Сеточный метод решения одной начально-краевой задачи для многомерного уравнения параболического типа общего вида

The problems concerning the physical process studies that lead to mathematical models based on a parabolic type equation are of great practical importance.When solving the parabolic equation, a transition from the one-dimensional equation to the multidimensional one gives a rise to some difficulties. The trouble is that amount of computations significantly increases in the transition from the one-dimensional problems to the multidimensional ones In this regard a task to build the economical difference schemes for a numerical solution of multidimensional problems is a challenge.A difference scheme that approximates the problem over time is economical, if it is unconditionally stable and the desirable number of arithmetic operations in the transition from layer to layer is proportional to the number of nodes in each time layer.The paper dwells on the construction of a locally one-dimensional (economical) difference scheme for the approximate solution of a parabolic type equation of a general form in a multidimensional domain, the main idea of which is to reduce a complex problem to a sequential solution of boundary value problems of a simpler structure. At the same time, there is a construction of the economical, unconditionally stable difference scheme for each of the intermediate problems. To have a numerical solution of the problem, there is a construction of the locally one-dimensional difference scheme of A.A. Samarsky. Using a method of energy inequalities allows us to obtain a priori estimates in the differential and difference interpretations, whence it follow that there are the uniqueness, stability, as well as the convergence of the solution of the locally one-dimensional difference scheme to the solution of the original differential problem. For a bi-dimensional problem, a numerical solution algorithm is constructed.Большое практическое значение имеют задачи, связанные с исследованием физических процессов, приводящих к  математическим моделям, в основе которых лежит уравнение параболического типа.При решении параболических уравнений переход от одномерного случая к многомерному вызывает существенные затруднения. Сложность заключается в значительном увеличении объёма вычислений, возникающем при переходе от одномерных задач к многомерным. В этой связи актуальное значение приобретает задача построения экономичных разностных схем для численного решения многомерных задач.Разностную схему, аппроксимирующую задачу со временем, называют экономичной, если она безусловно устойчива и при переходе от слоя к слою требуется количество арифметических операций, пропорциональное числу узлов на  каждом временном слое.Настоящая работа посвящена построению локально-одномерной (экономичной) разностной схемы для приближенного решения уравнения параболического типа общего вида в многомерной области, основная идея которой состоит в сведении сложной задачи к последовательному решению краевых задач более простой структуры. При этом для каждой из промежуточных задач строится экономичная, безусловно устойчивая разностная схема.  Для численного решения поставленной задачи строится локально-одномерная разностная схема А.А. Самарского. Методом энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках, откуда следуют единственность, устойчивость, а также сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи. Для двумерной задачи построен алгоритм численного решения

Асимптотика собственных значений периодического оператора с двумя разбегающимися возмущениями на оси

We consider a second-order periodic operator with two distant perturbations on the real axis. Perturbations are real finite continuous potentials. The objective is to investigate a behavior of the eigenvalues of the perturbed operator when the distance between the potentials tends to infinity.  The study issue is an existence of perturbed eigenvalues in the case of a double limiting eigenvalue (the simple and isolated eigenvalue of a periodic operator with first potential + the simple and isolated eigenvalue of a periodic operator with а second potential).The paper aim is to construct the first terms of the asymptotic expansions of the perturbed eigenvalues and the corresponding eigenfunctions in the case of a double limiting eigenvalue.The technique to obtain the results can also find application when constructing complete asymptotic expansions of perturbed eigenvalues and their corresponding eigenfunctions. The finiteness of the distant potentials allowed us to reveal the complex exponential structure of the asymptotics obtained.The main results include the following:the first terms of the asymptotic expansions of the perturbed eigenvalues and their corresponding eigenfunctions;symmetry of the first corrections of the asymptotics of the perturbed eigenvalues with respect to zero;exponential structure of the asymptotics of perturbed eigenvalues and their corresponding eigenfunctions.Рассматривается периодический оператор второго порядка с двумя разбегающимися возмущениями на оси. Возмущениями являются вещественные финитные непрерывные потенциалы. Исследуется поведение собственных значений возмущённого оператора, когда расстояние между потенциалами стремится к бесконечности. Изучается вопрос существования возмущённых собственных значений в случае двукратного предельного собственного значения (простое и изолированное собственное значение периодического оператора с первым потенциалом + простое и изолированное собственное значение периодического оператора со вторым потенциалом).Целью работы является построение первых членов асимптотических разложений возмущённых собственных значений и соответствующих им собственных функций в случае двукратного предельного собственного значения.Результаты были получены с помощью методики, которая применима и для построения полных асимптотических разложений возмущённых собственных значений и соответствующих им собственных функций. Финитность разбегающихся потенциалов, позволила выявить экспоненциальную структуру полученных асимптотик.К основным результатам работы относятся:первые члены асимптотических разложений возмущённых собственных значений и соответствующих им собственных функций;симметричность первых поправок асимптотик возмущённых собственных значений относительно нуля.экспоненциальная структура асимптотик возмущённых собственных значений и соответствующих им собственных функций

О классификации n-разделимых функций многих переменных над конечными полями и одной задаче олимпиады NSUCrypto’2019

A problem of great importance that arises in designing and implementation of a cryptosystem is countering side channel attacks. Often an appropriate mathematical algorithm, implemented on a specific physical device to work in the physical environment,   becomes vulnerable to such attacks.The “function sharing” technique is a prospective and efficient way to avoid this problem. In the paper we investigate “non-complete sharing” of Boolean functions and mappings, and functions and mappings over finite fields and provide a complete description of the set of functions with n variables, which have sharing.The main findings are the following: introducing and investigating a new concept of “weak” non-complete n-sharing, establishing its connection with “weak” and “classical” n-sharing, and substantiating its advantages from the algebraic point-of-view as well as establishing and proving a criterion for the existence of weak non-complete n-sharing for an arbitrary function. The results also include an explicit description of a set of functions which have weak sharing in terms of algebraic normal form, obtaining the precise and simple descriptions for the boundary (“border”) cases: n = 2, n=m and binary fields.  Applying these results to the AES S-box allows complete solving the problem,  i.e. a complete answer to the question of a representability of the S-box of the AES cipher as a sharing is available. We believe that the same way can be successful for other cryptographic algorithms.Одной из важных проблем, возникающих при проектировании и практической реализации криптосистем, является противодействие атакам по побочным каналам. Нередко алгоритмы, стойкость которых с чисто математической точки зрения не вызывает больших сомнений, оказываются уязвимыми к таким атакам при их реализации на конкретном физическом устройстве.Техника разделений функций и отображений является эффективным инструментом для создания реализаций криптографических алгоритмов, защищенных от атак по побочным каналам. В настоящей статье исследуются неполные разделения булевых отображений и отображений над конечными полями. В рамках данной работы дано полное описание множества функций от n переменных, допускающих разделения на функции от n-1 переменной. Полученные результаты обобщаются на случай отображений над произвольными конечными полями.Основными результатами данной работы являются следующие: введено и исследовано понятие "слабого неполного n-разделения"; установлена его связь с классическим понятием n-разделения, обоснованы его преимущества с точки зрения алгебраической структуры; установлен и доказан критерий существования слабого неполного n-разделения для произвольной функции над произвольным полем; дано явное описание функций от m переменных, допускающих  n-разделения для случая конечных полей произвольной характеристики в терминах алгебраической нормальной формы; получены точные и простые описания для граничных случаев n = 2, n=m и двоичных полей; получен полный ответ на вопрос о представимости S-блока шифра AES в виде разделения.Указанные результаты могут быть использованы для построения реализаций криптографических алгоритмов, защищенных от атак по побочным каналам. Также данный подход позволяет в ряде случаев обнаружить и количественно оценить принципиальную уязвимость конкретных криптографических конструкций к атакам по побочным каналам.Также данные результаты могут быть интересны с теоретической точки зрения. В частности, представляется интересным их применение для решения  задачи эффективной декомпозиции функций. Данная функциональность может быть применена, например, в современных системах компьютерной алгебры, символьных вычислений и машинного обучения

Анализ математической модели динамики рака

Qualitative analysis of dynamic systems is a powerful research tool used to solve a great deal of application problems. In mathematical models described by ordinary differential equations, the study of equilibrium positions has actually become the standard: their number and location depending on the parameters, as well as issues of local stability. In mathematical models in various fields of chemistry and biology, it is also important that the natural requirements for the possible values ​​of phase variables are not violated in the process of dynamics (as a rule, this is the non-negativity condition). More sophisticated study orientation is global sustainability.The need for a qualitative analysis of a dynamic system arises because, as a rule, differential equations are not integrated and it is impossible to define the general properties of the system trajectories by integration. However, even if the system of differential equations is integrated, the formulas can be so cumbersome that their use in the analysis of the system dynamics turns out to be a challenge.In this paper, we study an 8-dimensional system of ordinary differential equations that describes the dynamics of cancer during chemotherapy and immunotherapy. The phase space of the system is a non-negative orthant.The paper studies the equilibrium positions of the system. There is always one equilibrium in a system, but there may be two more equilibria. There are conditions for the system parameters found, under which the equilibrium position, being always present is asymptotically stable. Moreover, there is a provement that the asymptotic stability is global.Качественный анализ динамических систем – мощный инструмент исследования, который используют во многих прикладных задачах. В математических моделях, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, фактически стандартом стало исследование положений равновесия: их количество и расположение в зависимости от параметров, а также вопросы локальной устойчивости. В математических моделях в различных областях химии и биологии важно также, чтобы в процессе динамики не нарушались естественные требования на возможные значения фазовых переменных (как правило, это условие неотрицательности). Более сложные исследования связаны с глобальной устойчивостью.Необходимость в качественном анализе динамической системы возникает в силу того, что, как правило, дифференциальные уравнения не интегрируются и установить общие свойства траекторий системы путем интегрирования не получается. Впрочем, даже если система дифференциальных уравнений интегрируется, формулы могут быть настолько громоздкими, что их использование в анализе динамики системы оказывается проблематичным.В данной работе исследуется 8-мерная система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамику рака при химиотерапии и иммунотерапии. Фазовым пространством системы является неотрицательный ортант.В работе исследуются положения равновесия системы. В системе всегда есть одно положение равновесия, но могут присутствовать еще два положения равновесия. Выявлены условия на параметры системы, при которых всегда присутствующее положение равновесия асимптотически устойчиво. При этом доказано, что асимптотическая устойчивость является глобальной

О поведении дискретного спектра оператора Лапласа с двумя разбегающимися возмущениями на плоскости в случае двукратного предельного собственного значения

We consider the Laplacian with two distant perturbations on the plane. Perturbations are a real finite continuous potentials. The investigation is aimed at a behavior of the perturbed operator eigenvalues when the distance between the potentials tends to infinity. The study concerns an existence of the perturbed eigenvalues in the case of a double limiting eigenvalue (a double eigenvalue of the Laplacian with the first finite potential).The paper aim is to construct the first terms of the asymptotic expansions of the perturbed eigenvalues and the corresponding eigenfunctions in the case of a double limiting eigenvalue.The technique used to obtain the results is also applicable to the construction of complete asymptotic expansions of perturbed eigenvalues аnd their corresponding eigenfunctions. The finiteness of the distant potentials made it possible to reveal the complex exponential-power structure of the asymptotics obtained.The main study results include  the following:the first terms of the asymptotic expansions of the perturbed eigenvalues and their corresponding eigenfunctions;the first corrections of the asymptotics of the perturbed eigenvalues being equal to zero;exponential-power structure of the asymptotics of perturbed eigenvalues and their corresponding eigenfunctions.Рассматривается оператор Лапласа с двумя разбегающимися возмущениями на плоскости. Возмущениями являются вещественные финитные непрерывные потенциалы. Исследуется поведение собственных значений возмущённого оператора, когда расстояние между потенциалами стремится к бесконечности. Изучается вопрос существования возмущённых собственных значений в случае двукратного предельного собственного значения (двукратное собственное значение оператора Лапласа с первым финитным потенциалом).Целью работы является построение первых членов асимптотических разложений возмущённых собственных значений и соответствующих им собственных функций в случае двукратного предельного собственного значения.Методика, с помощью которой были получены результаты, применима и для построения полных асимптотических разложений возмущённых собственных значений и соответствующих им собственных функций. Финитность разбегающихся потенциалов, позволила выявить сложную экспоненциально-степенную структуру полученных асимптотик.К основным результатам работы относятся:первые члены асимптотических разложений возмущённых собственных значений и соответствующих им собственных функций;равенство нулю первых поправок асимптотик возмущённых собственных значений.экспоненциально-степенная структура асимптотик возмущённых собственных значений и соответствующих им собственных функций

Выбор оптимальных параметров пневматического трехлинейного редукционного клапана прямого действия

Reducing pneumatic valves, which are part of modern pneumatic control systems, are widely used in the automation of production and technological processes in various fields of technology. The efficiency of using pressure reducing valves depends on their parameters and characteristics. To select the optimal parameters of pressure reducing valves, various methods are used based on the search for the minimum of the target (target or criteria) function.The object of study is a three-line direct-acting pressure reducing valve, which ensures the determination of its optimal parameters. To calculate the optimal parameters of the pressure reducing valve, the method of orthogonal experimental design was applied. The main advantage of this method is that in this case all variables are varied simultaneously.The article presents the design features of a three-line direct-acting pressure reducing valve.The developed mathematical model of a pressure reducing valve is presented, which is a system of equations for a three-line direct-acting pressure reducing valve, which should be used to select the optimal parameters of the pressure reducing valve.To calculate the optimal parameters of the pressure reducing valve, the method of orthogonal experimental design was used. As an optimality criterion, the integral criterion of the squared error of the transient process, the change in the pressure level in the outlet line of the valve, was chosen.The optimal parameters of the pressure reducing valve are found, and transient processes of pressure change in the outlet line of the pressure reducing valve are calculated. The main requirements for optimization and selection of the optimal parameters of pressure reducing valves are formulated. A comparison of the transient processes of the outlet pressure before and after optimization is given.Based on the results of the work, the following conclusions were drawn:From the obtained comparative results of the transient processes of the level of outlet pressure in the outlet of the pressure reducing valve before and after optimization, it was found that after optimization the pressure reducing valve has a faster response.The speed has been increased from 0.35 s to 0.27 s, that is, the speed has increased by 1.30 times.The transient overshoot is less than 5%, and the static error is reduced by 1.9% and is completely eliminated.Редукционные пневматические клапаны, входящие в состав современных пневматических систем управления, находят широкое применение при автоматизации производственных и технологических процессов в различных областях техники. Эффективность использования редукционных клапанов зависит от их параметров и характеристик. Для выбора оптимальных параметров редукционных клапанов применяются различные методы, основанные на поиске минимума целевой (целевых или критериев) функции.Объект исследования – трехлинейный редукционный клапан прямого действия, обеспечивающий определение оптимальных его параметров.  Для вычисления оптимальных параметров редукционного клапана применен метод ортогонального экспериментального проектирования. Основное достоинство этого метода состоит в том, что в этом случае одновременно варьируются все переменные.В статье приведены конструктивные особенности трехлинейного редукционного клапана прямого действия.Представлена разработанная математическая модель редукционного клапана,  представляющую собой систему уравнений трехлинейного редукционного клапана прямого действия, которую необходимо использовать для выбора оптимальных параметров редукционного клапана.Для вычисления оптимальных параметров редукционного клапана использован метод ортогонального экспериментального проектирования. В качестве критерия оптимальности выбран интегральный критерий квадрата ошибки переходного процесса, изменения уровня давления в выходной линии клапана.Найдены оптимальные параметры редукционного клапана, и вычислены переходные процессы изменения давления в выходной линии редукционного клапана. Сформулированы основные требования при оптимизации и выборе оптимальных параметров редукционных клапанов. Приведено сравнение переходных процессов величины выходного давления до и после оптимизации.По результатам работы сделаны выводы:Из полученных сравнительных результатов переходных процессов уровня выходного давления в выходной редукционного клапана до и после оптимизации установлено, что после оптимизации редукционный клапан имеет большее быстродействие.Быстродействие увеличено с 0,35 с, до 0,27 с, то есть быстродействие увеличилось в 1,30 раза.Перерегулирование составляет менее 5%, а статическая ошибка уменьшена на 1,9% и полностью отсутствует

Плоское перемещение пятизвенного двуногого робота по поверхности с препятствиями в виде ступеней

Modeling the anthropomorphic robot movement is of great interest to researchers all over the world. At the same time, the movement control of a walking mechanism is always a high dimension challenge. The difficulty with the anthropomorphic robot control is also caused by the fact that such a mechanism has always a hybrid dynamics and represents a sequential change of two phases – the single support phase and the double support phase (phase of changing robot’s leg). At the single support phase and at another phase the behavior of the biped robot is described by a system of ordinary differential equations and by a system of linear algebraic equations, respectively.The task of biped robot movement control has been studied in detail for the case when the robot moves over the horizontal surface. Obstacles make the task significantly complicated. The paper considers the movement control of the biped robot over the surface that is a periodic alternation of horizontal sections and obstacles. The obstacles represent steps of the same height known. It is assumed that the lengths of horizontal sections and steps are known as well. The objective is to create a control that provides robot’s periodic movement over the specified surface according to inherent characteristics of a walking human.For the single support phase, the outputs are proposed, the equality of which to zero corresponds to the robot’s movement with a given set of characteristics. The paper presents the feedback controls that stabilize the proposed outputs for a finite amount of time. By choosing the feedback parameters, it is possible to adjust the stabilization time so that the outputs become equal to zero when reached the end of each step.It is shown that for the chosen control law, the problem of constructing the control of robot’s periodic movement is reduced to the solution of a nonlinear equation. In the paper, we discuss the approaches to solving this equation and present the results of numerical simulation.The results obtained can be used to solve the problem of providing control of the biped robot movement over the surfaces with obstacles of a more complicated shape.Modeling the anthropomorphic robot movement is of great interest to researchers all over the world. At the same time, the movement control of a walking mechanism is always a high dimension challenge. The difficulty with the anthropomorphic robot control is also caused by the fact that such a mechanism has always a hybrid dynamics and represents a sequential change of two phases – the single support phase and the double support phase (phase of changing robot’s leg). At the single support phase and at another phase the behavior of the biped robot is described by a system of ordinary differential equations and by a system of linear algebraic equations, respectively.The task of biped robot movement control has been studied in detail for the case when the robot moves over the horizontal surface. Obstacles make the task significantly complicated. The paper considers the movement control of the biped robot over the surface that is a periodic alternation of horizontal sections and obstacles. The obstacles represent steps of the same height known. It is assumed that the lengths of horizontal sections and steps are known as well. The objective is to create a control that provides robot’s periodic movement over the specified surface according to inherent characteristics of a walking human.For the single support phase, the outputs are proposed, the equality of which to zero corresponds to the robot’s movement with a given set of characteristics. The paper presents the feedback controls that stabilize the proposed outputs for a finite amount of time. By choosing the feedback parameters, it is possible to adjust the stabilization time so that the outputs become equal to zero when reached the end of each step.It is shown that for the chosen control law, the problem of constructing the control of robot’s periodic movement is reduced to the solution of a nonlinear equation. In the paper, we discuss the approaches to solving this equation and present the results of numerical simulation.The results obtained can be used to solve the problem of providing control of the biped robot movement over the surfaces with obstacles of a more complicated shape.Моделирование движений антропоморфных роботов представляет большой интерес для исследователей во всем мире. Вместе с тем, управление движением шагающего механизма – это всегда сложная задача большой размерности. Сложность управления антропоморфным роботом связана еще и с тем, что динамика такого механизма всегда гибридна и представляет собой последовательную смену двух фаз – фазы одноопорного движения и фазы перехода робота с одной ноги на другую. На фазе одноопорного движения поведение шагающего робота описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, на фазе перехода – системой линейных алгебраических уравнений.Задача управления перемещением двуногого шагающего робота детально изучена для случая, когда робот совершает перемещение по горизонтальной поверхности. Наличие препятствий существенно усложняет задачу. В настоящей работе рассматривается проблема управления перемещением двуногого шагающего робота по поверхности, являющейся периодическим чередованием горизонтальных участков и препятствий. Препятствия представляют собой ступени одной и той же известной высоты. Длины горизонтальных участков и ступеней также предполагаются известными. Цель работы – построить управление, обеспечивающее периодическое движение робота по указанной поверхности в соответствии с характеристиками, присущими ходьбе человека.Для фазы одноопорного движения предложены выходы, равенство которых нулю отвечает движению робота с заданным набором характеристик. В работе построены управления в виде обратной связи, которые стабилизируют предложенные выходы за конечное время. За счет выбора параметров в обратной связи можно регулировать время стабилизации так, чтобы выходы становились равными нулю к концу каждого шага.Показано, что при выбранном законе управления задача построения периодического движения робота сводится к задаче решения нелинейного уравнения. В работе обсуждаются способы решения этого уравнения и приводятся результаты численного моделирования.Полученные в работе результаты могут быть использованы для решения задачи управления перемещением шагающих роботов по поверхностям с препятствиями более сложной формы

Анализ эффективности методов полиномиальной степени сложности при декомпозиции OLAP-кубов многомерных данных

The article investigates the problems of reduction (decomposition) of multidimensional data models in terms of hypercube OLAP-structures. Describes the case when a data structure is defined by the array that slices and dices the hypercube into the odd number of subcubes, and this set of subcube structures becomes decomposed. Defines an exact upper bound for increasing a computational performance of methods to analyze OLAP-data on subcubes, which determines the decomposition approach efficiency in comparison with the OLAP-data analysis on a complete unreduced hypercube. A compared efficiency of the hypercube decomposition into two subcubes on the sets consisting of the even and odd number of subcube structures has shown that with considerable data partitioning for methods of a polynomial complexity degree the decomposition efficiency essentially is independent on this factor and rises with increasing complexity degree of methods applied.When using the mathematical methods to study decomposition (reduction) of large hyper-cubes of multidimensional data of analytical OLAP systems into subcube components, there is a need to find conditions for minimising the computational complexity of methods to solve the problems of the OLAP hyper-cube analysis during data decomposition in comparison with using these methods for analyzing large amounts of information that is accumulated directly in the hyper-cubes of multidimensional OLAP-data to establish the criteria for decreasing or increasing computational performance when applying methods on the subcube components (reduction methods) as compared to applying these methods on a hypercube (non-reduction or traditional methods), depending on one or another degree of complexity of complex methods.The article provides an accurate quantitative estimate of decreasing computational complexity of reduction methods for analyzing OLAP-cubes as compared to the non-reduction methods in the case when said methods have the polynomial complexity and the original hypercube array of data comprises the odd number of subcubes.В работе исследуются проблемы редукции (декомпозиции) моделей многомерных данных в виде гиперкубовых OLAP-структур. Рассматривается случай, когда структура данных определяется решеткой, разбивающей гиперкуб на нечетное количество подкубов, и декомпозиция гиперкуба осуществляется на этом множестве подкубовых структур. Установлена точная верхняя граница увеличения вычислительной производительности методов анализа OLAP-данных на подкубах, определяющая эффективность декомпозиционного подхода по сравнению с анализом OLAP-данных на полном нередуцированном гиперкубе. Проведено сравнение эффективности декомпозиции гиперкуба на два подкуба на множествах, состоящих из четного и нечетного числа подкубовых структур и показано, что при большом дроблении данных для методов полиномиальной степени сложности эффективность декомпозиции практически не зависит от этого фактора и растет с ростом степени сложности применяемых методов.При исследовании математическими методами декомпозиции (редукции) больших гиперкубов многомерных данных аналитических OLAP-систем на подкубовые компоненты ищутся условия уменьшения вычислительной сложности методов решения задач анализа OLAP-гиперкубов при декомпозиции данных по сравнению с применением этих методов к анализу больших массивов информации, накапливаемых непосредственно в гиперкубах многомерных OLAP-данных для установления критериев уменьшения или увеличения вычислительной производительности при применении методов на подкубовых компонентах (редукционные методы) по сравнению с применением этих методов на гиперкубе (нередукционные или традиционные методы) в зависимости от классов той или иной степеней сложности рассматриваемых методов.В статье получена точная количественная оценка уменьшения вычислительной сложности редукционных методов анализа OLAP-кубов по сравнению с нередукционными методами в ситуации, когда данные методы имеют полиномиальную степень сложности, а решетка исходного гиперкуба данных состоит из нечетного числа подкубов

Использование многозадачной регрессии для анализа случайных состояний электроэнергетической системы при оценке надёжности методом Монте-Карло

Increasing calculation speed of the electric power system (EPS) reliability of is one of the key issues in their operational management and long-term development planning. Analytical methods to assess the EPS reliability seem to be impossible due to large size of the problem and, as a consequence, essentially the only option for assessing is to use the Monte Carlo method. When it is used both the speed and the accuracy of calculation directly depend on the number of randomly generated system states and the complexity of their calculation in the model. Methods aimed at increasing computational efficiency can relate to two directions - reducing the states under consideration and simplifying the computational model for each state. Both options are performed provided that calculation accuracy is retained.The article presents research on using the machine learning methods and, in particular, the multi-output regression method to modernize the reliability assessment technique via the Monte Carlo method. Machine learning methods are used to determine the power deficit (realization of a random variable) for each random EPS state.The use of multi-output regression enables comprehensive determining of values of all the required variables. The experimental studies are based on the two test circuits of electric power systems: three-zone and IEEE RTS-96 with 24 zones of reliability.Вопрос повышения скорости расчёта надёжности электроэнергетических систем (ЭЭС) является одним из ключевых при их оперативном управлении и долгосрочном планировании развития. Невозможность оценки надёжности ЭЭС аналитическими методами возникает из-за большой размерности задачи и, как следствие, практически единственным вариантом оценки является применение метода Монте-Карло. При его использовании как скорость, так и точность расчёта напрямую зависит от количества случайно сгенерированных состояний системы и сложности их расчёта в модели. Методы, направленные на повышение вычислительной эффективности, могут касаться двух направлений – сокращения рассматриваемых состояний и упрощение расчётной модели для каждого состояния. Оба варианта выполняются с условием сохранения точности расчёта.В данной статье представлены исследования по использованию методов машинного обучения и, в частности, метода многозадачной регрессии для модернизации методики оценки надёжности методом Монте-Карло. Методы машинного обучения применяются для определения дефицита мощности (реализации случайной величины) для каждого случайного состояния ЭЭС. Использование именно многозадачной регрессии позволяет комплексно определять значения всех искомых переменных. Экспериментальные исследования проводятся на двух тестовых схемах электроэнергетических систем – трёхзонной и IEEE RTS-96 с 24 зонами надёжности

Функциональный метод локализации и принцип инвариантности Ла-Салля

A functional method of localization has proved to be good in solving the qualitative analysis problems of dynamic systems. Proposed in the 90s, it was intensively used when studying a number of well-known systems of differential equations, both of autonomous and of non-autonomous discrete systems, including systems that involve control and / or disturbances.The method essence is to construct a set containing all invariant compact sets in the phase space of a dynamical system. A concept of the invariant compact set includes equilibrium positions, limit cycles, attractors, repellers, and other structures in the phase space of a system that play an important role in describing the behavior of a dynamical system. The constructed set is called localizing and represents an external assessment of the appropriate structures in the phase space.Relatively recently, it was found that the functional localization method allows one to analyze a behavior of the dynamical system trajectories. In particular, the localization method can be used to check the stability of the equilibrium positions.Here naturally emerges an issue of the relationship between the functional localization method and the well-known La Salle invariance principle, which can be regarded as a further development of the method of Lyapunov functions for establishing stability. The article discusses this issue.В задачах качественного анализа динамических систем хорошо зарекомендовал себя функциональный метод локализации. Предложенный в 90-хх гг., он активно использовался в исследовании ряда известных систем дифференциальных уравнений, как автономных, так и неавтономных, дискретных систем, в том числе систем включающих управление и/или возмущения.Суть метода состоит в построении такого множества в фазовом пространстве динамической системы, которое содержит все инвариантные компактные множества. Понятие инвариантного компактного множества включает положения равновесия, предельные циклы, аттракторы, репеллеры и другие структуры в фазовом пространстве системы, играющие важную роль в описании поведения динамической системы. Построенное множество называют локализирующим. Оно служит внешней оценкой соответствующих структур в фазовом пространстве.Относительно недавно было установлено, что функциональный метод локализации позволяет анализировать поведение траекторий динамической системы. В частности, с помощью метода локализации можно проверять устойчивость положений равновесия.Здесь естественным образом возникает вопрос о связи функционального метода локализации с известным принципом инвариантности Ла-Салля, который можно рассматривать как дальнейшее развитие метода функций Ляпунова для установления устойчивости. Настоящая статья посвящена обсуждению этого вопроса