Reasoning and proof in classroom (9th grade)

This paper is research oriented and pretends to contribute toward giving empirical evidence about how students develop their reasoning and how they achieved to a proof construction in school context. Its main theme is epistemology. It describes the way in which four students in 9th Grade explored a task related with the discovery of symmetry axes in various geometric figures. The proof constructed by students had essentially an explaining function and it was related with the symmetry axes of regular polygons. The teacher’s role in meaning negotiation of the proof and its need is described through illustrative episodes. The paper presents part of a study which purpose is to analyse the nature of mathematical proof in classroom, its role and the nature of the relationship between the construction of a proof and the social interactions. Assuming a social perspective, attention is focussed on the social construction of knowledge and on the structuring resources that shape mathematical experience. The study’s methodology has an interpretative nature. One outcome of the study discussed here is that students develop first a practical understanding with no awareness of the reasons founding mathematical statements and after a theoretical one leading them to a proof elaboration

A Integração curricular da demonstração

Neste artigo, são discutidos os conceitos de demonstração e de esquema demonstrativo, bem como a relevância curricular da demonstração e os contextos favoráveis à sua aprendizagem. Alguns dos resultados do estudo, relativamente ao papel da demonstração no currículo, bem como ao modo como se desenvolveu o processo demonstrativo, são apresentados e discutidos. A metodologia adotada no estudo teve uma natureza interpretativa e os participantes no estudo foram uma turma de 9.º ano e a respetiva professora de Matemática. As conclusões do estudo apontam para o facto de os alunos tenderem a usar exemplos particulares para validar as suas afirmações matemáticas. Apontam ainda para as múltiplas funções da demonstração nas tarefas em que esta surgiu como um meio de descoberta da solução do problema. Sugerem também que a introdução e a negociação da importância da demonstração implicam uma intervenção curricular, na qual a professora detém um papel fundamental.Abstract: This paper discusses the concepts of proof and proof scheme, and also the importance of proof in mathematics curricula and the favorable contexts to its learning. Some findings, relative to the role of proof as well the way the proving process is carried out, are presented and discussed. The methodology had a qualitative nature and the participants were a class of 9th grade pupils and their mathematics teacher. The study conclusions point to the fact that the students use specific examples to validate their statements. They point also to the multiple functions of proof in the tasks where the proof was the way of discovering the solution to the problem. They suggest also that the introduction and the negotiation of proof relevance imply a curricular intervention in which the teacher plays a fundamental role.Résumé: Dans cet article, nous discutons les concepts de démonstration et de schéma démonstratif, ainsi que l’importance curriculaire de la démonstration et les contextes favorables à son apprentissage. Nous présentons et discutons aussi quelques résultats relatifs au rôle de la démonstration dans le curriculum et à la façon dont s’est développé le processus démonstratif. La méthodologie adoptée dans l’étude est de nature interprétative et les participants ont été une classe de 9ème année et la respective professeure de Mathématiques. Les conclusions de l’étude indiquent que les élèves sont habitués à utiliser les exemples particuliers pour valider leurs affirmations mathématiques et qu’il existe de multiples fonctions de la démonstration dans les taches où celle-ci a été le moyen de découvrir la solution du problème. Elles suggèrent aussi que l’introduction et la négociation de l’importance de la démonstration impliquent une intervention curriculaire, dans laquelle la professeure a un rôle décisif

As capacidades transversais no novo programa do ensino básico : desafios da sua integração

Um dos pontos fortes do Novo Programa de Matemática do Ensino Básico (NPMEB) é, no meu ponto de vista, a sua ênfase nas capacidades transversais, nomeadamente a resolução de problemas, a comunicação e o raciocínio matemáticos. Poderemos questionar, em primeiro lugar, em que medida é que a integração curricular destas três capacidades constitui um aspecto distintivo do NPMEB. Se analisarmos os programas anteriores de Matemática do ensino básico, constatamos que os mesmos referenciam o desenvolvimento destas capacidades como uma das finalidades do ensino da Matemática no ensino básico, fazendo também parte dos objectivos gerais de ciclo. Não se trata, pois, de uma novidade: algo eventualmente ausente nos anteriores programas. O que me parece que é nitidamente distintivo é o modo como se encara a sua integração curricular no NPMEB

Producing an explanatory proof in a 9th grade classroom

Este artigo apresenta parte de um estudo fundamentado na problemática da demonstração na matemática escolar. Descreve o modo como quatro alunos do 9.º ano exploraram uma tarefa relacionada com a descoberta de eixos de simetria em várias figuras geométricas. A demonstração, que os mesmos construíram, teve essencialmente uma função explicativa. O papel da professora na negociação do significado de demonstração e da sua necessidade é igualmente analisado. Os alunos desenvolvem primeiro uma compreensão prática sem consciência das razões que fundamentam as afirmações matemáticas e só depois uma compreensão teórica que os conduz à construção de uma demonstração

Interacções sociais na aprendizagem da matemática

O presente artigo apresenta parte de uma investigação desenvolvida com o objectivo de analisar a construção do significado matemático, em interacção social, num ambiente computacional dinâmico. Este artigo foca essencialmente as interacções sociais e sua relação com a construção do significado matemático e está estruturado em três partes. Na primeira, é apresentada a base conceptual do estudo; na segunda, é descrita e discutida a opção respectivas conclusões referentes às interacções sociais metodológica adoptada; e na terceira parte, são apresentados os resultados do estudo e respectivas conclusões referentes às interacções sociai

Ser professor de Matemática pelo ponto de vista da ética profissional

Este artigo apresenta a problematização da profissionalidade do docente de Mate-mática, tomando como referência quatro critérios de procedimento ético. Estes critérios são usados para focar a competência profissional e o conhecimento do professor de Matemática bem como o desenvolvimento profissional e a formação contínua. A problematização apresentada fundamenta-se em literatura consultada mas sobretudo decorre da reflexão feita no âmbito da formação prestada a docen-tes de Matemática do 2.º Ciclo e do conhecimento produzido a partir da prática de formação

O processo de demonstrar na aula de matemática : um olhar sobre a comunicação emergente

Apresentação da conferência plenária O processo de demonstrar na aula de matemática: Um olhar sobre a comunicação emergente no “Encontro de Investigação em Educação Matemática 2010 Comunicação no Ensino e na Aprendizagem da Matemática” promovido pela Secção de Educação Matemática da Sociedade Portuguesa de Ciências da Educação, Abril de 2010, Costa da CaparicaNesta conferência, será apresentada parte do estudo desenvolvido no âmbito de uma dissertação de doutoramento que teve como objectivo primordial analisar: (1) o papel da demonstração em vertentes como (a) a compreensão matemática, (b) a validação do conhecimento matemático, e (c) a comunicação matemática; e (2) a relação entre a construção da demonstração e a prática social desenvolvida na aula. Com base no referido estudo, será discutida a importância crescente que tem sido reconhecida à demonstração quer entre os educadores matemáticos quer nos diversos documentos curriculares a nível nacional e a nível internacional. A relevância da integração curricular da demonstração reside essencialmente no facto de proporcionar uma visão mais compreensiva da natureza da matemática e de promover a aprendizagem da Matemática. Contudo, os estudos realizados nesta área têm dado evidência empírica de que os alunos revelam grandes dificuldades em compreender a necessidade da demonstração, em compreender as funções da demonstração e em construírem, eles próprios, demonstrações, tendendo a usar exemplos particulares como forma de validar as conjecturas que formulam. Não obstante essas dificuldades, os alunos do ensino básico poderão lidar com a ideia da demonstração e desenvolver a sua capacidade de demonstrar se existir um ensino orientado nesse sentido. Uma vez que a comunicação é sobretudo um processo didáctico no qual professor e alunos interagem, constituindo um aspecto essencial, e simultaneamente transversal, do ensino e da aprendizagem da Matemática no contexto escolar, será apresentada a parte do estudo que mais directamente se relaciona com a comunicação. Será analisada a forma como se processa a negociação do significado e da necessidade da demonstração na aula de Matemática. Será também analisada a forma como são discutidas as ideias matemáticas envolvidas no processo de demonstração e, através de um enfoque na função explicativa e na função comunicativa da demonstração, será equacionado o papel da comunicação (e da demonstração) no desenvolvimento da compreensão matemática

O papel das funções da demonstração no desenvolvimento dos esquemas demonstrativos dos alunos

Este artigo foca a problemática da demonstração na matemática escolar. Apresenta parte de um estudo que teve como objetivo identificar as formas como os alunos validam os resultados matemáticos, relacionando-as com a prática social desenvolvida na aula. O estudo situa-se num paradigma interpretativo e, focando-se nos significados dos participantes— uma turma de 9.º ano, de onde foi selecionado um grupo de quatro alunos para alvo de registo vídeo e áudio, e a respetiva professora—, foi orientado pelas seguintes questões: 1) qual a natureza da demonstração no contexto escolar?, 2) qual o papel da demonstração na atividade matemática escolar?, e 3) como se relaciona a concretização da demonstração com a prática social desenvolvida na aula de Matemática? Os resultados discutidos no presente artigo reportam-se ao papel das funções da demonstração na evolução dos alunos para a utilização de esquemas demonstrativos dedutivos, quer nas situações pautadas pela existência de uma fase de conjeturação quer nas situações caracterizadas pela ausência de conjeturação

O trabalho de projeto em Matemática: questionando a realidade num 3. ano de escolaridade

O presente artigo..

Evolução de estratégias de cálculo mental: um estudo no 3.º ano de escolaridade

A presente comunicação irá incidir numa investigação realizada ao longo do ano letivo de 2013/2014, no âmbito da unidade curricular “Prática de Ensino Supervisionada II”, do Mestrado em Ensino do 1.º e 2.º Ciclo do Ensino Básico, que teve como objetivo a compreensão das estratégias de cálculo mental utilizadas pelos alunos, nas diversas operações, envolvendo números naturais, e o modo como estas se desenvolvem, contemplando as seguintes questões: i) Qual a importância da implementação de uma rotina de cálculo mental?; ii) Que estratégias de cálculo mental usam os alunos?; iii) De que modo podem evoluir essas estratégias?; iv) Qual a importância da discussão oral das estratégias utilizadas? A metodologia seguiu o paradigma interpretativo, assumindo uma natureza qualitativa. Optou-se pela combinação de várias técnicas de recolha de dados: observação, entrevista e análise documental. Foram analisadas as tiras de cálculo mental de duas alunas do 3.º ano ao longo de toda a intervenção e, recorrendo às notas de campo efetuadas durante a partilha de estratégias, foram ainda analisadas as estratégias utilizadas pela turma no início, meio e fim da implementação. Por último, foi aplicada uma entrevista a essas duas alunas, a qual permitiu a identificação das estratégias utilizadas, na mesma tira, por cada uma das estudantes