Numerical solutions of some partial differential equations with B-spline finite element method

Bu tez altı bölüm içermektedir. Birinci bölümde, tezde kullanılan bazı temel kavramlar tanıtılmış, lineer oluşum denklemleri hakkında genel bilgiler verilmiştir. Sonlu farklar ve sonlu elemanlar yöntemleri ile birlikte spline interpolasyon ve B-spline interpolasyon fonksiyonları tanımlanmıştır. Son olarak, nümerik çözümleri hesaplanacak olan dalga denklemleri test problemleri ile birlikte tanıtılmıştır. İkinci bölümde; model problemlerden sınır şartları ile verilen Gilson-Pickering (GP) denklemi septik B-spline kollokasyon metodu kullanılarak nümerik olarak çözülmüştür. Tek solitary dalga hareketinin incelendiği test problemi ile tam çözüm ve nümerik sonuçlar karşılaştırılarak çözülmüştür. Elde edilen sonuçlar tablolaştırılmış ve denklem için kararlılık analizi yapılmıştır. Üçüncü bölümde; Genelleştirilmiş Oskolkov denkleminin yaklaşık çözümünü hesaplamak için kuintik B-spline fonksiyonlara dayalı kollokasyon sonlu elemanlar yöntemi uygulanmıştır. Önerilen yöntem, tek solitary dalga hareketi ve Gaussian ile Undular Bore başlangıç şartları kullanılarak çözülmüştür. Elde edilen sonuçlar tablolaştırılmış ve denklem için kararlılık analizi yapılmıştır. Dördüncü bölümde, Kudryashov-Sinelschkov denkleminin septik B-spline fonksiyonlar kullanılarak sonlu eleman modeli oluşturulmuştur. Kudryashov-Sinelschkov denkleminin şok dalga hareketi, iki solitary dalganın etkileşimi, Gaussian şartı ve Undular bore başlangıç şartı ile ele alınmıştır. Elde edilen sonuçlar tablolaştırılmış ve denklem için kararlılık analizi yapılmıştır. Beşinci bölümde, ilk bölümde tanıtılan fifth order Korteweg de Vries (fKdV) denklemlerinin sayısal çözümleri araştırılmıştır. Sawada-Kotera (SK), Caudrey-Dodd-Gibbon (CDG), Lax, Kaup-Kuperschmit (KK) ve Ito denklemleri için septik B-spline fonksiyonlar kullanılarak nümerik çözümleri elde edilmiştir. Her bir denklem için tek solitary dalga hareketi incelenmiş, sonuçlar tablolaştırılmıştır. Yine her bir denklem için kararlılık analizi yapılmıştır. Altıncı bölümde, her bir denklem için tezde kullanılan kollokasyon sonlu elemanlar yöntemi ile elde edilen sonuçlar ve öneriler verilmiştir.This Ph.D. thesis contains six sections. In the first section, some basic concepts used in the thesis are introduced and general information about linear formation equations is given. Spline interpolation and B-spline interpolation functions are defined together with finite difference and finite element methods. Finally, wave equations, whose numerical solutions are to be calculated, are introduced together with the test problems. In the second section; Gilson-Pickering (GP) equation given with boundary conditions from model problems is solved numerically by using septic B-spline collocation method. The test problem in which single solitary wave motion is examined is solved by comparing the exact solution and numerical results. Obtained results are tabulated and stability analysis is performed for the equation. In the third section; To calculate the approximate solution of the generalized Oskolkov equation, the collocation finite element method based on quintic B-spline functions is applied. The proposed method is solved using single solitary wave motion and Gaussian and Undular Bore initial conditions. Obtained results are tabulated and stability analysis is performed for the equation. In the fourth section, the finite element model of the Kudryashov-Sinelschkov equation is constructed using septic B-spline functions. Shock wave motion of Kudryashov-Sinelschkov equation, interaction of two solitary waves, Gaussian condition and Undular bore initial condition are discussed. Obtained results are tabulated and stability analysis is performed for the equation. In the fifth section, numerical solutions of the fifth order Korteweg de Vries (fKdV) equations introduced in the first section are investigated. Numerical solutions of Sawada-Kotera (SK), Caudrey-Dodd-Gibbon (CDG), Lax, Kaup-Kuperschmit (KK) and Ito equations are obtained by using septic B-spline functions. For each equation, single solitary wave motion is examined and the results are tabulated. Again, stability analysis is performed for each equation. In the sixth section, the results and suggestions obtained by the collocation finite element method used in the thesis for each equation are given