Тривимірне скінченно-різницеве моделювання хвильового поля з урахуванням сферичності Землі

Three dimensional modeling of the wave field makes possible to obtain a concept on distribution of seismic waves in geological medium with different complexity of its structure. The location of the source of fluctuations may be defined in this case at any depth. Therefore, three dimensional modeling of the wave field may be used while solving the problems of seismology related to the nature of strains in the Earth’s interior, while studying the dangerous phenomena of endogenous origin as well as in the case of studies of the deep structure of the Earth, the boundaries of its division and its tectonic structures.All existing methods of numerical simulation of the wave field are based on the solving the equation of elastodynamics with the help of different methods defined by interfacial and initial conditions and are subdivided into axial-symmetrical and pseudo-spectral. The first ones are based on approximation of structural model as a rotary-symmetrical along the vertical axis of the source of fluctuations and solving of the equation of elastodynamics in sylindric or spheric coordinates and in the second ones while solving the equation of elastodynamics Fourier transformation is used.At the Institute of Geophysics named after S.I. Subbotin NAS of Ukraine a method of finite-differential simulation of the wave field has been elaborated both in two-dimensional and three-dimensional variants. The choice of finite-differential method for proceeding of the wave field is explained by its high stability and accuracy as well as with possibility of its application to the wide class of heterogenous models of the medium. Finite-differential modeling is based on the solving of the scalar equation with application of the spacio-temporal net. While solving the problems of seismology in the case of three-dimensional modeling of the wave field we are to take sphericity of the Earth into account. For this purpose in the differential wave equation a transition from Cartesian to spherical coordinate system has been provided. The theory and algorithm of the elaborated three-dimensional modeling of the wave field with finite differential method taking into account sphericity of the Earth has been considered in the paper with demonstration on the model example.Трехмерное моделирование волнового поля дает возможность получить представление о распространении сейсмических волн в геологической среде разной степени сложности строения. При этом расположение источника колебаний может быть задано на любой глубине. Таким образом, трехмерное моделирование волнового поля можно применять при решении задач сейсмологии, связанных с природой напряжений внутри Земли, при исследованиях опасных явлений ендогенного происхождения, а также при изучении глибинного строения Земли, границ ее раздела и тектонических структур. Все известные методы численного моделирования волнового поля основаны на решении уравнения эластодинамики разными методами с заданными граничными и начальными условиями и подразделяются на осесимметричные и псевдоспектральные. Первые основаны на аппроксимации структурной модели как вращательно-симметричной вдоль вертикальной оси источника колебаний и решении уравнения эластодинамики в цилиндрических или сферических координатах, а вторые - на решении уравнения эластодинамики с использованием преобразования Фурье. В Институте геофизики им. С.И. Субботина НАН Украины разработан метод конечно-разностного моделирования волнового поля как в двумерном, так и трехмерном варианте. Выбор конечно-разностного метода для продолжения волнового поля объясняется его высокой устойчивостью и точностью, а также возможностью использовать при его применении широкий класс неоднородных моделей среды. Конечно-разностное моделирование основано на решении скалярного волнового уравнения с применением пространственно-временной сетки. При решении задач сейсмологии в случае трехмерного моделирования волнового поля необходимо учитывать сферичность Земли. Для этого в дифференциальном волновом уравнении предусмотрен переход с декартовой на сферическую систему координат. В статье рассмотрены теория и алгоритм разработанного трехмерного моделирования волнового поля конечно-разностным методом с учетом сферичности Земли. Эффективность метода показана на модельном примере.Тривимірне моделювання хвильового поля дає змогу отримати уявлення про поширення сейсмічних хвиль у геологічному середовищі різного ступеня складності будови. При цьому розташування джерела коливань може бути задано на будь-якій глибині. Таким чином, тривимірне моделювання хвильового поля можна застосовувати при розв’язанні задач сейсмології, пов’язаних з природою напружень всередині Землі, під час досліджень небезпечних явищ ендогенного походження, а також вивчення глибинної будови Землі, меж її поділу і тектонічних структур. Всі існуючі методи чисельного моделювання хвильового поля засновані на розв’язанні рівняння еластодинаміки різними методами із заданими граничними і початковими умовами. Їх поділяють на осесиметричні і псевдоспектральні. Перше засноване на апроксимації структурної моделі як обертально-симетричної уздовж вертикальної осі джерела коливань і розв’язанні рівняння еластодінамікі в циліндричних або сферичних координатах, а друге — на розв’язанні рівняння еластодинаміки з використанням перетворення Фур’є. В Інституті геофізики ім. С.І. Суботіна НАН України розроблено метод скінченно-різницевого моделювання хвильового поля як у двовимірному, так і тривимірному варіанті. Вибір скінченно-різницевого методу для продовження хвильового поля пояснюється його високою стійкістю і точністю, а також можливістю використовувати при його застосуванні широкий клас неоднорідних моделей середовища. Скінченно-різницеве моделювання ґрунтується на розв’язанні скалярного хвильового рівняння із застосуванням просторово-часової сітки. При розв’язанні задач сейсмології в разі тривимірного моделювання хвильового поля необхідно враховувати сферичність Землі. Для цього в диференціальному хвильовому рівнянні передбачено перехід з декартової на сферичну систему координат. У статті розглянуто теорію і алгоритм розробленого тривимірного моделювання хвильового поля скінченно-різницевим методом з урахуванням сферичності Землі, ефективність якого показана на модельному прикладі

Тривимірне моделювання часового поля променевим і кінцево-різницевим методами для вирішення завдань сейсмології

Three-dimensional modeling of temporal field allows reconstructing the kinamatics of wave processes observed in the Earth during seismic studies and determine in such a way spatial position into it of the studied objects. Modeling is also an important tool for inspection of correctness of methods for solving the inverse problem during the process of interpretation both seismological and seismic exploration data. Seismic rays which determine the direction of the flow of high-frequency part of seismic wave field energy are very important in seismology.  Tracking the rays and their calculation allows solving different problems of seismology as well as checking the accuracy of results obtained while different methods of processing and interpretation of data observed on the Earth surface are used.A version of finite-differential modeling of temporal field in three-dimensional spherical Earth is based on direct net approximation of the eikonal equation and it is this approach to reconstruction of values of seismic waves arrivals to any point of Earth depths is the most stabile and as a result can guarantee correctness of solving lots of applied problems of seismology. At the same time continuation of temporal field is a part of calculative process of finite-differential migration designed at the Institute of Geophysics named after S.I.Subbotin of NAS of Ukraine and is used while processing seismic exploration data.Development of computer technologies during recent decades brought the appearance of theories, algorithms, and software-based complexes realizing the solving of three-dimensional geophysical in particular seismological problems.  The paper gives theoretical foundations, algorithms, and results of application  of three-dimensional temporal fields modeling developed for both radial and finite-differential methods by practical examples.Трехмерное моделирование временного поля позволяет воспроизвести кинематику волновых процессов, наблюдаемых на Земле при сейсмических исследованиях, и, таким образом, определить пространственное размещение в ней целевых объектов. Также моделирования является важным инструментом для проверки корректности методов решения обратных задач в процессе интерпретации как сейсмологических, так и сейсморазведочных данных. В сейсмологии особое значение имеют сейсмические лучи, которые определяют направление потока энергии высокочастотной части сейсмического волнового поля. Проследить лучей и их расчет позволяют решать широкий круг задач сейсмологии, а также проверять точность полученных результатов при применении различных методов обработки и интерпретации наблюдений на земной поверхности данных. Вариант скинченноризницевого моделирования временного поля в трехмерной сферической Земли основывается на непосредственном сеточной аппроксимации уравнения эйконала, и именно этот подход к определению значений времени прихода сейсмических волн в каждую точку земных глубин является устойчивым, а следовательно, может гарантировать корректность решения многих прикладных задач сейсмологии. В то же время продолжение временного поля является частью вычислительного процесса скинченноризницевои миграции, которая разработана в Институте геофизики им. С. И. Субботина НАН Украины и которую используют при обработке данных сейсморазведки. В течение последних десятилетий с развитием компьютерных технологий связано появление теорий, алгоритмов и программных комплексов, которые позволили реализовать решения трехмерных геофизических, в частности сейсмологических, задач. В статье приведены теоретические основы, алгоритмы и результаты применения разработанных вариантов трехмерного моделирования временных полей как лучевой, так и скинченноризницевим методом на практических примерах.Тривимірне моделювання часового поля дає змогу відтворити кінематику хвильових процесів, які спостерігаються в Землі при сейсмічних дослідженнях, і, таким чином, визначити просторове розміщення в ній цільових об'єктів. Також моделювання є важливим інструментом для перевірки коректності методів розв'язання обернених задач у процесі інтерпретацій як сейсмологічних , так і сейсморозвідувальних даних. У її особливе значення мають сейсмічні промені, які визнача­ють напрямок потоку енергії високочастотної частини сейсмічного хвильового поля. Простеження променів та їх розрахунок дають змогу розв'язувати широке коло завдань сейсмології, а також перевіряти точність отриманих результатів при застосуванні різних методів обробки та інтерпретації спостережених на земній поверхні даних. Варіант скінченно-різницевого моделювання часового поля у тривимірний сферичній Землі ґрунтується  на безпосередній сітковий апроксимації рівняння ейконалу, та саме цей підхід до визначення значень часу приходу сейсмічних хвиль у кожну точку земних глибин є найстійкішим, а отже, може гарантувати коректність розв'язання багатьох прикладних завдань її. Водночас продовження часового поля е частиною обчислювального процесу скінченно-різницевої міграцій, яка розроблена в Інституті геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України і яку використовують при обробці даних сейсморозвідки. Протягом останніх десятиліть з розвитком комп'ютерних технологій пов'язана поява теорій, алгоритмів та програмних комплексів, які дали змо­гу реалізувати розв'язання тривимірних геофізичних, зокрема сейсмологічних, за­дач. У статті наведено теоретичні основи, алгоритми та результати застосування роз роблених варіантів тривимірного моделювання часових полів як променевим, так і скінченно-різницевим методом на практичних прикладах