Circle-valued Morse theory

In 1927 M. Morse discovered that the number of critical points of a smooth function on a manifold is closely related to the topology of the manifold. This became a starting point of the Morse theory which is now one of the basic parts of differential topology. It is a large and actively developing domain of differential topology, with applications and connections to many geometrical problems. The aim of the present book is to give a systematic treatment of the geometric foundations of a subfield of that topic, the circle-valued Morse functions, a subfield of Morse theory

Contribution à une théorie de Morse-Novikov à paramètre

Le cadre de cette étude est une variété fermée de dimension au moins six qui est munie d'une classe de cohomologie de De Rham non-nulle. L'objectif de la thèse est de créer des outils pour répondre au problème de savoir si deux 1-formes fermées non-singulières (sans zéro) dans la classe fixée sont toujours isotopes. La réponse générale à la question est non, et une obstruction de type K-théorique est attendue. Il est toujours possible de relier deux 1-formes fermées non singulières par un chemin qui reste dans la classe de cohomologie ; l'isotopie des extrêmes du chemin équivaut à déformer le chemin par une homotopie relative en un autre constitué de 1-formes non-singulières. On introduit deux sortes de pseudo-gradients pour chaque nombre L positif : ceux avec une liaison L-élémentaire et ceux que nous appelons L-transverses. Ils forment une classe de champs de vecteurs adaptés aux 1-formes qui permettent de faire une lecture algébrique associée au chemin. Cette lecture est analogue à celle qui est faite dans la théorie de Hatcher-Wagoner qui traitait le problème d'isotopie pour les fonctions à valeurs réelles sans point critique. On réussit à trouver un nombre L assez grand pour déformer un chemin de 1-formes à deux indices critiques en un autre chemin muni d'un équipement L-transverse qui est sous forme normale. Les zéros d'un tel chemin de 1-formes qui sont nées ensemble, s'éliminent ensemble et de plus le graphique de Cerf-Novikov associé se ferme : la lecture algébrique citée appartient à un certain K2, ce qui est au point de départ de la définition d'une obstruction à l'isotopie des 1-formes fermées non-singulières.The framework of this study is a closed manifold of dimension at least six that is provided with a nonzero De Rham cohomology class. The aim is to create tools to address the next problem : two closed non-singular (without zeroes) 1-forms in the fixed class are always isotopic ? The general answer to the question is no, and a K-theoretical obstruction is expected. It is always possible to connect two non-singular closed 1-forms by a path that remains in the cohomology class ; the isotopy of the two ends of the path is equivalent to find a relative homotopy of the path to another one made of non-singular 1-forms only. We introduce two kinds of pseudo-gradients for each positive number L : those with an L-elementary link and those that we call L-transverse. They form a class of vector fields adapted to the 1-forms that allows to do an algebraic reading associated with the path. This reading is similar to that made in the theory of Hatcher-Wagoner who treated the isotopy problem of real-valued functions without critical points. We manage to find L, a number large enough to deform a path of 1-forms with only two critical indices into another one with an L-transverse equipment in normal form. The zeroes of such a path that are born together, die together and moreover, the associated Cerf-Novikov graphic is closed : the cited algebraic reading belongs to some K2, which is the starting point for the definition of an obstruction for two non-singular closed 1-forms to be isotopic.NANTES-BU Sciences (441092104) / SudocSudocFranceF