa avaruudessa R^n

Tämä tutkielma käsittelee kierto- ja peilauskuvausten matemaattista taustaa. Tavoitteena on antaa lukijalle perustavanlaatuinen ymmärrys näiden kuvausten ominaisuuksista, sekä työkalut laskea vektorien kiertoja ja peilauksia. Työssä rajoitutaan tutkimaan äärellisulotteisia euklidisia avaruuksia R^n, eivätkä pohjatietovaatimukset täten ulotu lineaarialgebran perusteita pidemmälle. Ensimmäinen luku esittelee työn tarkoituksen ja rakenteen. Samalla luodaan katsaus siihen vaikeuteen, jonka ihminen kohtaa siirtyessään kolmea ulottuvuutta korkeampiin avaruuksiin. Toinen luku luo tutkielman perustan määrittelemällä vektoriavaruudet, niiden aliavaruudet ja kannat. Keskeiseksi käsitteeksi muodostuva projektiokuvaus määritellään aliavaruuksien suoran summan avulla. Lopuksi lasketaan esimerkki projektiokuvauksesta etsimällä annetulle R^2:n aliavaruudelle kohtisuora komplementti. Kolmannessa luvussa tarkastellaan vektorien välistä kulmaa, pituutta ja erityisesti isometrioita; etäisyydet säilyttäviä kuvauksia. Luvussa osoitetaan origon kiinnittävän isometrian säilyttävän pistetulon, jonka merkitys korostuu seuraavassa luvussa. Työn neljäs luku syventyy lineaarikuvauksiin. Kahden esimerkin avulla nähdään, miten lineaarikuvauksen matriisi muodustuu lähtöavaruuden kantavektorien kuvista. Keskeiseksi käsitteeksi nouseva ortogonaalinen kuvaus määritellään lineaarikuvauksena, jonka kuvausmatriisin A transpoosi A^T on sen inverssi A^T = A^(-1). Luvussa osoitetaan sekä ortogonaalisen kuvauksen olevan origon kiinnittävä isometria että origon kiinnittävän isometrian olevan ortogonaalinen kuvaus. Lopuksi johdetaan projektiokuvaukselle matriisiesitys, joka yksinkertaistaa projektioiden käytännön laskemista merkittävästi. Viidennessä luvussa määritellään kierto- ja peilauskuvaukset avaruudessa R^n. Perusteellinen esimerkki kiertokuvauksesta R^4:ssä yhdistää edellisten lukujen tuloksia. Työ huipentuu isometrian käsitteeseen perustuvaan yhtenevyyden määritelmään ja näyttöön siitä, että sekä kierto- että peilauskuvaukset säilyttävät yhtenevyyden

Convex-transitive Banach spaces and their hyperplanes

The topic of this dissertation is the geometric and isometric theory of Banach spaces. This work is motivated by the known Banach-Mazur rotation problem, which asks whether each transitive separable Banach space is isometrically a Hilbert space. A Banach space X is said to be transitive if the isometry group of X acts transitively on the unit sphere of X. In fact, some weaker symmetry conditions than transitivity are studied in the dissertation. One such condition is an almost isometric version of transitivity. Another investigated condition is convex-transitivity, which requires that the closed convex hull of the orbit of any point of the unit sphere under the rotation group is the whole unit ball. Following the tradition developed around the rotation problem, some contemporary problems are studied. Namely, we attempt to characterize Hilbert spaces by using convex-transitivity together with the existence of a 1-dimensional bicontractive projection on the space, and some mild geometric assumptions. The convex-transitivity of some vector-valued function spaces is studied as well. The thesis also touches convex-transitivity of Banach lattices and resembling geometric cases.Tämä matematiikan väitöskirja käsittelee Banach-avaruuksien geometristä ja isometristä teoriaa. Työtä motivoi tunnettu Banach-Mazurin rotaatio-ongelma, joka on ollut avoinna vuodesta 1932. Väitöskirjassa tutkitaan siis Banach-avaruuksien symmetrioita. Banach-avaruus on metrisessä mielessä täydellinen normiavaruus, jonka yleensä ajatellaan olevan ääretönulotteinen. Banach-avaruuden rotaatio on lineaarinen, normin säilyttävä bijektio avaruudelta itselleen. Banach-avaruutta kutsutaan transitiiviseksi, jos mille tahansa kahdelle pisteelle, joiden normi on 1, löytyy rotaatio joka vie näistä pisteistä yhden pisteparin toiselle pisteelle. Rotaatio-ongelma kysyy onko jokainen separoituva transitiivinen Banach-avaruus itseasiassa Hilbert-avaruus. Avaruus on separoituva jos se sisältää tiheän numeroituvan osajoukon. Väitöskirjan tulokset liittyvät avaruuksiin, joissa on lähtökohtaisesti vähemmän symmetrioita kuin rotaatio-ongelma edellyttää mutta toisaalta tässä tutkituilta avaruuksilta edellytetään lisäksi rakenteellisia ominaisuuksia, jotka liittyvät yksikköpallon geometriaan ja avaruuden ortogonaalistyyppisiin hajoitelmiin. Lisäksi tutkitaan myös vektoriarvoisten funktioavaruuksien rotaatioita, jossa nämä funktioavaruudet tunnetaan ennalta epäisomorfisiksi Hilbert-avaruuden kanssa

Max–plus-algebra ja amerikkalaiset optiot

Tässä tutkielmassa perehdytään niin sanottuun ylimartingaalin hajotelmaan max–plus-algebrassa ja sovelletaan sitä amerikkalaisiin optioihin. Tulokset esitellään pääosin jatkuvassa aika-avaruudessa, mutta myös diskreetin ajan tuloksia käsitellään. Markkinoilla myytävissä optioissa kiinnostavaa ovat se, milloin optio kannattaa käyttää ja se, milloin option myyjä voi saada voittoa. Amerikkalaisen option haltija voi käyttää option milloin tahansa sen voimassaoloaikana. Ylimartingaalin hajotelma max–plus-algebrassa takaa tietynlaisille stokastisille prosesseille sen, että amerikkalaisen option optimointiongelma voidaan ratkaista laskematta option hintaa, toisin sanoen optimaalisen pysäytyshetken etsiminen helpottuu. Jatkuvan ajan tulokset on esitelty Nicole El Karouin ja Asma Mezioun artikkelissa Max-plus Decomposition of Supermartingales and Convex Order. Application to American Options and Portfolio Insurance vuonna 2007. D. A. Darling, T. Liggett ja H. M. Taylor käsittelivät artikkelissaan Optimal Stopping Time for Partial Sums samaa asiaa diskreetissä ajassa jo vuonna 1972. Max–plus-algebra on eksoottinen algebra, jossa on kaksi operaatiota ⊕ = max ja ⊗ = +. Monet normaalissa algebrassa hankalat laskelmat onnistuvat max–plus-algebrassa helposti. Ylimartingaalin hajotelma max–plus-algebrassa mahdollistaa monenlaisia sovelluksia amerikkalaisen option lisäksi muun muassa matemaattisessa fysiikassa ja tietoliikenneverkoissa. Tutkielma etenee siten, että aluksi määritellään todennäköisyysavaruus ja tuodaan avaruuteen mukaan tarpeellisia ominaisuuksia kuten historia, ja esitellään muun muassa martingaalit. Amerikkalaisiin optioihin perehdytään siinä laajuudessa kuin päätulosten kannalta on tarpeellista. Tämän jälkeen tutustutaan max–plus-algebraan ja sen algebrallisiin ominaisuuksiin sekä ylimartingaalin hajotelmaan max–plus-algebrassa jatkuvassa aika-avaruudessa. Tulosta sovelletaan amerikkalaisiin osto-optioihin sekä jatkuvassa että diskreetissä avaruudessa. Tutkielmassa karakterisoidaan optimaalinen pysäytyshetki ylimartingaalin max–plus-hajotelman indeksiprosessin suhteen, missä oletukseksi tarvitaan multiplikatiivinen eli geometrinen Lévy-prosessi. Ensin osoitetaan se, että arvofunktiota ei tarvitse laskea optimaalisen pysäytyshetken ratkaisemiseksi. Sitten huomataan, että äärellisen maturiteetin tapaus on monimutkaisempi kuin äärettömän tapaus. Esimerkkejä käsitellään sekä geometrisesta Brownin liikkeestä että multiplikatiivisesta Lévy-prosessista. Myyntioptiota käsitellään lyhyesti ja pelkästään jatkuvassa aika-avaruudessa, sillä se saadaan osto-optiosta helpolla todennäköisyysmitan vaihdolla. Viimeiseksi kootaan tutkielman tulokset tiiviisti yhteen

Grassmannin avaruuden kohomologia

Vector bundles are geometric objects obtained by attaching a real vector space to each point of a given topological space, called the base space, such that these spaces vary continuously. Vector bundles arise in many areas of geometry and analysis, the most notable example being perhaps the tangent bundle of a smooth manifold. In this work we will focus on the special class of complex vector bundles, which are obtained by imposing a complex structure on the real vector spaces in a given bundle. Two central tools in the study of vector bundles are characteristic classes and a classifying space called the Grassmannian. Characteristic classes are natural associations of cohomology classes of the base space to each vector bundle. The main characteristic classes of complex vector bundles are called Chern classes, and they are even-dimensional integral cohomology classes. The Grassmannian, on the other hand, is constructed as the set of subspaces of a fixed dimension of the infinite-dimensional complex vector space C-infinity, and it comes equipped with a tautological vector bundle. In this work we define complex vector bundles and finite and infinite versions of the Grassmannian, and discuss the classifying space nature of the infinite Grassmannian. Then we prove the Thom isomorphism theorem concerning cohomology groups of vector bundles, and use the result to define Chern classes. Finally, we show that the integral cohomology ring of the Grassmannian is a polynomial ring generated by the Chern classes of the tautological bundle.Vektorikimput ovat geometrisia objekteja, jotka voidaan rakentaa kiinnittämällä euklidinen avaruus jonkin topologisen avaruuden, pohja-avaruuden, jokaiseen pisteeseen jatkuvalla tavalla. Vektorikimput ovat keskeisiä monilla geometrian ja analyysin alueilla, ja kenties tärkein esimerkki vektorikimpusta on sileän moniston tangenttikimppu. Tässä työssä keskitytään kompleksisiin vektorikimppuihin, jotka saadaan määrittelemällä kompleksinen rakenne annetun vektorikimpun säikeissä. Kaksi keskeistä työkalua vektorikimppujen tutkimuksessa ovat karakteristiset luokat ja Grassmannin avaruutena tunnettu luokitteluavaruus. Karakteristinen luokka on sääntö, joka liittää jokaiseen vektorikimppuun pohja-avaruuden kohomologialuokan luonnollisella tavalla. Kompleksisten vektorikimppujen pääasiallisia karakteristisia luokkia kutsutaan Chernin luokiksi. Grassmannin avaruus puolestaan on ääretönulotteisen kompleksisen vektoriavaruuden C-ääretön tiettyä dimensiota olevien aliavaruuksien joukko. Grassmannin avaruuteen liitetään myös niin kutsuttu tautologinen vektorikimppu. Tässä työssä määritellään kompleksiset vektorikimput ja Grassmannin avaruuden äärellinen ja ääretön versio sekä kuvataan tapa, jolla ääretön Grassmannin avaruus voidaan ymmärtää luokitteluavaruutena. Tämän jälkeen todistetaan vektorikimppujen kohomologiaryhmiä koskeva Thomin isomorfismilause, ja käytetään kyseistä tulosta Chernin luokkien määrittelemiseen. Lopuksi näytetään, että Grassmannin avaruuden kokonaislukukertoiminen kohomologiarengas on tautologisen kimpun Chernin luokkien virittämä polynomirengas