Discrete Riemann Surfaces and the Ising model

We define a new theory of discrete Riemann surfaces and present its basic results. The key idea is to consider not only a cellular decomposition of a surface, but the union with its dual. Discrete holomorphy is defined by a straightforward discretisation of the Cauchy-Riemann equation. A lot of classical results in Riemann theory have a discrete counterpart, Hodge star, harmonicity, Hodge theorem, Weyl's lemma, Cauchy integral formula, existence of holomorphic forms with prescribed holonomies. Giving a geometrical meaning to the construction on a Riemann surface, we define a notion of criticality on which we prove a continuous limit theorem. We investigate its connection with criticality in the Ising model. We set up a Dirac equation on a discrete universal spin structure and we prove that the existence of a Dirac spinor is equivalent to criticality

ENTROPIE DES SEMI-GROUPES D’ISOMÉTRIES D’UN ESPACE HYPERBOLIQUE

We give a generalization to convex co-compact semigroups of a beautiful theorem of Patterson-Sullivan, telling that the critical exponent (that is the exponential growth rate) equals the Hausdorff dimension of the limit set (that is the smallest closed non-empty invariant subset), for a isometries discrete group of a proper hyperbolic space with compact boundary. To do that, we introduce a notion of entropy, which generalize the notion of critical exponent of discrete groups, and we show that it is equal to the upper bound of critical exponents of Schottky sub-semigroups (which are semigroups having the simplest dynamic). We obtains several others corollaries, such that the lower semi-continuity of the entropy, the fact that the critical exponent of a separate semigroup, that is defined as an upper limit, is in fact a true limit, and we obtain the existence of "big" Schottky sub-semigroups in discrete groups of isometries.Nous généralisons aux semi-groupes convexes co-compacts un très joli théorème de Patterson-Sullivan, donnant l'égalité entre exposant critique (c'est-à-dire la vitesse exponentielle de croissance) et dimension de Hausdorff de l'ensemble limite (c'est-à-dire la taille du plus petit fermé invariant non vide), d'un groupe discret d'isométrie d'un espace hyperbolique. Nous démontrons ce résultat dans le cadre général des semi-groupes d'isométries d'un espace Gromov-hyperbolique propre à bord compact. Pour cela, nous introduisons une notion d'entropie, qui généralise la notion d'exposant critique des groupes discrets, et nous montrons que celle-ci est égale à la borne supérieure des exposants critiques des sous-semi-groupes de Schottky (c'est-à-dire les semi-groupes ayant la dynamique la plus simple). Nous obtenons ainsi plusieurs autres corollaires tels que la semi-continuité inférieure de l'entropie, le fait que l'exposant critique d'un semi-groupe séparé, qui est définit comme une limite supérieure, soit en fait une vraie limite, et enfin l'existence de « gros » sous-groupes de Schottky dans les groupes discrets d'isométries