Small BGK waves and nonlinear Landau damping

Consider 1D Vlasov-poisson system with a fixed ion background and periodic condition on the space variable. First, we show that for general homogeneous equilibria, within any small neighborhood in the Sobolev space W^{s,p} (p>1,s<1+(1/p)) of the steady distribution function, there exist nontrivial travelling wave solutions (BGK waves) with arbitrary minimal period and traveling speed. This implies that nonlinear Landau damping is not true in W^{s,p}(s<1+(1/p)) space for any homogeneous equilibria and any spatial period. Indeed, in W^{s,p} (s<1+(1/p)) neighborhood of any homogeneous state, the long time dynamics is very rich, including travelling BGK waves, unstable homogeneous states and their possible invariant manifolds. Second, it is shown that for homogeneous equilibria satisfying Penrose's linear stability condition, there exist no nontrivial travelling BGK waves and unstable homogeneous states in some W^{s,p} (p>1,s>1+(1/p)) neighborhood. Furthermore, when p=2,we prove that there exist no nontrivial invariant structures in the H^{s} (s>(3/2)) neighborhood of stable homogeneous states. These results suggest the long time dynamics in the W^{s,p} (s>1+(1/p)) and particularly, in the H^{s} (s>(3/2)) neighborhoods of a stable homogeneous state might be relatively simple. We also demonstrate that linear damping holds for initial perturbations in very rough spaces, for linearly stable homogeneous state. This suggests that the contrasting dynamics in W^{s,p} spaces with the critical power s=1+(1/p) is a trully nonlinear phenomena which can not be traced back to the linear level

The stiffness characteristics of a healthy or damaged by aseptic necrosis femoral head

The goal of the paper is to investigate the stiffness characteristic of bone tissue of healthy femoral head as well as its degradation caused by aseptic necrosis.W pracy zbadano sztywność tkanki kostnej zdrowej główki kości udowej oraz wykazano zmiany charakterystyki w główce udowej zdegenerowanej przez martwicę

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИКСАЦИИ КОСТНЫХ ФРАГМЕНТОВ АППАРАТОМ ВНЕШНЕЙ ФИКСАЦИИ ПРИ ДВУХСТОРОННИХ РОТАЦИОННО-НЕСТАБИЛЬНЫХ ПОВРЕЖДЕНИЯХ ТАЗА ТИПА В ПО КЛАССИФИКАЦИИ AO/ASIF

Objective: to determine the stability of bone fragments fixation with an external fixation device in the simulation of bilateral partly unstable pelvic injuries of B type according to AO/ASIF classification and to identify the role of different fixation elements in the stability of fixation. Material and methods: the study was performed on the finite element model of a system an external fixation device - pelvis developed for a software package MSCNastran. Formation of a fracture of pubic and ischial pelvic bones was accomplished by means of rupture in the finite element network and decrease of elasticity modulus in the ilio-sacral joint on both sides up to 35 mm at the site of a fracture. Loads were carried on top of the body of the first sacral vertebra with a force of 500H.The second area of application of the load was from the bottom-up on the acetabular roof with a force of 250H. In this study the effect of different elements of an external fixation device on the stiffness of bone fragments fixation was evaluated. Symmetrical elements were removed both separately and together. As a result, the stiffness of a system decreased and the displacement at the fracture site increased. Conclusion: in a model of partly stable pelvic injuries accompanied by general rotation instability in the horizontal and sagittal planes to 35 mm, an external fixation device provided high stability of bone fragments (to 3 mm) due to introduction of bone rods in the iliac wings with the obligatory introduction of the rod in the vertical branches of pubic bones and strengthening the anterior lower bar between the subsystems. What is more, installing the anterior upper bar or introduction of bone rods in the bodies of iliac bone are not necessary.Цель исследования: определение стабильности фиксации костных отломков аппаратом внешней фиксации при моделировании двусторонних частично стабильных повреждений таза типа В по классификации AO/ASIF с определением вклада отдельных элементов в стабильность фиксации. Материал и методы. Исследование проводилось на конечно-элементной модели системы аппарат внешней фиксации - таз, разработанной для программного комплекса MSC Nastran. Формирование перелома лонных и седалищных костей таза в модели осуществлялось путем разрыва в конечно-элементной сетке и уменьшением модуля упругости в подвздошно-крестцовом сочленении с обеих сторон до 35 мм на месте формирования перелома. Нагрузки на модель осуществлялись сверху на тело первого крестцового позвонка с силой 500 Н. Вторая область приложения нагрузки - снизу вверх на крышу вертлужной впадины с силой 250 Н. В ходе исследования оценивалось влияние отдельных элементов аппаратов внешней фиксации (АВФ) на жесткость фиксации костных отломков. Симметричные элементы удалялись как по отдельности, так и совместно. В результате происходило уменьшение жесткости АВФ и соответствующее увеличение смещения в месте перелома. Выводы. При моделировании частично стабильных повреждений таза, когда имеет место общая ротационная нестабильность в горизонтальной и сагиттальной плоскостях до 35 мм, АВФ обеспечивают высокую стабильность костных фрагментов (до 3 мм) за счет введения костных стержней в крылья подвздошных костей, с обязательным введением стержня в вертикальные ветви лонных костей и усилением передне-нижней штанги между подсистемами. При этом установка передне-верхней штанги и введение костных стержней в тела подвздошных костей не являются обязательными