Fractional dynamics and recurrence analysis in cancer model

In this work, we analyze the effects of fractional derivatives in the chaotic dynamics of a cancer model. We begin by studying the dynamics of a standard model, {\it i.e.}, with integer derivatives. We study the dynamical behavior by means of the bifurcation diagram, Lyapunov exponents, and recurrence quantification analysis (RQA), such as the recurrence rate (RR), the determinism (DET), and the recurrence time entropy (RTE). We find a high correlation coefficient between the Lyapunov exponents and RTE. Our simulations suggest that the tumor growth parameter ($\rho_1$) is associated with a chaotic regime. Our results suggest a high correlation between the largest Lyapunov exponents and RTE. After understanding the dynamics of the model in the standard formulation, we extend our results by considering fractional operators. We fix the parameters in the chaotic regime and investigate the effects of the fractional order. We demonstrate how fractional dynamics can be properly characterized using RQA measures, which offer the advantage of not requiring knowledge of the fractional Jacobian matrix. We find that the chaotic motion is suppressed as $\alpha$ decreases, and the system becomes periodic for $\alpha \lessapprox 0.9966$. We observe limit cycles for $\alpha \in (0.9966,0.899)$ and fixed points for $\alpha<0.899$. The fixed point is determined analytically for the considered parameters. Finally, we discover that these dynamics are separated by an exponential relationship between $\alpha$ and $\rho_1$. Also, the transition depends on a supper transient which obeys the same relationship

Mathematical model of brain tumour growth with drug resistance

Acknowledgments We wish to acknowledge the support: Araucária Fundation, National Council for Scientific and Technological Development (CNPq, 302665/2017-0 and 407299/2018-1), Coordination for the Improvement of Higher Education Personnel (CAPES), and São Paulo Research Foundation (Processes 2015/07311-7, 2017/18977-1, 2018/03211-6, 2020/04624-2). The authors would like to thank the 105 Group Science (www.105groupscience.com) for the fruitful discussions.Peer reviewedPreprin

Effects of drug resistance in the tumour-immune system with chemotherapy treatment

Acknowledgement This study was possible by partial financial support from the following Brazilian government agencies: Fundaao Araucaria, National Council for Scientific and Technological Development, Coordination for the Improvement of Higher Education Personnel, and Sao Paulo Research Foundation (2015/07311-7, 2017/18977- 1, 2018/03211-6, 2020/04624-2)Peer reviewedPostprin

Aprática como componente curricular na licenciatura em matemática: múltiplos contextos, sujeitos e saberes

Esta comunicação discute os resultados de uma pesquisa qualitativa que investigou as principais contribuições das disciplinas de Instrumentação para o ensino de matemática que integram o atual currículo do projeto pedagógico do curso de licenciatura em matemática de uma universidade pública paranaense. Essas disciplinas foram criadas a partir da obrigatoriedade de alterações nos projetos pedagógicos dos cursos de Licenciatura em Matemática, pelo Conselho Nacional de Educação, na Resolução nº 2/2002, a qual instituiu para os cursos de Formação de Professores da Educação Básica em nível superior o mínimo de 2800 (duas mil e oitocentas) horas, dentre as quais 400 (quatrocentas) horas devem ser usadas como componente curricular voltado à articulação teoria-prática. A investigação objetivou realizar um levantamento do processo de reformulação curricular do curso em questão e analisar suas contribuições para a formação inicial. Combinou três instrumentos de coleta de dados: análise documental, entrevista com professores de Instrumentação para o Ensino da Matemática e questionário com acadêmicos concluintes em 2010. Para análise dos depoimentos utilizou-se a metodologia do Discurso do Sujeito Coletivo – DSC, de Lefevre, Lefevre (2005). Os discursos construídos revelam significativas contribuições das disciplinas responsáveis para desenvolver a prática como componente curricular na Licenciatura em Matemática

Anomalous Relaxation and Three-Level System: A Fractional Schrödinger Equation Approach

We investigate a three-level system in the context of the fractional Schrödinger equation by considering fractional differential operators in time and space, which promote anomalous relaxations and spreading of the wave packet. We first consider the three-level system omitting the kinetic term, i.e., taking into account only the transition among the levels, to analyze the effect of the fractional time derivative. Afterward, we incorporate a kinetic term and the fractional derivative in space to analyze simultaneous wave packet transition and spreading among the levels. For these cases, we obtain analytical and numerical solutions. Our results show a wide variety of behaviors connected to the fractional operators, such as the non-conservation of probability and the anomalous spread of the wave packet

De 1993 a 2006: A trajetória de um projeto de extensão

Cada vez mais a comunidade matemática tem discutido a ação pedagógica do professor atuante nessa área do conhecimento. Como resultado desta reflexão, surgem várias formas de pensar a prática pedagógica do professor que, além do domínio do conhecimento dos conteúdos específicos da Matemática, tem a necessidade de compreender a relevância de ensinar Matemática significativamente, levando a um olhar mais atento em relação à formação do educador matemático. A necessidade de discussão em torno destas e de outras questões deram origem ao NIEM - Núcleo Integrado de Educação Matemática, projeto de extensão interdepartamental, proposto pela primeira vez em 1993. A proposta é nortear a integração permanente entre professores do curso de Licenciatura em Matemática por meio do assessoramento à comunidade atuante na escola básica. Estando na 9ª edição, este projeto tem proporcionado estudos, discussões e reflexões para o grupo de professores por ele responsável, bem como à comunidade envolvida

Fractional Diffusion Equation under Singular and Non-Singular Kernel and Its Stability

The fractional reaction–diffusion equation has been used in many real-world applications in fields such as physics, biology, and chemistry. Motivated by the huge application of fractional reaction–diffusion, we propose a numerical scheme to solve the fractional reaction–diffusion equation under different kernels. Our method can be particularly employed for singular and non-singular kernels, such as the Riemann–Liouville, Caputo, Fabrizio–Caputo, and Atangana–Baleanu operators. Moreover, we obtained general inequalities that guarantee that the stability condition depends explicitly on the kernel. As an implementation of the method, we numerically solved the diffusion equation under the power-law and exponential kernels. For the power-law kernel, we solved by considering fractional time, space, and both operators. In another example, we considered the exponential kernel acting on the time derivative and compared the numerical results with the analytical ones. Our results showed that the numerical procedure developed in this work can be employed to solve fractional differential equations considering different kernels