СВОБОДНЫЕ КОММУТАТИВНЫЕ g-ДИМОНОИДЫ

A dialgebra is a vector space equipped with two binary operations ⊣ and ⊢ satisfying the following axioms: (D1) (x ⊣ y) ⊣ z = x ⊣ (y ⊣ z), (D2) (x ⊣ y) ⊣ z = x ⊣ (y ⊢ z), (D3) (x ⊢ y) ⊣ z = x ⊢ (y ⊣ z), (D4) (x ⊣ y) ⊢ z = x ⊢ (y ⊢ z), (D5) (x ⊢ y) ⊢ z = x ⊢ (y ⊢ z). This notion was introduced by Loday while studying periodicity phenomena in algebraic K-theory. Leibniz algebras are a non-commutative variation of Lie algebras and dialgebras are a variation of associative algebras. Recall that any associative algebra gives rise to a Lie algebra by [x, y] = xy−yx. Dialgebras are related to Leibniz algebras in a way similar to the relationship between associative algebras and Lie algebras. A dialgebra is just a linear analog of a dimonoid. If operations of a dimonoid coincide, the dimonoid becomes a semigroup. So, dimonoids are a generalization of semigroups. Pozhidaev and Kolesnikov considered the notion of a 0-dialgebra, that is, a vector space equipped with two binary operations ⊣ and ⊢ satisfying the axioms (D2) and (D4). This notion have relationships with Rota-Baxter algebras, namely, the structure of Rota-Baxter algebras appearing on 0-dialgebras is known. The notion of an associative 0-dialgebra, that is, a 0-dialgebra with two binary operations ⊣ and ⊢ satisfying the axioms (D1) and (D5), is a linear analog of the notion of a g-dimonoid. In order to obtain a g-dimonoid, we should omit the axiom (D3) of inner associativity in the definition of a dimonoid. Axioms of a dimonoid and of a g-dimonoid appear in defining identities of trialgebras and of trioids introduced by Loday and Ronco. The class of all g-dimonoids forms a variety. In the paper of the second author the structure of free g-dimonoids and free n-nilpotent g-dimonoids was given. The class of all commutative g-dimonoids, that is, g-dimonoids with commutative operations, forms a subvariety of the variety of g-dimonoids. The free dimonoid in the variety of commutative dimonoids was constructed in the paper of the first author. In this paper we construct a free commutative g-dimonoid and describe the least commutative congruence on a free g-dimonoid. Диалгеброй называется векторное пространство, снабжённое двумя би- нарными операциями ⊣ и ⊢, удовлетворяющими следующим аксиомам: (D1) (x ⊣ y) ⊣ z = x ⊣ (y ⊣ z), (D2) (x ⊣ y) ⊣ z = x ⊣ (y ⊢ z), (D3) (x ⊢ y) ⊣ z = x ⊢ (y ⊣ z), (D4) (x ⊣ y) ⊢ z = x ⊢ (y ⊢ z), (D5) (x ⊢ y) ⊢ z = x ⊢ (y ⊢ z). Это понятие было введено Лодэ во время изучения феномена периодичности в алгебраической K-теории. Алгебры Лейбница являются некоммутативной версией алгебр Ли, а диалгебры – версией ассоциативных ал- гебр. Напомним, что любая ассоциативная алгебра даёт алгебру Ли, если положить [x, y] = xy −yx. Диалгебры связаны с алгебрами Лейбница аналогично тому как связаны между собой ассоциативные алгебры и алгебры Ли. Диалгебра является линейным аналогом димоноида. Если операции димоноида совпадают, то он превращается в полугруппу. Таким образом, димоноиды обобщают полугруппы. Пожидаев и Колесников рассмотрели понятие 0-диалгебры, то есть векторного пространства, снабжённого двумя бинарными операциями ⊣ и ⊢, удовлетворяющими аксиомам (D2) и (D4). Это понятие имеет связи с алгебрами Рота-Бакстера, а именно известна структура алгебр Рота- Бакстера, возникающих на 0-диалгебрах. Понятие ассоциативной 0-диалгебры, то есть 0-диалгебры с двумя бинарными операциями ⊣ и ⊢, удовлетворяющими аксиомам (D1) и (D5), является линейным аналогом понятия g-димоноида. Для того, чтобы получить g-димоноид, мы должны опустить аксиому (D3) внутренней ассоциативности в определении димоноида. Аксиомы димоноида и g-димоноида появляются в тождествах триалгебр и триоидов, введенных Лодэ и Ронко. Класс всех g-димоноидов образует многообразие. Строение свободных g-димоноидов и свободных n-нильпотентных g-димоноидов было описано в статье второго автора. Класс всех коммутативных g-димоноидов, то есть g-димоноидов с коммутативными операциями, образует подмногообразие многообразия g-димоноидов. Свободный димоноид в многообразии коммутативных димоноидов был построен в статье первого автора. В этой статье мы строим свободный коммутативный g-димоноид, а также описываем наименьшую коммутативную конгруэнцию на свободном g-димоноиде.

Igor Rostislavovich Shafarevich (03.06.1923 -- 19.02.2017)

The great Russian mathematician Igor Rostislavovich Shafarevich died on February 19, 2017. This news grieved the whole mathematical society, since his name was inseparably linked to so many outstanding achievements and ideas of the modern mathematics, especially number theory and algebraic geometry