Constraints of kinematic bosonization in two and higher dimensions

Contrary to the common wisdom, local bosonizations of fermionic systems exist in higher dimensions. Interestingly, resulting bosonic variables must satisfy local constraints of a gauge type. They effectively replace long distance exchange interactions. In this work we study in detail the properties of such a system which was proposed a long time ago. In particular, dependence of the constraints on lattice geometry and fermion multiplicity is further elaborated and is now classified for all two dimensional, rectangular lattices with arbitrary sizes. For few small systems the constraints are solved analytically and the complete spectra of reduced spin hamiltonias are shown to agree with the original fermionic ones. The equivalence is extended to fermions in an external Wegner $Z_2$ field. It is also illustrated by an explicit calculation for a particular configuration of Wegner variables. Finally, a possible connection with the recently proposed web of dualities is discussed.Comment: discussion of dualities and the outlook added, references updated, 18 pages, 1 figure, 5 table

Bosonization of Majorana modes and edge states

We present a bosonization procedure, which replaces fermions with generalized spin variables subject to local constraints. It requires that the number of Majorana modes per lattice site matches the coordination number modulo two. If this condition is not obeyed, then bosonization introduces additional fermionic excitations not present in the original model. In the case of one Majorana mode per site on a honeycomb lattice, we recover a sector of Kitaev's model. We discuss also decagonal and rectangular geometries and present bosonization of the Hubbard model. For geometries with a boundary we find that certain fermionic edge modes naturally emerge. They are of different nature than edge modes encountered in topological phases of matter. Euclidean representation for the unconstrained version of a spin system of the type arising in our construction is derived and briefly studied by computing some exact averages for small volumes

Wybrane problemy niejednoznaczności ceny dualnej wody w postoptymalizacyjnej analizie systemu wodociągów

In literature it is believed that the dual price of water is an objective premise for shaping the market price of water. However, the authors note that a single vector of dual prices in the distribution of water, when ambiguous, should not become the basis for making decisions both regulating the price of water and affecting the procedures for modernizing the water supply network. This work cautions water management engineers not to duplicate common software errors and indicates how, despite the complete lack of literature tips, the technical problems encountered could be practically solved. The linear dependence of the row vectors of the left-hand parameters of binding constraints in the linear programming model for water consumption is identified here as the reason for the ambiguity of dual price vectors. This ambiguity in the issues of water distribution requires shaping alternative technical scenarios allowing for a variant selection of the method for modifying the water abstraction system. Therefore, the principles for determining the proportionality of simultaneous changes in certain parameters of the right-hand conditions of constraint conditions are described. These principles for the optimal selection of the most productive vectors for the parametric linear programming method were formulated and indicated on a simplified model of water distribution. The methodology developed in the work enables, among others, generating alternative technical scenarios for saving varying amounts of water, resulting in various financial savings.W literaturze uważa się, że cena dualna wody jest obiektywną przesłanką do kształtowania rynkowej ceny wody. Jednak autorzy zauważają, że pojedynczy wektor cen dualnych w dystrybucji wody, gdy jest niejednoznaczny, nie powinien stać się podstawą do podejmowania decyzji zarówno normującej cenę wody jak i wpływającej na procedury modernizujące sieć wodociągową. Praca uczula inżynierów gospodarki wodnej by nie powielali powszechnych błędów oprogramowania oraz wskazuje jak, pomimo kompletnego braku literaturowych wskazówek, praktycznie rozwiązywać napotykane problemy techniczne. Liniowa zależność wektorów wierszowych parametrów lewych stron wiążących warunków ograniczających w modelu programowania liniowego dla zużycia wody identyfikowana jest tu jako przyczyna niejednoznaczności wektorów cen dualnych. Ta niejednoznaczność w zagadnieniach dystrybucji wody wymaga kształtowania alternatywnych scenariuszy technicznych pozwalających na wariantowy wybór sposobu modyfikacji systemu poboru wody. Dlatego opisano zasady wyznaczania proporcjonalności jednoczesnych zmian niektórych parametrów prawych stron warunków ograniczających. Na uproszczonym modelu dystrybucji wody sformułowano i wskazano te zasady optymalnego doboru najbardziej produktywnych wektorów dla metody parametrycznego programowania liniowego. Opracowana w pracy metodyka umożliwia m.in. wygenerowanie alternatywnych scenariuszy technicznych oszczędzania różnej ilości wody, skutkującej różnymi oszczędnościami finansowymi