Analytic and numerical study of a hierarchical spin model

A simple hierarchical scalar spin model is studied analytically and numerically in the vicinity of its critical point. The dependence of the finite size (i.e. calculated for a large but finite number of spins) susceptibility and the location of zeros of the model partition function on the number of spins at the critical point is described analytically. It is also shown analytically that the finite size correlation length in such a model diverges at the critical point slower than it is supposed in the finite size scaling theory. Certain numerical information about the critical point and ordered phase is given. In particular, the critical temperature of the model and the critical index describing the order parameter are calculated for various values of the interaction parameter.На основі аналітичних і чисельних методів вивчається проста ієрархічна скалярна спінова модель в околі її критичної точки. Аналітично описані залежності сприйнятливості і локалізації нулів статистичної суми моделі скінченого розміру (тобто, великого, але скінченого числа спінів) від кількості спінів поблизу критичної точки. Шляхом аналітичного розрахунку, зокрема, показано, що кореляційна довжина моделі скінченого розміру розбігається в критичній точці слабше ніж це передбачалось скейлінговою теорією. Обчислена критична температура і знайдений критичний показник параметра порядку для різних значень параметра взаємодії

Thermodynamic characteristics of the classical n-vector magnetic model in three dimensions

The method of calculating the free energy and thermodynamic characteristics of the classical n-vector three-dimensional (3D) magnetic model at the microscopic level without any adjustable parameters is proposed. Mathematical description is perfomed using the collective variables (CV) method in the framework of the $\rho^4$ model approximation. The exponentially decreasing function of the distance between the particles situated at the N sites of a simple cubic lattice is used as the interaction potential. Explicit and rigorous analytical expressions for entropy,internal energy, specific heat near the phase transition point as functions of the temperature are obtained. The dependence of the amplitudes of the thermodynamic characteristics of the system for $T>T_c$ and $T<T_c$ on the microscopic parameters of the interaction potential are studied for the cases $n=1,2,3$ and $n\to\infty$. The obtained results provide the basis for accurate analysis of the critical behaviour in three dimensions including the nonuniversal characteristics of the system.Comment: 25 pages, 5 figure