Chaos in Physics and recurrence in Arithmetic Sets

After briefly recalling the concepts of recurrence and chaos in physics, the recurrence properties of arithmetic sets are examined following Gauss’ method, as exposed in part three of his Disquisitiones Arithmeticae. This problem in number theory is related to the physical problem of recurrence in deterministic chaos. Most possible forms of moduli are examined in detail with respect to their recurrence properties, for application to the generalized Bernoulli mapping. The emphasis is put on period lengths, rather than on congruences. In an annex the recurrence properties of Arnold’s cat map are briefly examined

Critical Exponents, Hyperscaling and Universal Amplitude Ratios for Two- and Three-Dimensional Self-Avoiding Walks

We make a high-precision Monte Carlo study of two- and three-dimensional self-avoiding walks (SAWs) of length up to 80000 steps, using the pivot algorithm and the Karp-Luby algorithm. We study the critical exponents $\nu$ and $2\Delta_4 -\gamma$ as well as several universal amplitude ratios; in particular, we make an extremely sensitive test of the hyperscaling relation $d\nu = 2\Delta_4 -\gamma$. In two dimensions, we confirm the predicted exponent $\nu = 3/4$ and the hyperscaling relation; we estimate the universal ratios $\ / \ = 0.14026 \pm 0.00007$, $\ / \ = 0.43961 \pm 0.00034$ and $\Psi^* = 0.66296 \pm 0.00043$ (68\% confidence limits). In three dimensions, we estimate $\nu = 0.5877 \pm 0.0006$ with a correction-to-scaling exponent $\Delta_1 = 0.56 \pm 0.03$ (subjective 68\% confidence limits). This value for $\nu$ agrees excellently with the field-theoretic renormalization-group prediction, but there is some discrepancy for $\Delta_1$. Earlier Monte Carlo estimates of $\nu$, which were $\approx\! 0.592$, are now seen to be biased by corrections to scaling. We estimate the universal ratios $\ / \ = 0.1599 \pm 0.0002$ and $\Psi^* = 0.2471 \pm 0.0003$; since $\Psi^* > 0$, hyperscaling holds. The approach to $\Psi^*$ is from above, contrary to the prediction of the two-parameter renormalization-group theory. We critically reexamine this theory, and explain where the error lies.Comment: 87 pages including 12 figures, 1029558 bytes Postscript (NYU-TH-94/09/01

Revisiting the Myths of Protein Interior: Studying Proteins with Mass-Fractal Hydrophobicity-Fractal and Polarizability-Fractal Dimensions

A robust marker to describe mass, hydrophobicity and polarizability distribution holds the key to deciphering structural and folding constraints within proteins. Since each of these distributions is inhomogeneous in nature, the construct should be sensitive in describing the patterns therein. We show, for the first time, that the hydrophobicity and polarizability distributions in protein interior follow fractal scaling. It is found that (barring ‘all-α’) all the major structural classes of proteins have an amount of unused hydrophobicity left in them. This amount of untapped hydrophobicity is observed to be greater in thermophilic proteins, than that in their (structurally aligned) mesophilic counterparts. ‘All-β’(thermophilic, mesophilic alike) proteins are found to have maximum amount of unused hydrophobicity, while ‘all-α’ proteins have been found to have minimum polarizability. A non-trivial dependency is observed between dielectric constant and hydrophobicity distributions within (α+β) and ‘all-α’ proteins, whereas absolutely no dependency is found between them in the ‘all-β’ class. This study proves that proteins are not as optimally packed as they are supposed to be. It is also proved that origin of α-helices are possibly not hydrophobic but electrostatic; whereas β-sheets are predominantly hydrophobic in nature. Significance of this study lies in protein engineering studies; because it quantifies the extent of packing that ensures protein functionality. It shows that myths regarding protein interior organization might obfuscate our knowledge of actual reality. However, if the later is studied with a robust marker of strong mathematical basis, unknown correlations can still be unearthed; which help us to understand the nature of hydrophobicity, causality behind protein folding, and the importance of anisotropic electrostatics in stabilizing a highly complex structure named ‘proteins’

Remarques sur la recherche de systèmes chimiques oscillants à N degrés de liberté du type Lotka-Volterra

Dans ce travail on étudie les systèmes oscillants à n degrés de liberté du type Lotka-Volterra, c’est-à-dire oscillant autour d’un état stationnaire stable. Les oscillations non-amorties de ce type constituent un cas marginal à la limite de la stabilité d’un état stationnaire. L’étude des signes des coefficients des équations cinétiques permet de déterminer le signe, nécessairement négatif, des dérivées partielles [math] au point stationnaire, Xi étant la concentration du composant i. A partir de là on est conduit à proposer la marche à suivre en vue de déterminer théoriquement des schémas réactionnels conduisant à des oscillations non-amorties du type Lotka-Volterra et on en donne un exemple dans le cas de trois degrés de liberté

N° 50. — Étude de copolymères par équilibre de sédimentation dans un gradient de densité

L’équilibre de sédimentation dans un gradient de densité est une méthode de choix pour l’étude de la polydispersité en composition des copolymères. Dans ce but un copolymère polyméthacrylate de méthyle greffé de polystyrène est étudié à l’ultracentrifugeuse. La diffusion de la lumière, autre méthode permettant la détermination de la polydispersité en composition des copolymères, est ensuite comparée à la méthode utilisée ici, du point de vue en particulier des paramétres que chacune des méthodes permet d’atteindre

Definitions of free volume

An unambiguous operational definition of free volume is discussed, according to which the covolume for a given state of a fluid is defined as the intercept on the V-axis of the tangent line to a curve of (ðT/ðP)v against volume V

Considérations sur l’équation de tait et son obtention a partir de l’équation de van der waals

L’équation empirique de TAIT, décrivant le comportement des liquides comprimés de manière isotherme, contient deux constantes A et B. Une certaine confusion semble exister sur la signification physique de ces deux paramètres. C’est pourquoi nous attirons l’attention sur l’étroite relation que l’on peut établir entre l’équation de Van der WAALS et l’équation de TAIT, celle-ci dérivant de celle-là en considérant constante la pression de cohésion interne

Étude statistique des solutions de polymères en chaine présentant des phénomènes de solvatation

En utilisant le modèle classique du réseau de FLORY-HUGGINS nous obtenons dans une première partie les relations donnant l’entropie, l’enthalpie et l’enthalpie libre de mélange pour les solutions de polymères présentant des phénomènes de solvatation « liée ». Nous en déduisons les potentiels chimiques du solvant et du polymère. Nous comparons ensuite, dans le cas du système nitrocellulose-n-propylecétone, les prévisions théoriques avec les résultats expérimentaux. Dans une deuxième partie nous cherchons à étendre la méthode de la solvatation « liée » au cas très fréquent et très général de la solvatation « modérée ». Il n’a pas été tenu compte dans ces calculs des contributions à l’entropie et à l’enthalpie de mélange provenant des équations d’état des constituants purs

Aspects récents de la thermodynamique des solutions de polymères Recent Aspects of the Thermodynamics of Polymer Solutions

On examine dans cet article différentes approches de la thermodynamique des solutions de polymères placées dans leur contexte historique. On rappelle d'abord le modèle du réseau de Flory-Huggins et on en souligne les déficiences. On traite ensuite brièvement de la mécanique statistique des solutions de polymères introduite par Prigogine en 1957 et on montre qu'elle constitue un progrès qualitatif par rapport à la théorie du réseau, mais qu'elle ne prévoit cependant pas de manière quantitative les propriétés de ces solutions. On montre ensuite que le concept de volume libre, qui permet un traitement simplifié de certaines quantités, permet également d'expliquer tout naturellement l'existence d'une deuxième température de séparation en phase lorsque l'on élève la température, propriété qui différencie les solutions de polymères des mélanges de liquidés simples. Enfin, dans une dernière partie, on mentionne brièvement les travaux récents de l'École de Paris, qui traite les solutions de polymères par analogie avec les transitions magnétiques. <br> This article examines différent approaches ta the thermodynamics of polymer solutions set in their historical context. First of all, the Flory-Huggins network model is described and ifs deficiencies are pointed out. Then attention is briefly drawn to the statistical mechanics of polymer solutions as introduced by Prigogine in 1957, and this mechanics is shown to be a qualitative advance compared with the network theory, but it nonetheless does not quantitatively predict the properties of such solutions. It is then shown that the concept of free volume, enabling some quantifies to be treated in a simplified way, also serves to provide a quite natural explanation for the existence of a second phase separation temperature when the temperature is raised, i. e. a property that differentiates polymer solutions from simple liquid mixtures. In the final part, brief mention is made of recent research by the Paris School which has been treating polymer solutions by similarity ta magnetic transitions

Quantification par la méthode du point par point de l’information obtenue lors de la détermination expérimentale de courbes pouvant présenter des points singuliers

Dans le présent article on étend aux courbes irrégulières, pouvant présenter des points singuliers, la quantification du contenu d’information d’une courbe effectué dans un précédent article sur les courbes irrégulières. Pour cela on considère que l’espacement des points de détermination sur la courbe doit être une fonction décroissante de la courbure en LouL point de celle-ci. A la limite où la courbure tend vers l'infini, on obtient un point anguleux et il apparaît que l'information liée à la détermination d’un tel point est infinie. Dans une dernière partie, on compare les aspects convergents et divergents de la reconstruction d'une courbe (ou signal) par la méthode du point par point en optimisant l’information et par la méthode d’échantillonnage de Shannon. On montre que les deux méthodes sont dans l’ensemble convergentes, les divergences qui peuvent apparaître sont liées à la connaissance apriori ou aposteriori par l’observateur des propriétés analytiques de la courbe qu’il étudie