P and PI controller design for systems with unstructured uncertainty

Bu çalışmada, yapısal olmayan belirsizliğe sahip tek girişli-tek çıkışlı doğrusal zamanla değişmeyen sistemleri kapalı çevrimde dayanıklı kararlı kılan oransal (P) ve oransal-integral (PI) kontrolörlerin tam bir kümesini bulmak için yeni yöntemler önerilmiştir. Böyle bir sistemi dayanıklı kararlı kılan tüm oransal kontrolörleri hesaplamak için önerilen yöntem, temelde Nyquist teoreminin bir genelleştirilmesine dayanır. Yapısal olmayan belirsizliklere sahip bir sistemin Nyquist eğrisi, tek bir eğri olmayıp reel ekseni bölgeler biçiminde kesen bir eğri ailesi biçimindedir. Bu eğri ailesi, belirsizlik disklerinden oluşan bir bantın içinden geçer. Nominal sistemi kararlı yapan kazançlar ile belirsizlik bantının reel ekseni kesim yerlerinden bulunan belirsizlik kazanç kümelerinden yararlanarak sistemi kapalı çevrimde dayanıklı kararlı kılan kazançların hesabı hızlıca yapılabilir. İki reel polinomun köklerinin hesabını gerektiren bu yöntemin bir parametre üzerinde herhangi bir tarama yapmayı gerektirmemesinden dolayı literatürdeki yöntemler üzerine avantajı da vardır. PI kontrolör parametrelerinin kutupsal koordinatlarda yazılmasıyla bulunan yeni sistem için birim daire taratılarak ve bu yöntemden elde edilen sonuçlardan da yararlanılarak dayanıklı kararlı yapan PI kontrolörlerin tam bölgesi hesaplanabilir. Ayrıca yapısal olmayan belirsizlik içeren sistemi dayanıklı kararlı kılan PI kontrolörleri bulmak için parametre uzayı yaklaşımını kullanan geometrik tabanlı iki yeni yöntem de önerilmiştir. Bu yöntemler, belirsizlik disklerinin orijini içermesi ve içermemesine göre iki aşama içerirler. Birinci yöntem, dayanıklı kararlı yapan PI kontrolörlerin tam bölgesini hesaplayan yavaş bir yöntemken; diğeri ise dayanıklı kararlı yapan PI kontrolörlerin yaklaşık bölgesini veren hızlı bir yöntemdir.  Anahtar Kelimeler: P ve PI kontrol, dayanıklı kontrol, Nyquist teoremi, parametre uzayı yaklaşımı.In controller design, it is essential to achieve stability of the closed-loop system and various performance specifications. Frequency domain criteria such as gain margin, phase margin and   norms of the closed-loop transfer functions as well as time domain criteria such as settling time, rise time and overshoot can be counted among important performance specifications. Most of the controllers used in the practical world are low order controllers such as P, PI and PID controllers. It is possible to see that methods for finding stabilizing low order compensators can be considered in three main categories: methods based on Nyquist theorem, methods based on a generalized version of the Hermite-Biehler theorem, and methods based on parameter space and the concept of singular frequencies.Robust stabilization of continuous time single-input single-output (SISO) linear time invariant (LTI) systems with multiplicative uncertainties is considered in this study. In particular, it has been shown that all P and PI controllers that robustly stabilize a given uncertain SISO LTI system can be found by utilizing a generalization of the Nyquist theorem and the parameter space approach, respectively. The generalization of Nyquist stability criterion suggests to determine the number of the unstable poles for gain intervals obtained by calculating the location and direction of the crossing of the Nyquist plot with the real axis. A stable characteristic polynomial, whose roots are in the left half plane, becomes unstable if and only if at least one root crosses the imaginary axis. The parameter values of the root crossing form the stability boundaries in the parameter space, which can be classified into three cases: the real root boundary, where a root crosses the imaginary axis at the origin (substitute   and   in the characteristic polynomial), the infinite root boundary, where a root leaves the left half plane at infinity (for  ) and the complex root boundary, where a pair of conjugate complex roots crosses the imaginary axes (for  ). These stability boundaries seperate regions in which the number of closed loop system unstable poles do not change in the parameter space.Sometimes, it is not possible to represent uncertainties in a system model with parametric uncertainties. Such uncertainties are usually encapsulated in a norm bounded system block that acts on a nominal system in an additive or multiplicative manner. Although it is possible to find robust controllers that can stabilize systems with such uncertainties by the help of  control theory, the resulting compensators are usually of high order (at least as high as the order of the plant) and therefore impractical in many cases. Several attempts exist to put constraints on the order of   controllers in the literature. However, many of these approaches suffer from computational intractability. In many practical cases direct determination of the set of P and PI controllers that provide robust stability of SISO LTI systems with unstructured uncertainty is required. To the best knowledge of authors, there is no such direct methods available in the literature for this purpose. The main aim of this paper is to provide such methods. Nyquist plot of a system with multiplicative uncertainties is a family of curves rather than a single curve and crosses the real axis in segments of the real axis instead of at single points. Actually, the frequency response of a system with unstructured uncertainty at a given frequency is a disk. A new method is proposed to determine all stabilizing P and PI controllers for a given system with multiplicative uncertainty. The method is applicable to systems with unstable or nonminimum phase transfer functions and/or weight functions. Proposed method involves calculation of roots of two real polynomials and does not require any search or gridding over a parameter (for P control), and as a result offers computational advantages over existing methods in literature. Although it is assumed that the nominal system does not have any poles on the imaginary axis in derivations of formulations, it is actually possible to extend the results to cover such cases rather easily. In this study, two new geometric methods are also proposed to find the set of PI controllers that robustly stabilize a given system with unstructured uncertainty. The first method gives exact set of robustly stabilizing PI controllers; but it is slow. An alternative method suggests approximation set of robustly stabilizing PI controllers; but it is faster than the first one. Keywords: P and PI control, robust control, Nyquist theorem, parameter space approach. 

İkili Doğrusal Zamanla Değişen Dizgelerin Chebyshev Dizisi Yaklaşıklığı İle Çözümü

Bu çalışmada, doğrusal olmayan dizgelerin en kolayı olan ikili doğrusal zamanla değişen dizgelerin Chebyshev dizisi yaklaşıklığı ile çözümü önerilmiştir İkili doğrusal dizgelerin çözümü için gerekli olan tümlevleme işlemine, Chebyshev dizisinin çokterimlileri kullanılarak bulunan ileri tümlevleme işlem matrisi yardımıyla yaklaşıklık getirilecektir. Chebyshev dizisinin ileri tümlevleme işlem özelliği ile tümlevler içeren çözüm bağıntısı, sadece matrislerin çarpımından oluşan bir çözüm bağıntısı biçimine getirilir. Böylece özellikle zamanla değişen dizgeler için, katlı tümlev almadan ve durum geçiş matrisini (DGM) hesaplamadan yaklaşık çözüm elde edilecektir. Durum geçiş matrisi kullanılarak elde edilen analitik (gerçek) çözümle Chebyshev dizisi yaklaşıklığı ile bulunan çözüm karşılaştırılacaktır

Yapısal Olmayan Belirsizlik İçeren Sistemlerde Dayanıklı Kararlılığı Sağlayan P ve PI Tipi Kontrolörlerin Tasarlanması İçin Bir Yöntem

Bu çalışmada, yapısal olmayan belirsizliğe sahip tek girişli-tek çıkışlı doğrusal zamanla değişmeyen sistemleri kapalı çevrimde dayanıklı kararlı kılan oransal (P) ve oransal-integral (PI) kontrolörlerin tam bir kümesini bulmak için yeni bir yöntem önerilmiştir. Böyle bir sistemi dayanıklı kararlı kılan tüm oransal kontrolörleri hesaplamak için önerilen yöntem, temelde Nyquist teoreminin bir genelleştirilmesine dayanır. Yapısal olmayan belirsizliklere sahip bir sistemin Nyquist eğrisi, tek bir eğri olmayıp reel ekseni bölgeler biçiminde kesen bir eğri ailesi biçimindedir. Bu eğri ailesi, belirsizlik disklerinden oluşan bir bantın içinden geçer. Nominal sistemi kararlı yapan kazançlar ile belirsizlik bantının reel ekseni kesim yerlerinden bulunan belirsizlik kazanç kümelerinden yararlanarak sistemi kapalı çevrimde dayanıklı kararlı kılan kazançların hesabı hızlıca yapılabilir. Sadece iki reel polinomun köklerinin hesabını gerektiren bu yöntemin bir parametre üzerinde herhangi bir tarama yapmayı gerektirmemesinden dolayı literatürdeki yöntemler üzerine önemli bir avantajı vardır. PI kontrolör parametrelerinin kutupsal koordinatlarda yazılmasıyla bulunan yeni sistem için birim daire taratılarak ve bu yöntemden elde edilen sonuçlardan da yararlanılarak dayanıklı kararlı yapan PI kontrolörlerin tam bölgesi hesaplanabilir

Arbitrary precision computation of the set of stabilising gains for time-delay LTI systems

A new method is proposed to calculate the set of proportional controllers stabilising a given linear time-invariant system with a fixed time-delay. The method is based on the utilisation of Pade approximations for the time-delay, Lam's studies on the convergence of Pade approximations and a generalisation of the Nyquist theorem applicable to quasi-polynomials. The method allows determination of the closeness of the resulting set to the exact set of stabilising gains by tracing the uncertainty introduced by the Pade approximation. As a result, it is possible to approximate the resulting set arbitrarily close to the exact stabilising set

Satisfaction of gain and phase margin constraints using proportional controllers

Gain and phase margins (GM and PM) are frequently used as robustness indicators for linear time invariant systems. In many cases, the design problem is reduced to determination of a loop gain to satisfy several design criteria including gain and PM specifications. Therefore finding the set of fixed order compensators that satisfy given gain and PM specifications attracted the attention of a considerable part of the scientific community recently. It is possible to show that it may not be possible to satisfy the required gain and/or PM specifications using only a proportional controller. As a result, finding the limits of the proportional controllers for a given plant (i.e. finding the maximum achievable gain and PMs, MAGM and MAPM) is also important. After providing alternative methods (to those that already exist in the literature) for determining all stabilising proportional controllers that satisfy gain and PM constraints, a new method for calculating MAGM and MAPM using proportional controllers is given in this article. A formulation to calculate maximum gain that results in MAGM is also provided