On the number of homotopy types of fibres of a definable map

In this paper we prove a single exponential upper bound on the number of possible homotopy types of the fibres of a Pfaffian map, in terms of the format of its graph. In particular we show that if a semi-algebraic set $S \subset {\R}^{m+n}$, where $\R$ is a real closed field, is defined by a Boolean formula with $s$ polynomials of degrees less than $d$, and $\pi: {\R}^{m+n} \to {\R}^n$ is the projection on a subspace, then the number of different homotopy types of fibres of $\pi$ does not exceed $s^{2(m+1)n}(2^m nd)^{O(nm)}$. As applications of our main results we prove single exponential bounds on the number of homotopy types of semi-algebraic sets defined by fewnomials, and by polynomials with bounded additive complexity. We also prove single exponential upper bounds on the radii of balls guaranteeing local contractibility for semi-algebraic sets defined by polynomials with integer coefficients.Comment: Improved combinatorial complexit

Approximation of definable sets by compact families, and upper bounds on homotopy and homology

We prove new upper bounds on homotopy and homology groups of o-minimal sets in terms of their approximations by compact o-minimal sets. In particular, we improve the known upper bounds on Betti numbers of semialgebraic sets defined by quantifier-free formulae, and obtain for the first time a singly exponential bound on Betti numbers of sub-Pfaffian sets.Comment: 20 pages, 2 figure

Complexity of Computing the Local Dimension of a Semialgebraic Set

AbstractThe paper describes several algorithms related to a problem of computing the local dimension of a semialgebraic set. Let a semialgebraic set V be defined by a system of k inequalities of the formf≥ 0 with f∈R [ X1,⋯ ,Xn ], deg(f) <d , andx∈V . An algorithm is constructed for computing the dimension of the Zariski tangent space to V at x in time (kd)O(n). Let x belong to a stratum of codimension lxin V with respect to a smooth stratification ofV . Another algorithm computes the local dimension dimx(V) with the complexity (k(lx+ 1)d)O(lx2n). Ifl=maxx∈Vlx, and for every connected component the local dimension is the same at each point, then the algorithm computes the dimension of every connected component with complexity (k(l+ 1)d)O(l2n). If V is a real algebraic variety defined by a system of equations, then the complexity of the algorithm is less thankdO(l2n) , and the algorithm also finds the dimension of the tangent space to V at x in time kdO(n). Whenl is fixed, like in the case of a smooth V , the complexity bounds for computing the local dimension are (kd)O(n)andkdO(n) respectively. A third algorithm finds the singular locus ofV in time (kd)O(n2)

Bounds of some real (complex) solution of a finite system of polynomial equations with rational coefficients

We discuss two conjectures. (I) For each x_1,...,x_n \in R (C) there exist y_1,...,y_n \in R (C) such that \forall i \in {1,...,n} |y_i| \leq 2^{2^{n-2}} \forall i \in {1,...,n} (x_i=1 \Rightarrow y_i=1) \forall i,j,k \in {1,...,n} (x_i+x_j=x_k \Rightarrow y_i+y_j=y_k) \forall i,j,k \in {1,...,n} (x_i \cdot x_j=x_k \Rightarrow y_i \cdot y_j=y_k) (II) Let G be an additive subgroup of C. Then for each x_1,...,x_n \in G there exist y_1,...,y_n \in G \cap Q such that \forall i \in {1,...,n} |y_i| \leq 2^{n-1} \forall i \in {1,...,n} (x_i=1 \Rightarrow y_i=1) \forall i,j,k \in {1,...,n} (x_i+x_j=x_k \Rightarrow y_i+y_j=y_k)Comment: LaTeX2e, 28 pages, a shortened and revised version will appear in Mathematical Logic Quarterly 56 (2010), no.2, under the title ``Two conjectures on the arithmetic in R and C'

Alkoholitarvitamise vähendamisele suunatud veebipõhise eneseabiprogrammi mõju uuring

Eesmärk. Uuringu eesmärk oli alkoholitarvitamise vähendamisele suunatud rahvusvahelise veebipõhise eneseabiprogrammi „Take Care of You“ Eestile kohandatud sisuversiooni „Selge“ mõju hindamine. Esmane tulemusnäitaja oli alkoholitarvitamist hindava küsimustiku (AUDIT) skoori muutus võrreldes alus- ja järeluuringu mõõtmisega 6 kuud hiljem. Olulised teisesed tulemusnäitajad olid nädala jooksul tarvitatud alkoholiühikute arv, alkoholivabade päevade arv ja tervist mitteohustavale (AUDITi skoor &lt; 8) tasemele jõudnute osakaal 6 kuud hiljem.Meetod. Uuringukavandiks oli sekkumis- ja kontrollrühmaga juhuslikustatud katse kolme mõõtmisega: liitumisel, 8. nädalal ja 6 kuud pärast liitumist järeluuringus. Hindamisinstrumentideks olid alkoholitarvitamise küsimustik AUDIT ja tarvitatud alkoholiühikute päevik ning võimaliku kõrvalmõju hindamiseks meeleoluküsimustik MHI-5. Uuringusse kaasati 18aastased ja vanemad eesti keelt kõnelevad inimesed AUDITi skooriga ≥ 8. Mõju hindamiseks kasutati täielike juhtumite analüüsi meetodit.Tulemused. Analüüsi kaasati kolmes mõõtmises vastanud uuritavad (n = 358, sh 159 sekkumis- ja 199 kontrollrühmas). Sekkumis- ja kontrollrühma alusuuringus mõõdetud sarnane AUDITi skoor (keskmine 18, p = 0,612) vähenes statistiliselt oluliselt enam sekkumisrühmas, olles 6 kuu järeluuringus vastavalt 10,6 ja 14,0 (p &lt; 0,001). Ka jäi sekkumisrühmas nädala jooksul tarvitatud alkoholikogus väiksemaks (vastavalt mediaanid 8 ja 14 ühikut, p &lt; 0,001) ning alkoholivabade päev arv suuremaks (vastavalt mediaanid 5 ja 4, p = 0,002) kui kontrollrühmas. Tervist mitteohustava tarvitamise tasemeni (AUDITi skoor &lt; 8) jõudis 35% sekkumis- ja 19% kontrollrühmast. Sekkumisrühmas vähenes stressitase (MHI-5 skoor suurenes 9 punkti) ning depressioonisümptomitega inimeste osakaal (ligi 14 protsendipunkti).Järeldused. Veebipõhisel eneseabiprogrammil „Selge“ oli mõju alkoholi liigtarvitamise vähendamisele, sh tarvitatud alkoholiühikute vähenemisele ja alkoholivabade päevade arvu suurenemisele ning tervist mitteohustava tarvitamistaseme saavutamisele. Programm on kõigile abivajajatele kättesaadav lehel https://alkoinfo.ee/et/programm-selge-2/ programm-selge eesti ja vene keeles