On mixed initial-boundary value problems for systems that are not strictly hyperbolic

5 pagesInternational audienceUn résultat de G. Métivier prouve le caractère bien posé des problèmes aux limites (sans donnée initiale) associés à des opérateurs hyperboliques avec caractéristiques de multiplicité constante sous une condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme. On étend ici ce résultat au cas avec données initiales L^2 en adaptant l'argument classique du cas strictement hyperbolique

Global well-posedness of the Euler-Korteweg system for small irrotational data

45 pagesInternational audienceThe Euler-Korteweg equations are a modification of the Euler equations that takes into account capillary effects. In the general case they form a quasi-linear system that can be recast as a degenerate Schrödinger type equation. Local well-posedness (in subcritical Sobolev spaces) was obtained by Benzoni-Danchin-Descombes in any space dimension, however, except in some special case (semi-linear with particular pressure) no global well-posedness is known. We prove here that under a natural stability condition on the pressure, global well-posedness holds in dimension d ≥ 3 for small irrotational initial data. The proof is based on a modified energy estimate, standard dispersive properties if d ≥ 5, and a careful study of the nonlinear structure of the quadratic terms in dimension 3 and 4 involving the theory of space time resonance.Les equations d'Euler-Korteweg sont une modification des equations d'Euler prenant en compte l'effet de la capillarité. Dans le cas général elles forment un syst eme quasi-linéaire qui peut se reformuler comme uné equation de Schrödinger dégénérée. L'existence locale de solutions fortes a ´ eté obtenue par Benzoni-Danchin-Descombes en toute dimension, mais sauf cas tr es particuliers il n'existe pas de résultat d'existence globale. En dimension au moins 3, et sous une condition naturelle de stabilité sur la pression on prouve que pour toute donnée initiale irrotationnelle petite, la solution est globale. La preuve s'appuie sur une estimation d'´ energie modifiée. En dimension au moins 5 les propriétés standard de dispersion suffisent pour conclure tandis que les dimensions 3 et 4requì erent uné etude précise de la structure des nonlinéarités quadratiques pour utiliser la méthode des résonances temps espaces

Linear asymptotic stability of small-amplitude periodic waves of the generalized Korteweg--de Vries equations

In this note, we extend the detailed study of the linearized dynamics obtained for cnoidal waves of the Korteweg--de Vries equation in \cite{JFA-R} to small-amplitude periodic traveling waves of the generalized Korteweg-de Vries equations that are not subject to Benjamin--Feir instability. With the adapted notion of stability, this provides for such waves, global-in-time bounded stability in any Sobolev space, and asymptotic stability of dispersive type. When doing so, we actually prove that such results also hold for waves of arbitrary amplitude satisfying a form of spectral stability designated here as dispersive spectral stability.Comment: 15 page

Non homogeneous boundary value problems for linear dispersive equations

37 pagesInternational audienceOn étudie ici des problème aux limites posés sur le demi espace avec données au bord non nulles pour une classe d'équations aux dérivées partielles linéaires dites "dispersives". Une condition de type Kreiss-Lopatinskii est mise en évidence, et l'existence et unicité de solutions est alors obtenue grâce à une estimation sans perte de dérivée. L'étude du problème aux limites avec données initiales arbitraires est faite pour le cas de l'équation de Schrödinger libre (en toute dimension) grâce à une estimation de semi-groupe pour le problème aux limites pur et des arguments de dualité. Une possible généralisation de ce résultat est également indiquée

Existence d'ondes progressives multiples dans les fluides capillaires

International audienceWe prove the existence of multi-soliton and kink-multi-soliton solutions of the Euler-Korteweg system in dimension one. Such solutions behaves asymptotically in time like several traveling waves far away from each other. A kink is a traveling wave with different limits at ±∞. The main assumption is the linear stability of the solitons, and we prove that this assumption is satisfied at least in the transonic limit. The proof relies on a classical approach based on energy estimates and a compactness argument.On montre l'existence de solutions de type multi-soliton et kink-multi-soliton pour les équations d'Euler-Korteweg en dimension un. Ces solutions se comportent en temps long comme plusieurs ondes solitaires très éloignées les unes des autres. Un kink est une onde solitaire dont les limites en ±∞ sont différentes. L'hypothèse principale est la stabilité linéaire des solitons, on montre que cette hypothèse est satisfaite au moins dans la limite transonique. La preuve suit une approche classique, basée sur des estimées d'énergie et un argument de compacité