High-order finite elements in numerical electromagnetism: degrees of freedom and generators in duality

International audienceExplicit generators for high order ($r>1$) scalar and vector finite element spaces generally used in numerical electromagnetism are presented and classical degrees of freedom, the so-called moments, revisited. Properties of these generators on simplicial meshes are investigated and a general technique to restore duality between moments and generators is proposed. Algebraic and exponential optimal $h$- and $r$-error rates are numerically validated for high order edge elements on the problem of Maxwell's eigenvalues in a square domain

Etude de stabilité d'une méthode Galerkin discontinu pour la résolution numérique des équations de Maxwell 2D en domaine temporel sur des maillages triangulaires non-conformes

On étudie la stabilité d'une méthode Galerkin discontinu pour la résolution numérique des équations de Maxwell 2D en domaine temporel sur des maillages triangulaires non-conformes. Cette méthode combine l'utilisation d'une approximation centrée pour l'évaluation des flux aux interfaces entre éléments voisins du maillage, á un schéma d'intégration en temps de type saute-mouton. La méthode repose sur une base de fonctions polynomiales nodales Pk et on considère ici les schémas obtenus pour k=0,..3. L'objectif de cette étude est d'exhiber des conditions sous lesquelles les schémas correspondant sont stables, et de comparer ces conditionsá celles obtenues dans le cas de maillages conformes

A hp-like discontinuous Galerkin method for solving the 2D time-domain Maxwell's equations on non-conforming locally refined triangular meshes

This work is concerned with the design of a hp-like discontinuous Galerkin (DG) method for solving the 2D time-domain Maxwell's equations on non-conforming locally refined triangular meshes. The proposed DG method allows non-conforming meshes with arbitrary-level hanging nodes. This method combines a centered approximation for the evaluation of fluxes at the interface between neighboring elements of the mesh, with a leap-frog time integration scheme

Fully discrete polynomial de Rham sequences of arbitrary degree on polygons and polyhedra

In this work, merging ideas from compatible discretisations and polyhedral methods, we construct novel fully discrete polynomial de Rham sequences of arbitrary degree on polygons and polyhedra. The spaces and operators that appear in these sequences are directly amenable to computer implementation. Besides proving exactness, we show that the usual sequence of Finite Element spaces forms, through appropriate interpolation operators, a commutative diagram with our sequence, which ensures suitable approximation properties. A discussion on reconstructions of potentials and discrete $L^2$-products completes the exposition

A finite element method with overlapping meshes for free-boundary axisymmetric plasma equilibria in realistic geometries

Existing finite element implementations for the computation of free-boundary axisymmetric plasma equilibria approximate the unknown poloidal flux function by standard {lowest order} continuous finite elements with discontinuous gradients. \hh{As a consequence,} the location of critical points of the poloidal flux, that are of paramount importance in tokamak engineering, is constrained to nodes of the mesh \hh{leading} to undesired jumps in transient problems. Moreover, recent numerical results for the self-consistent coupling of equilibrium with resistive diffusion and transport suggest the necessity of higher regularity when approximating the flux map.In this work we propose a mortar element method that employs two overlapping meshes. One mesh with Cartesian quadrilaterals covers the vacuum \rfA{chamber domain accessible by the plasma} and one mesh with triangles discretizes the region outside. The two meshes overlap in a narrow region. This approach gives the flexibility to achieve easily and at low cost higher order regularity for the approximation of the flux function in the domain covered by the plasma, while preserving accurate meshing of the geometric details \hh{outside this region}. The continuity of the numerical solution in the region of overlap is weakly enforced by a mortar-like \hh{mapping}.En éléments finis, les applications existantes pour le calcul d’équilibres de plasma à frontière libre en axisymétrique approchent le flux poloidale par une fonction continue à gradient discontinu, qui est localement dans chaque élément du maillage un polynôme de degré un. La position des points critiques du flux poloidale, qui est de grande importance pour les ingénieurs des tokamaks, est par consequence limitée aux seuls nœuds du maillage, et donc à l’origine de perturbations quand on modélise le passage du plasma du transitoire vers l’équilibre. De plus, des résultats numériques recents sur le couplage à l’équilibre entre le plasma et un modèle de diffusion/transport ont montré le besoin de plus de régularité dans l’approximation du flux. Dans ce travail on propose une approche par méthode d’éléments finis avec joints sur deux maillages qui se recouvrent. Un maillage structuré composé de rectangles qui couvre la chambre à vide du tokamak et un maillage non structuré de triangles pour la partie du domaine qui se trouve à l’extérieur de la chambre à vide. Les deux maillages sont superposés sur une bande étroite qui entoure la chambre à vide. Cet approche est assez flexible pour permettre d’avoir facilement et à bas coût numérique une approximation du flux poloidale plus régulière dans la chambre à vide tout en gardant une description precise des détails géométriques dans la partie externe. La continuité de la solution numérique dans la partie de recouvrement des maillages est imposée faiblement à l’aide de projections de type mortar