ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ В МДП-СТРУКТУРЕ С ОДИНОЧНЫМ ДОНОРОМ

Numerical modeling of electronic state evolution due to non-uniform external electric field in the structure metal-insulator-semiconductor with solitary donor center is carried out. Considering a nanometer disc-shaped gate as a source of the electric field, the problem for the Laplace equation in multilayered medium is solved numerically to determine the distribution of the gate potential. The energy spectrum of a bound electron is calculated from the problem for the stationary Schrödinger equation. Finite difference schemes are constructed to solve both the problems. Difference scheme for the Schrödinger equation takes into account cusp condition for the wave function at the donor location. To solve the problem for the Laplace equation, asymptotic boundary conditions for approximating the external field potential at large distances from the gate in different layers are suggested. These conditions allow to reduce the calculation domain for the electrostatic problem essentially. The effect of the boundary conditions on the accuracy of calculating the potential and energies is investigated. Using the developed difference schemes, the dependences of the energy spectrum of the bound electron on the gate potential are calculated, and the values of critical potential at which the wave function of the electron is relocated are determined. It has been found on the basis of calculation results, that governing parameter for the description of electronic behavior is the potential difference between the donor and semiconductor surface. It has been shown that critical potential difference does not depend on dielectric thickness and permittivity.Проводится численное моделирование эволюции электронных состояний под действием неоднородного внешнего электрического поля в структуре металл-диэлектрик-полупроводник (МДП-структуре) при наличии одиночного донорного центра. В качестве источника электрического поля рассматривается нанометровый дискообразный затвор, для расчета потенциала которого решается задача для уравнения Лапласа в многослойной среде. Энергетический спектр связанного электрона находится из задачи для стационарного уравнения Шредингера. Для решения обеих задач строятся разностные схемы. Разностная схема для уравнения Шредингера учитывает неаналитичность волновой функции в точке расположения донора. При решении задачи для уравнения Лапласа предлагаются асимптотические граничные условия, аппроксимирующие потенциал внешнего поля на больших расстояниях от затвора в различных слоях, что позволяет существенно уменьшить расчетную область. Исследуется влияние этих граничных условий на точность вычисления потенциала и энергий. С помощью построенных разностных схем рассчитываются зависимости энергетического спектра связанного электрона от потенциала на затворе, определяются значения критического потенциала, при котором происходит передислокация волновой функции электрона. На основании результатов вычислений устанавливается, что управляющим параметром для описания поведения электрона является разность потенциалов между донором и поверхностью полупроводника. Показывается, что критическая разность потенциалов практически не зависит от толщины и проницаемости диэлектрического слоя.

Аппроксимация изолированной волны эпидемического процесса с помощью комбинации экспонент

The most commonly used methods for the medium- and long-term forecasting of epidemic processes are based on the classical SIR (susceptible – infected – recovered) model and its numerous modifications. In this approach, the dynamics of the epidemic is approximated using the solutions of differential or discrete equations. The forecasting methods based on the approximation of data by functions of a given class are usually focused on obtaining a short-term forecast. They are not used for the long-term forecasts of epidemic processes due to their insufficient efficiency for forecasting nonstationary processes. In this paper, we formulated a hypothesis that the primary waves of the COVID-19 pandemic, which took place in a number of European countries, including the Republic of Belarus, in the spring-summer of 2020 are isolated and therefore can be regarded as processes close to stationary. On the basis of this hypothesis, a method of approximating isolated epidemic process waves by means of generalized logistic functions with an increased number of exponents was proposed. The developed approach was applied to predict the number of infected people in the Republic of Belarus for the period until August 2020 based on data from the beginning of the epidemic until June 12, 2020.Наиболее часто применяемыми методами средне- и долгосрочного прогнозирования развития эпидемических процессов являются методы, основанные на использовании классической модели SIR (восприимчивые – инфицированные – выздоровевшие) и ее многочисленных модификаций. При этом подходе динамика эпидемии аппроксимируется с помощью решений дифференциальных или дискретных уравнений. Методы прогнозирования, основанные на аппроксимации данных функциями заданного класса, как правило, ориентированы на получение краткосрочного прогноза. Для долгосрочных прогнозов эпидемических процессов они не используются по причине их недостаточной эффективности для прогнозирования нестационарных процессов. В настоящей работе сформулирована гипотеза, что первичные волны пандемии COVID-19, которые проходили весной – летом 2020 г. в ряде европейских стран, в том числе и в Республике Беларусь, являются изолированными, и поэтому могут рассматриваться как процессы, близкие к стационарным. На основе этой гипотезы предложен способ аппроксимации изолированных волн эпидемического процесса с помощью обобщенных логистических функций с увеличенным количеством экспонент. Разработанный подход применен для прогнозирования количества инфицированных в Республике Беларусь на период до августа 2020 г. по данным от начала эпидемии до 12 июня 2020 г

A Criterion for Coefficient Stability

При анализе начально-краевых задач для нестационарных уравнений математической физикивнимание уделяется в основном устойчивости решения по отношению к начальным данным и правой части. В работе было доказано, что устойчивость двухуровневой операторно-разностной схемы по начальным данным является необходимым и достаточным условием для ее устойчивости по отношению к правой части

A Criterion for Coefficient Stability

При анализе начально-краевых задач для нестационарных уравнений математической физикивнимание уделяется в основном устойчивости решения по отношению к начальным данным и правой части. В работе было доказано, что устойчивость двухуровневой операторно-разностной схемы по начальным данным является необходимым и достаточным условием для ее устойчивости по отношению к правой части