Prueba de Selberg del teorema de los números primos

Este trabajo tiene como propósito mostrar la prueba elemental al Teorema de los Números Primos dada por Atle Selberg. En primer lugar, veremos la teoría de las funciones aritméticas y cálculo de sumas parciales de que serán la base de la prueba. Posteriormente, deduciremos las estimaciones de Chebyshev que fueron las primeras aproximaciones al orden de π(x). Seguiremos viendo unas expresiones equivalentes que antes de encontrar la prueba elemental se demostró que el cumplimiento de estos implica el Teorema de los Números Primos y que fueron objeto de estudio para conseguir llegar a una prueba. Después demostraremos las fórmulas asintóticas que usó Atle Selberg para la demostración elemental del Teorema de los Números Primos y finalmente presentaremos la prueba elemental.This project is intended to show the elementary proof of Prime Number Theorem given by Atle Selberg. First of all, we shall see arithmetic function theory and partial sums calculation which will be the basis of the proof. Next, we shall deduce Chebyshev’s estimations that were the first approach to π(x)’s order. We will continue with some expressions equivalent to the Prime Number Theorem, that is the validity of anyone of them implies the Prime Number Theorem, which were studied to get a proof. Then, we will prove the asymptotic formulas used by Atle Selberg for his Prime Number Theorem elementary proof. Finally, we will show Selberg’s elementary proof.Universidad de Sevilla. Grado en Matemática

Diseño de redes de ferrocarril: cobertura por pares vs. cobertura por modos

En los ´ultimos a˜nos, se ha observado un creciente inter´es y esfuerzo en la construcci´on, mejora y expansi´on de redes de transporte r´apido, impulsado por la creciente demanda de viajes, congesti´on del tr´afico, la necesidad de reducir la contaminaci´on y el consumo de energ´ıa. Este fen´omeno responde a la insostenibilidad de los combustibles f´osiles en el transporte personal. Sin embargo, el dise˜no de estas redes presenta desaf´ıos considerables. Las infraestructuras son dif´ıciles de modificar, y la participaci´on de diversos agentes, como pol´ıticos, ciudadanos e ingenieros provocan una dificultad a˜nadida para resolver el problema. Los dise˜nos urban´ısticos de las ciudades tienen un impacto sobre la planificaci´on de la red al igual que la red sobre el desarrollo urban´ıstico de la ciudad, esto hace que sea importante un buen estudio. Las inversiones en estas redes son muy altas, por lo que hay que definir muy bien los objetivos que se quieren alcanzar basados en las necesidades de la poblaci´on y todo lo que rodea la construcci´on de una red de transporte r´apido. Es por ello que se buscan modelos matem´aticos cada vez m´as cercanos a la realidad, aunque esto conlleva una superior complejidad computacional que en muchos casos no es posible solventar. Los objetivos mas habituales dentro de la literatura en este campo son el maximizar la poblaci´on cubierta por las estaciones y el de maximizar la cobertura de la demanda origendestino, entre otros. Para llegar a estos objetivos se plantean diversos modelos algor´ıtmicos, entre ellos los modelos de programaci´on lineal entera que ser´an la base de los modelos planteados en este trabajo. En este Trabajo de Fin de M´aster propondremos dos modelos, el modelo 1 buscar´a la maximizaci´on de la cobertura de la demanda origen-destino cubierta por la red. El modelo 2, tendr´a como funci´on objetivo el maximizar la poblaci´on cubierta por las estaciones. Tambi´en se propondr´a una modificaci´on del modelo 2 con el fin de obtener distintas redes en poco tiempo. Posteriormente, tomaremos datos experimentales con el objetivo de comprobar el comportamiento de cada uno de los modelos, tanto en t´erminos de la bondad de la soluci´on, como en t´erminos de la complejidad computacional. Se comparar´an las redes obtenidas en cada modelo, observando cuanto se acercan a la red ´optima del otro modelo en t´erminos de la funci´on objetivo. El principal objetivo es que el modelo d´e la mejor soluci´on posible, en t´erminos de la cobertura de la demanda origen-destino, en un tiempo razonable.In recent years, there has been growing interest and effort in the construction, improvement, and expansion of rapid transit networks, driven by increasing travel demand, traffic congestion, the need to reduce pollution, and energy consumption. This phenomenon is a response to the unsustainable nature of fossil fuels in personal transportation. However, the design of these networks bring up significant challenges. These infrastructures are difficult to modify, and the involvement of various stakeholders, including politicians, citizens, and engineers, adds complexity to the problem-solving. City urban designs impact network planning, just as the network influences city development, highlighting the importance of thorough studies. This networks need substantial financial investment, so it is essential to have clear objectives based on population needs, and surrounding factors must be defined in the construction of rapid transit networks. Hence, there is a pursuit of mathematical models that closely represent reality, despite the increased computational complexity that is sometimes impossible to solve. Common objectives in the literature include maximizing station-covered population and maximizing coverage of origin-destination demand. This study will conduct an analysis of solutions, focusing on maximizing the population covered by stations versus maximizing the coverage of origin-destination demand by the network. Two models will be proposed, each targeting one of these objectives. Using experimental data, the performance of each model will be evaluated in terms of computational complexity and solution quality. Network outcomes from each model will be compared to assess how closely they approach the optimal network of the other model in terms of the objective function. The primary goal is for the model to provide the best possible solution in a reasonable amount of time.Universidad de Sevilla. Doble Máster Universitario en Profesorado de Enseñanza Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Estudios Hispánicos Superiore