О СТРУКТУРЕ ЦЕНТРАЛИЗАТОРА ЭЛЕМЕНТОВ В ГРУППАХ АРТИНА С ДРЕВЕСНОЙ СТРУКТУРОЙ

We described structure of an centralizer of elements in Artin groups with arboreal structure. Описывается структура централизатора элементов в группах Артина с древесной структурой

ПРОБЛЕМА СОПРЯЖЕННОСТИ СЛОВ В ДРЕВЕСНОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ СВОБОДНЫХ ГРУПП С ЦИКЛИЧЕСКИМ ОБЪЕДИНЕНИЕМ

In the work positively with the problem of the conjugation words in a tree product of free groups associated with cyclic subgroups. This work is a generalization of the well-known results of Lipschutz S. for a free product of two free groups with cyclic amalgamation.When solving the main problem it is proved the solvability of the problem of intersection of finite generated subgroup of this group with a cyclic subgroup of the factor group and the problem of the intersection of the co-set of finite generated by subgroup with a cyclic subgroup of the factor group.  В работе положительно решена проблема сопряженности слов в древесном произведении свободных групп с ассоциированными циклическими подгруппами. Представленный результат является обобщением известного результата С.Липшуца для свободного произведения двух свободных групп с циклическим объединением. При решении основной проблемы доказывается разрешимость проблемы пересечения конечно порожденной подгруппы данного класса групп с циклической подгруппой, принадлежащей сомножителю основной группы, а так же проблема пересечения смежного класса конечно порожденной подгруппы с циклической подгруппой, принадлежащей сомножителю.

One-Way Functions and Composition of Conjugacy and Discrete Logarithm Problems in the Small Cancellation Groups

The paper considers the possibility for building a one-way function in the small cancellation group. Thus, it uses the algorithm to solve the problem for a cyclic subgroup, also known as a discrete logarithm problem, and the algorithm to solve the word problem in this class of groups.Research is conducted using geometric methods of combinatorial group theory (the method of diagrams in groups).In public channel exchange of information are used one-way functions, direct calculation of which should be much less complicated than the calculation of the inverse function. The paper considers the combination of two problems: discrete logarithms and conjugacy. This leads to the problem of conjugate membership for a cyclic subgroup. The work proposes an algorithm based on this problem, which can be used as a basis in investigation of the appropriate one-way function for its fitness to build a public key distribution scheme.The study used doughnut charts of word conjugacy, and for one special class of such charts has been proven a property of the layer-based periodicity. The presence of such properties is obviously leads to a solution of the power conjugacy of words in the considered class of groups. Unfortunately, this study failed to show any periodicity of a doughnut chart, but for one of two possible classes this periodicity has been proven.The building process of one-way function considered in the paper was studied in terms of possibility to calculate both direct and inverse mappings. The computational complexity was not considered. Thus, the following two tasks were yet unresolved: determining the quality of one-way function in the above protocol of the public key distribution and completing the study of the periodicity of doughnut charts of word conjugacy, leading to a positive solution of the power conjugacy of words in the class groups under consideration.DOI: 10.7463/mathm.0515.082067

Односторонние функции и композиция проблем сопряжённости и дискретного логарифмирования в C(3)-T(6)-группах

The paper considers the possibility for building a one-way function in the small cancellation group. Thus, it uses the algorithm to solve the problem for a cyclic subgroup, also known as a discrete logarithm problem, and the algorithm to solve the word problem in this class of groups.Research is conducted using geometric methods of combinatorial group theory (the method of diagrams in groups).In public channel exchange of information are used one-way functions, direct calculation of which should be much less complicated than the calculation of the inverse function. The paper considers the combination of two problems: discrete logarithms and conjugacy. This leads to the problem of conjugate membership for a cyclic subgroup. The work proposes an algorithm based on this problem, which can be used as a basis in investigation of the appropriate one-way function for its fitness to build a public key distribution scheme.The study used doughnut charts of word conjugacy, and for one special class of such charts has been proven a property of the layer-based periodicity. The presence of such properties is obviously leads to a solution of the power conjugacy of words in the considered class of groups. Unfortunately, this study failed to show any periodicity of a doughnut chart, but for one of two possible classes this periodicity has been proven.The building process of one-way function considered in the paper was studied in terms of possibility to calculate both direct and inverse mappings. The computational complexity was not considered. Thus, the following two tasks were yet unresolved: determining the quality of one-way function in the above protocol of the public key distribution and completing the study of the periodicity of doughnut charts of word conjugacy, leading to a positive solution of the power conjugacy of words in the class groups under consideration.DOI: 10.7463/mathm.0515.0820675В данной работе рассматривается возможность построения односторонней функции для схемы открытого распределения ключей на основе композиции задач о дискретном логарифмировании и сопряжённости в группах с условиями C(3)-T(6). При этом используются следующие алгоритмы: алгоритм, решающий проблему вхождения в циклическую подгруппу, известную также как проблема дискретного логарифмирования, алгоритм, решающий проблему равенства слов в данном классе групп, и алгоритм, решающий проблему сопряжённости слов. Исследование проводится с использованием геометрических методов комбинаторной теории групп (метода диаграмм над группами). Нашей задачей было построить алгоритм, вычисляющий значение обратной функции в композиции проблем сопряжённости и дискретного логарифмирования на группе с условиями малого сокращения C(3)-T(6). Исследования показывают, что процедура вычисления обратной функции реализуема при условии, что прямая функция применяется к словам специального вида. В общем случае задача вычисления обратной функции остаётся открытой. Тем не менее, поскольку при обмене ключами по открытому каналу абоненты выбирают аргументы функции на своё усмотрение, то упомянутое ограничение множества слов не влияет на вычислительную сложность алгоритмов и их применимость в криптографии.DOI: 10.7463/mathm.0515.082067

One-way functions based on the discrete logarithm problem in the groups meeting conditions C(3)-T (6)

In this work we are consider a possibility to create schemes of open key distribution in the groups meeting conditions C(3)-T(6). Our constructions use the following algorithms.1. The algorithm that solves the membership problem for cyclic subgroups, also known as the discrete logarithm problem.2. The algorithm that solves the word problem in this class of groups.Our approach is based on the geometric methods of combinatorial group theory (the method of diagrams in groups).In a cryptographic scheme based on the open key distribution one-way functions are used, i.e. functions direct calculation of which must be much easier than that of the inverse one. Our task was to construct a one-way function using groups with small cancelation conditions C(3)-T(6) and to compare the calculation complexity of this function with the calculation complexity of its inverse.P.W. Shor has shown in the paper that there exists a polynomial algorithm that can be implemented in a quantum computer to solve the discrete logarithm problem in the groups of units of finite fields and the rings of congruences mod n. This stimulated a series of investigations trying to find alternative complicated mathematical problems that can be used for construction of new asymmetric cryptosystems. For example, open key distribution systems based on the conjugacy problem in matrix groups and the braid groups were proposed.In the other papers the constructions used the discrete logarithm problem in the groups of inner automorphisms of semi-direct products of SL(2,Z) and Zp and GL(2,Zp) and Zp. groups. The paper of E. Sakalauskas, P. Tvarijonas, A. Raulinaitis proposed a scheme that uses a composition of two problems of group theory, namely the conjugacy problem and the discrete logarithm problem.Our results show that the scheme that we propose is of polynomial complexity. Therefore its security is not sufficient for further applications in communications. However the security can be improved through combining the word problem with other algebraic problems such as the problem of the membership in the cyclic subgroups and the conjugacy problem.</p

Простые кольцевые диаграммы и проблема степенной сопряжённости в группах с условиями C(3)-T(6)

In this paper we investigate the structure of the ring diagrams with periodic marks in groups with small cancellation conditions C (3) T (6). These diagrams are used to solve the tasks such as the problem of conjugate words, the problem of conjugate occurrence in cyclic subgroup, and the problem of power conjugacy. In groups of this class the first two problems are solved positively. The third is formulated as follows: to find out if there are integers of m, n, for which the degree of words v, w with indicators of m, n are respectively conjugated in the group G = (X; R).To solve this problem it is sufficient to obtain upper bounds for the lengths of boundary marks of a conjugacy diagram, or to limit the modules of the integers n, m. This is the subject of this paper.Exploring the diagrams of conjugacy of words degrees, irreducible in a special sense, it becomes possible to break a set of these diagrams into three classes. Working with one of these classes, and using the periodicity of boundary marks of a diagram it becomes possible to prove the periodicity of the layers in this diagram, and later on also to limit the length of the borders. In another class is a sufficient to limit the lengths of the boundary marks since the diagrams in this class are not the n-layered, and their boundary marks intersect.Thus, it becomes possible to limit the degree indicators of the conjugate words thereby, in fact, solving the formulated problem in the considered class of groups, provided that the diagram of conjugacy belongs to the second class mentioned. Hence, the final solution of the power conjugacy problem requires its solving for the case of diagrams of the third type.В данной работе исследуется структура кольцевых диаграмм с периодическими метками над группами с условиями малого сокращения С(3)-Т(6). Подобные диаграммы используются для решения  таких задач, как проблема сопряжённости слов, проблема сопряжённого вхождения в циклическую подгруппу, проблема степенной сопряжённости. В группах данного класса первые две проблемы решены положительно. Третья формулируется следующим образом: выяснить, существуют ли целые числа m, n, для которых степени слов v, w с показателями m, n соответственно сопряжены в группе G=(X;R).Для решения этой задачи достаточно получить верхние оценки длин граничных меток диаграммы сопряжённости, или ограничить модули целых чисел n, m. Этому и посвящена данная работа.Рассматривая диаграммы сопряжённости степеней слов, несократимых в некотором специальном смысле, удаётся разбить множество этих диаграмм на три класса. Работая с одним из этих классов и пользуясь периодичностью граничных меток диаграммы, удаётся доказать периодичность слоёв этой диаграммы, а в дальнейшем и ограничить длины границ. В другом классе достаточным оказывается ограничение длин граничных меток, поскольку диаграммы в этом классе не являются n-слойными, и их граничные метки пересекаются.Таким образом, удаётся ограничить показатели степеней сопряжённых слов, что фактически решает поставленную задачу в рассматриваемом классе групп, но при условии, что диаграмма сопряжённости принадлежит второму из упомянутых классов. Тем самым, для окончательного решения проблемы степенной сопряжённости необходимо решить её для случая диаграмм третьего типа

Асимметричная схема передачи секретного ключа по открытому каналу в k-детерминированных группах с условиями C(3)-T(6)

The article solves a problem of developing a scheme to provide a secret key exchange over an open communication channel. The basic idea of creating such a scheme is well known. It is based on a concept of the one-way function. This refers to the functions whose values are calculated much easier than the inverse function values. When developing the one-way functions a recognition algorithm of words equality in groups with conditions of small cancellation C (3) - T (6) is used. In this case, the group is represented by a set of its generating and determining relations. All the work to accomplish development of algorithms and evaluate their complexity is carried out using the group diagrams of equality. The existence of such diagrams is proved in the well-known van Campen lemma. The paper result is that the proposed scheme for the exchange of secret keys has the following properties. Direct algorithms have a linear complexity, and a complexity of the inverse algorithms is exponential. It should be noted that the algorithms complexity was estimated by the areas of the corresponding group diagrams, which are determined by the number of areas they include. The constructed secret key represents some element of a pre-selected group with conditions C (3) – T (6). It can be represented in an infinite number of ways by words in the alphabet from the generators of the group. Thus, the remaining obstacle to the practical application of the key exchange scheme developed is the ambiguity of the secret key record. Finding a common representative as the lexicographically shortest word in the class of equal words turns out to be too difficult. Thus, this question remains open. Although the task of exchanging secret keys itself can be formally considered as solved.В данной статье решается следующая задача: построение схемы обмена секретными ключами по открытому каналу связи. Основная идея построения такой схемы общеизвестна. Она базируется на понятии односторонней функции. Это функции, значения которых вычисляются гораздо проще, чем значения обратных функций. При построении односторонних функций используется алгоритм распознавания равенства слов в группах с условиями малого сокращения С(3)-Т(6). При этом группа представляется множеством своих образующих и определяющих соотношений. Вся работа, связанная с построением алгоритмов и оценкой их сложности, проводится с групповыми диаграммами равенства. Существование таких диаграмм доказано в известной лемме Ван Кампена. Итогом работы является следующий результат. Предложенная в статье схема обмена секретными ключами обладает следующими свойствами. Прямые алгоритмы имеют линейную сложность, а обратные – экспоненциальную. Следует отметить, что сложность алгоритмов оценивалась площадями соответствующих  групповых диаграмм, которые определяются числом входящих в них областей. Построенный секретный ключ представляет собой некоторый элемент заранее выбранной группы с условиями С(3)-Т(6). Он может быть представлен бесконечным числом способов словами в алфавите из образующих группы. Таким образом, оставшимся препятствием к практическому применению построенной схемы обмена ключами является неоднозначность записи секретного ключа. Поиск общего представителя как лексикографически кратчайшего слова в классе равных слов оказывается слишком сложной задачей. Таким образом, этот вопрос остаётся открытым. Хотя сама задача обмена секретными ключами формально может считаться решённой