Filtrations at the threshold of standardness

A. Vershik discovered that filtrations indexed by the non-positive integers may have a paradoxical asymptotic behaviour near the time $-\infty$, called non-standardness. For example, two dyadic filtrations with trivial tail $\sigma$-field are not necessarily isomorphic. Yet, any essentially separable filtration indexed by the non-positive integers becomes standard when sufficiently many integers are skipped. In this paper, we focus on the non standard filtrations which become standard if (and only if) infinitely many integers are skipped. We call them filtrations at the threshold of standardness, since they are as close to standardardness as they can be although they are non-standard. Two class of filtrations are studied, first the filtrations of the split-words processes, second some filtrations inspired by an unpublished example of B. Tsirelson. They provide examples which disproves some naive intuitions. For example, it is possible to have a standard filtration extracted from a non-standard one with no intermediate (for extraction) filtration at the threshold of standardness. It is also possible to have a filtration which provides a standard filtration on the even times but a non-standard filtration on the odd times

Filtrations à temps discret

Standardness is an important invariant in the theory of filtrations indexed by negative integer times. The main purpose of this thesis is to determine whether some filtrations are standard or not. We first focus on the filtrations of split-word processes, introduced and studied by Smorodinsky and by Laurent. We prove that Laurent's sufficient condition for non standardness is also necessary. This yields a practical criterion of standardness. In turn, this criterion enables us to exhibit non standard filtrations which become standard when time is accelerated by omitting infinitely many instants of time. Secondly, we study the natural filtrations of stationary processes on finite state-spaces. Recently Bressaud et al.\ provided a sufficient condition for the natural filtration of such a process $(X_k)_k$ to be standard when the state-space has size $2$. Their condition involves the conditional laws $p(\cdot|x)$ of $X_0$ conditionally on $(X_k)_{k \le -1}=x$ and controls the influence of the remote past of the process on its present $X_0$. Bressaud and al.\ measure the maximal strength of this influence. We provide sufficient conditions for standardness based on some average gaps between these conditional laws, instead of the maximal gaps.Le caractère standard ou non standard est un invariant important dans la théorie des filtrations à temps discret négatif. Le but principal de cette thèse est de determiner si certaines filtrations sont standard ou non. Nous nous intéressons tout d'abord aux filtrations des processus des mots découpés, introduits et étudiés par Smorodinsky et par Laurent. Nous montrons que la condition suffisante de non standardité donnée par Laurent est aussi une condition nécessaire. Il en découle un critère simple de standardité, qui nous permet de donner un exemple de filtration non standard qui devient standard dès que le temps est accéléré par l'omission d'un nombre infini d'instants. Nous étudions ensuite les filtrations naturelles de processus stationnaires à valeurs dans un ensemble fini. Récemment Bressaud et al.\ ont donné une condition nécessaire pour que la filtration naturelle d'un tel processus $(X_k)_k$ soit standard quand le cardinal de l'espace d'états vaut $2$. Leur condition utilise les lois conditionnelles $p(\cdot|x)$ de $X_0$ sachant tout le passé $(X_k)_{k \le -1}=x$ et contrôle l'influence du passé lointain sur l'évolution présente du processus. Elle utilise les écarts maximaux entre $p(\cdot|x)$ et $p(\cdot|y)$ pour des suites infinies $x$ et $y$ qui co\"\i ncident sur leurs $n$ derniers termes. Nous donnons une condition suffisante de standardité faisant intervenir les écarts moyens entre ces lois conditionnelles plutôt que les écarts maximaux

Filtrations à temps discret

Standardness is an important invariant in the theory of filtrations indexed by negative integer times. The main purpose of this thesis is to determine whether some filtrations are standard or not. We first focus on the filtrations of split-word processes, introduced and studied by Smorodinsky and by Laurent. We prove that Laurent's sufficient condition for non standardness is also necessary. This yields a practical criterion of standardness. In turn, this criterion enables us to exhibit non standard filtrations which become standard when time is accelerated by omitting infinitely many instants of time. Secondly, we study the natural filtrations of stationary processes on finite state-spaces. Recently Bressaud et al.\ provided a sufficient condition for the natural filtration of such a process $(X_k)_k$ to be standard when the state-space has size $2$. Their condition involves the conditional laws $p(\cdot|x)$ of $X_0$ conditionally on $(X_k)_{k \le -1}=x$ and controls the influence of the remote past of the process on its present $X_0$. Bressaud and al.\ measure the maximal strength of this influence. We provide sufficient conditions for standardness based on some average gaps between these conditional laws, instead of the maximal gaps.Le caractère standard ou non standard est un invariant important dans la théorie des filtrations à temps discret négatif. Le but principal de cette thèse est de determiner si certaines filtrations sont standard ou non. Nous nous intéressons tout d'abord aux filtrations des processus des mots découpés, introduits et étudiés par Smorodinsky et par Laurent. Nous montrons que la condition suffisante de non standardité donnée par Laurent est aussi une condition nécessaire. Il en découle un critère simple de standardité, qui nous permet de donner un exemple de filtration non standard qui devient standard dès que le temps est accéléré par l'omission d'un nombre infini d'instants. Nous étudions ensuite les filtrations naturelles de processus stationnaires à valeurs dans un ensemble fini. Récemment Bressaud et al.\ ont donné une condition nécessaire pour que la filtration naturelle d'un tel processus $(X_k)_k$ soit standard quand le cardinal de l'espace d'états vaut $2$. Leur condition utilise les lois conditionnelles $p(\cdot|x)$ de $X_0$ sachant tout le passé $(X_k)_{k \le -1}=x$ et contrôle l'influence du passé lointain sur l'évolution présente du processus. Elle utilise les écarts maximaux entre $p(\cdot|x)$ et $p(\cdot|y)$ pour des suites infinies $x$ et $y$ qui co\"\i ncident sur leurs $n$ derniers termes. Nous donnons une condition suffisante de standardité faisant intervenir les écarts moyens entre ces lois conditionnelles plutôt que les écarts maximaux