Характеристики производительности системы массового обслуживания с расщеплением запросов

Objectives. The problem of investigating a fork-join queuing system is considered. It is required to build the process of the system functioning, to find the condition for the existence of a stationary distribution, and propose algorithms for calculating the stationary distribution and the main stationary performance characteristics. The special interest of the study is to obtain the lower and upper bounds of the mean sojourn time of a customer in the system.Methods. Methods of probability theory, queuing theory and matrix theory are used.Results. The functioning of the system is described in terms of a multidimensional Markov chain. A constructive condition for the existence of a stationary distribution is found, and algorithms for calculating the stationary distribution and stationary performance characteristics of the system are proposed. Analytical expressions are obtained for the lower and upper bounds of the mean sojourn time of customers in the system.Conclusion. The functioning of the fork-join queuing system with a stationary Poisson flow has been studied. Each of the arriving customers forks into two tasks that go to two subsystems, each of which consists of a server and a buffer. We assume that the buffer to one of the servers is unlimited, and to the second server has a finite volume. Service times have, generally speaking, different phase distributions (PH-Phase type distributions). For this system, a condition for the existence of a stationary distribution is obtained, algorithms for calculating the stationary distribution and a number of stationary performance measures of the system are proposed. Analytical expressions for the lower and upper bounds of the mean sojourn time of a customer in the system from the moment it enters the system to the moment of synchronization, which is a critical performance indicator of the fork-join queues, are obtained. The results of the study can be used for modeling various computer and communication systems, in particular, systems that perform parallel computing, customer processing in distributed databases, and parallel disk access.Цели. Рассматривается задача построения и исследования математической модели стохастической системы с расщеплением и сборкой запросов. Требуется построить процесс функционирования системы, найти условие существования стационарного распределения, предложить алгоритмы его вычисления и основных стационарных характеристик производительности системы. Особый интерес вызывает задача получения нижней и верхней границ математического ожидания времени пребывания запроса в системе.Методы. Используются методы теории вероятностей, теории массового обслуживания и теории матриц.Результаты. Функционирование системы описано в терминах многомерной цепи Маркова. Найдено конструктивное условие существования стационарного распределения, предложены алгоритмы его вычисления и стационарных характеристик производительности системы. Получены аналитические выражения для нижней и верхней границ математического ожидания времени пребывания запросов в системе.Заключение. Исследован стационарный режим функционирования системы массового обслуживания с расщеплением и сборкой запросов, поступающих в систему в стационарном пуассоновском потоке. Каждый из поступающих запросов расщепляется на два задания, которые идут в две подсистемы, состоящие из обслуживающего прибора и буфера. Времена обслуживания заданий имеют разные фазовые распределения (PH-Phase type distributions). Для данной системы найдено условие существования стационарного распределения, предложены алгоритмы вычисления стационарного распределения и ряда стационарных характеристик производительности системы. Получены аналитические выражения для нижней и верхней границ математического ожидания времени пребывания запроса в системе от момента его поступления в систему до момента синхронизации, которое является критическим показателем производительности системы с расщеплением и сборкой запросов

СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТАНДЕМНОЙ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ПОТОКАМИ НА СТАНЦИЯХ

A tandem queueing system consisting of a finite number of multi-server stations without buffers is analized. The input flow at the first station is a ???????????? (Markovian arrival process). The customers from this flow aim to be served at all stations of the tandem. For any station, besides transit customers proceeding from the previous station, an additional ???????????? flow of new customers arrives at this station directly. Customers from this flow aim to be served at this station and all subsequent stations of the tandem. The service times of customer at the stations are exponentially distributed with the service rate depending of number of the station. The algorithms for culculation of stationary distributions and the loss probabilities associated with the tandem are given.Исследуется стационарное поведение тандемной системы, состоящей из конечного числа многолинейных станций без буферов. В систему поступает марковский поток запросов, каждый из которых должен получить обслуживание на всех станциях тандема. Кроме транзитных запросов, на каждую станцию тандема поступает дополнительный марковский поток запросов, которые должны обслужиться на этой и всех последующих станциях тандема. Времена обслуживания запросов на станциях распределены по экспоненциальному закону с параметрами, зависящими от номера станции. Приводятся алгориты для вычисления стационарного распределения тандема и вероятностей потерь, ассоциированных с тандемом

СТАЦИОНАРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕНАДЕЖНОЙ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ГРУППОВЫМ МАРКОВСКИМ ПОТОКОМ И РЕЗЕРВНЫМ ПРИБОРОМ

In the paper, a queueing system with unreliable server and so called «cold» redundancy is analyzed. The system consists of an infinite buffer, the main unreliable server and the reliable reserve server. The term «cold reserve» means that the reserve server is off until the main server is in good order and is activated when the main server is under repair. The input flow to the system is a BMAP (Batch Markovian Arrival Process). Breakdowns arrive to the main server according to a MAP (Markovian Arrival Process). Service times as well as repair time have PH (Phase type) distribution. A condition for the stable operation of the system is shown, its stationary distribution and the main characteristics are calculated and the expression for the Laplace – Stieltjes transform of the sojourn time distribution is derrived.Исследуется система массового обслуживания с ненадежным прибором и холодным резервированием, состоящая из бесконечного буфера, основного ненадежного прибора и резервного надежного прибора. Термин «холодный резерв» подразумевает, что резервный прибор выключен, пока исправен основной, и включается только при выходе основного прибора из строя. В систему поступает групповой марковский поток запросов. Поломки на основной прибор поступают в марковском потоке. Времена обслуживания на приборах и времена ремонтов распределены по фазовому закону. Выводится условие существования стационарного режима. Приводятся формулы для вычисления основных характеристик производительности системы. Находится преобразование Лапласа – Стилтьеса распределения времени пребывания запроса в системе

Стационарные характеристики ненадежной системы массового обслуживания с групповым марковским потоком

Unreliable queuing systems are of considerable interest both in mathematical terms and for applications. Systems with stationary Poisson flows of customers and breakdowns and exponentially distributed service and repair times are mainly considered. This circumstance greatly simplifies the mathematical analysis of the corresponding models but rarely occurs in real systems, especially in telecommunications networks. The purpose of this study is to analyze the stationary behavior of a multi-server unreliable queueing system with a batch Markovian arrival process, which takes into account the correlation and bursty nature of real traffic. The service and repair processes are described by phase type distributions which makes it possible to take into account not only the average service and repair times but also the variance of these times. As a result of the research, the operation of the system is described by a multi-dimensional Markov chain. The condition of ergodicity of this chain is presented in a simple algorithmic form. An algorithm for calculating the stationary distribution is proposed. Formulas for the key performance characteristics of the system are obtained in terms of the stationary distribution of the Markov chain describing the system dynamics. The results can be used to make expert decisions in analyzing the performance and design of various telecommunication networks. Ненадежные системы массового обслуживания представляют значительный интерес как в математическом плане, так и для приложений. В основном рассматриваются системы со стационарными пуассоновскими потоками заявок и поломок и экспоненциально распределенными временами обслуживания и ремонтов. Это обстоятельство значительно упрощает математический анализ соответствующих моделей, но редко выполняется в реальных системах, особенно в телекоммуникационных сетях. Целью исследования является анализ стационарного поведения многолинейной ненадежной системы массового обслуживания с групповым марковским потоком заявок, который учитывает корреляцию и взрывной характер реального трафика. Процессы обслуживания и ремонтов описываются фазовыми распределениями, что позволяет учесть не только средние времена обслуживания и ремонтов, но и дисперсию этих времен. В результате процесс функционирования системы представляется многомерной цепью Маркова. Условие эргодичности этой цепи задается в простом алгоритмическом виде. Предлагается алгоритм вычисления стационарного распределения. Получены формулы для ключевых характеристик производительности системы в терминах стационарного распределения цепи Маркова, описывающей динамику системы. Приведенные результаты могут использоваться для принятия экспертных решений при анализе производительности и проектировании телекоммуникационных сетей различного назначения

Система массового обслуживания с разделением процессора, повторными вызовами и нетерпеливостью запросов

Objectives. The problem of constructing and investigating a mathematical model of a stochastic system with processor sharing, repeated calls, and customer impatience is considered. This system is formalized in the form of a queueing system. The operation of the queue is described in terms of multi-dimensional Markov chain. A condition for the existence of a stationary distribution is found, and algorithms for calculating the stationary distribution and stationary performance characteristics of the system are proposed.Methods. Methods of probability theory, queueing theory and matrix theory are used.Results. The steady state operation of a queueing system with repeated calls, processor sharing and two types of customers arriving in a marked Markovian arrival process is studied. The channel bandwidth is divided between two types of customers in a certain proportion, and the number of customers of each type simultaneously located on the server is limited. Customers of one of the types that have made all the channels assigned to them busy leave the system unserved with some probability and, with an additional probability, go to the orbit of infinite size, from where they make attempts to get service at random time intervals. Customers of the second type, which caused all the channels assigned to them to be busy, are lost. Customers in orbit show impatience: each of them can leave orbit forever if the time of its stay in orbit exceeds some random time distributed according to an exponential law. Service times of customers of different types are distributed according to the phase law with different parameters. The operation of the system is described in terms of a multi-dimensional Markov chain. It is proved that for any values of the system parameters this chain has a stationary distribution. Algorithms for calculating the stationary distribution and a number of performance measures of the system are proposed. The results of the study can be used to simulate the operation of a fixed capacity cell in a wireless cellular communication network and other real systems operating in the processor sharing mode.Цели. Рассматривается задача построения и исследования математической модели стохастической системы с разделением процессора, повторными вызовами и нетерпеливостью запросов. Данная система формализована в виде системы массового обслуживания, построен процесс функционирования системы, найдено условие существования стационарного распределения и предложены алгоритмы вычисления стационарного распределения и стационарных характеристик производительности системы.Методы. Используются методы теории вероятностей, теории массового обслуживания и теории матриц.Результаты. Функционирование системы описано в терминах многомерной цепи Маркова. Показано, что эта цепь имеет стационарное распределение, совпадающее с эргодическим, при любых приемлемых значениях параметров, описывающих входной поток, время обслуживания, процесс повторных вызовов и процесс ухода запросов из системы вследствие нетерпеливости.Заключение. Исследован стационарный режим функционирования системы массового обслуживания с повторными вызовами, разделением процессора и двумя типами запросов, поступающих в систему в соответствии с маркированным марковским потоком. Пропускная способность канала делится между запросами двух типов в некоторой пропорции, а число запросов каждого из типов, одновременно находящихся на приборе, ограничено. Запросы одного из типов, заставшие все отведенные для них каналы занятыми, с некоторой вероятностью уходят из системы необслуженными и с дополнительной вероятностью идут на орбиту бесконечного объема, откуда делают попытки попасть на обслуживание через случайные промежутки времени. Запросы второго типа, заставшие все отведенные для них каналы занятыми, теряются. Запросы, находящиеся на орбите, проявляют нетерпеливость: каждый из них может покинуть орбиту навсегда по истечении экспоненциально распределенного времени при условии, что он не попадет на обслуживание за это время. Времена обслуживания запросов распределены по фазовому закону с разными параметрами. Функционирование системы описано в терминах многомерной цепи Маркова. Доказано, что при любых значениях параметров системы эта цепь имеет стационарное распределение. Предложены алгоритмы вычисления стационарного распределения и ряда характеристик производительности системы. Результаты исследования могут быть использованы для моделирования работы соты фиксированной емкости в беспроводной сотовой сети связи и других реальных систем, функционирующих в режиме разделения процессора

ПРОДУКТИВНЫЕ КАЧЕСТВА БЫЧКОВ ГЕРЕФОРДСКОЙ ПОРОДЫ РАЗНЫХ СЕЗОНОВ РОЖДЕНИЯ ПРИ ИМПЛАНТАЦИИ ЙОДИСТОГО КАЛИЯ

The paper describes the research in the Altai region on breeding Hereford bulls born in different seasons and application of potassium iodide in order to prevent disturbance in metabolism. The authors explored productive features of Hereford bulls born in autumn and spring in suckling period and further breeding and fattening. The researchers selected 48 similar bulls and divided them into 4 groups: 1st control group and 1st experimental group of bulls born in autumn and implanted with potassium iodide (each group contained 12 animals) and 2nd control group and 2nd experimental group of bulls born in spring and implanted with potassium iodide. On weaning, the animals received “Kaiod” tablets dosed as 12 mg pro animal in the neck subcutaneously. The authors observed that in the same conditions the bulls born in autumn consumed 6.7 % energetic units more. Consumption of digested protein in 1st control, 1st experimental and 2nd control group increased on 28.3, 17.8 and 12.6 % when daily weight gain was 855 g. It differed from other groups on 22.9, 15.6 and 11.7 % correspondently. The researchers observed lower consumption of feeds pro 1 kilo of body weight in the 2nd experimental group on 27.7 and 20.1 % in comparison with the 1st control group and 1st experimental group. The 2nd experimental group (winter bulls) differed on 18 and 10.5 %. The paper shows the lowest costs of 1 hundredweight of weight gain in the 2nd experimental group (on 11 %). The article makes case about the level of profitability, which was higher in the 2nd experimental group on 16.1 % than in the 2nd control one, 32 % higher than in the 1st control group and 22.1 % higher than in the 1st experimental group. В условиях Алтайского края проведены исследования по выращиванию бычков герефордской породы разных сезонов рождения с использованием имплантации йодистого калия с целью предотвращения нарушения обмена веществ. Изучались продуктивные качества бычков герефордской породы осеннего и весеннего сезонов рождения в подсосный период и при последующем доращивании и откорме. Было отобрано 48 бычков-аналогов, которые были разделены на 4 группы по 12 голов: 1-я контрольная и 1-я опытная (с имплантацией йодистого калия) – осеннего рождения, 2-я контрольная и 2-я опытная (с имплантацией йодистого калия) – весеннего рождения. После отъема животным имплантировали таблетки кайод в дозе 12 мг/гол. подкожно в область шеи. Установлено, что при одинаковых условиях содержания и кормления бычки осеннего сезона рождения потребили на 6,7% больше ЭКЕ. Потребление переваримого протеина животными 1-й контрольной, 1-й опытной и 2-й контрольной групп возросло по сравнению со своими аналогами на 28,3; 17,8 и 12,6% соответственно. Данная тенденция наблюдалась при среднесуточном приросте 855 г. Разница по сравнению с другими группами составила 22,9; 15,6 и 11,7% соответственно. Более низкие затраты кормов на 1 кг прироста выявлены во 2-й опытной группе – на 27,7 и 20,1% по сравнению с аналогами 1-й контрольной, 1-й опытной. Отличия по 2-й контрольной (весенний сезон) группе наблюдались на уровне 18,0 и  10,5% соответственно. Наименьшая себестоимость 1 ц прироста отмечена во 2-й опытной группе – по сравнению со 2-й контрольной на 11,0%. Разница между опытными группами сложилась в  пользу бычков 2-й опытной группы  – 12,6%. Уровень рентабельности был выше у бычков 2-й опытной, которая превосходила 2-ю контрольную на 16,1% и бычков 1-й контрольной и 1-й опытной – на 32 и 22,1% соответственно

STATIONARY CHARACTERISTICS OF UNRELIABLE QUEUEING SYSTEM WITH BATCH MARKOVIAN ARRIVAL PROCESS AND RESERVE SERVER

In the paper, a queueing system with unreliable server and so called «cold» redundancy is analyzed. The system consists of an infinite buffer, the main unreliable server and the reliable reserve server. The term «cold reserve» means that the reserve server is off until the main server is in good order and is activated when the main server is under repair. The input flow to the system is a BMAP (Batch Markovian Arrival Process). Breakdowns arrive to the main server according to a MAP (Markovian Arrival Process). Service times as well as repair time have PH (Phase type) distribution. A condition for the stable operation of the system is shown, its stationary distribution and the main characteristics are calculated and the expression for the Laplace – Stieltjes transform of the sojourn time distribution is derrived

Stationary characteristics of unreliable queueing system with a batch Markovian arrival process

Unreliable queuing systems are of considerable interest both in mathematical terms and for applications. Systems with stationary Poisson flows of customers and breakdowns and exponentially distributed service and repair times are mainly considered. This circumstance greatly simplifies the mathematical analysis of the corresponding models but rarely occurs in real systems, especially in telecommunications networks. The purpose of this study is to analyze the stationary behavior of a multi-server unreliable queueing system with a batch Markovian arrival process, which takes into account the correlation and bursty nature of real traffic. The service and repair processes are described by phase type distributions which makes it possible to take into account not only the average service and repair times but also the variance of these times. As a result of the research, the operation of the system is described by a multi-dimensional Markov chain. The condition of ergodicity of this chain is presented in a simple algorithmic form. An algorithm for calculating the stationary distribution is proposed. Formulas for the key performance characteristics of the system are obtained in terms of the stationary distribution of the Markov chain describing the system dynamics. The results can be used to make expert decisions in analyzing the performance and design of various telecommunication networks

STATIONARY DISTRIBUTION OF A TANDEM QUEUE WITH ADDITIONAL FLOWS ON THE STATIONS OF THE TANDEM

A tandem queueing system consisting of a finite number of multi-server stations without buffers is analized. The input flow at the first station is a ???????????? (Markovian arrival process). The customers from this flow aim to be served at all stations of the tandem. For any station, besides transit customers proceeding from the previous station, an additional ???????????? flow of new customers arrives at this station directly. Customers from this flow aim to be served at this station and all subsequent stations of the tandem. The service times of customer at the stations are exponentially distributed with the service rate depending of number of the station. The algorithms for culculation of stationary distributions and the loss probabilities associated with the tandem are given