Fermat, Leibniz, Euler, and the gang: The true history of the concepts of limit and shadow

Fermat, Leibniz, Euler, and Cauchy all used one or another form of approximate equality, or the idea of discarding "negligible" terms, so as to obtain a correct analytic answer. Their inferential moves find suitable proxies in the context of modern theories of infinitesimals, and specifically the concept of shadow. We give an application to decreasing rearrangements of real functions.Comment: 35 pages, 2 figures, to appear in Notices of the American Mathematical Society 61 (2014), no.

Cauchy's infinitesimals, his sum theorem, and foundational paradigms

Cauchy's sum theorem is a prototype of what is today a basic result on the convergence of a series of functions in undergraduate analysis. We seek to interpret Cauchy's proof, and discuss the related epistemological questions involved in comparing distinct interpretive paradigms. Cauchy's proof is often interpreted in the modern framework of a Weierstrassian paradigm. We analyze Cauchy's proof closely and show that it finds closer proxies in a different modern framework. Keywords: Cauchy's infinitesimal; sum theorem; quantifier alternation; uniform convergence; foundational paradigms.Comment: 42 pages; to appear in Foundations of Scienc

I fondamenti della nuova scienza del moto: la cinematica di Galileo e la geometria di Torricelli.

This research presents in a different way the new science of motion described in Galileo’s Discourses (1638) and in Evangelista Torricelli’s Geometrical Work (1644). We will focus on how the local motion has been mathematized at the beginning of the modern mechanics in order to analyse its conditions and main features. The local motion, which had been a topic of natural philosophy, became a topic of modern kinematics that is a science. We will show that the new structure of speed has been a crucial event that led the naive notion of speed of the ancient tradition to the technical notion of continuous magnitude. The nature of continuity is closely connected to infinity and an analysis of this link is the peculiar way of reading those two texts.Questo lavoro di ricerca intende dare una diversa lettura alla Nuova scienza del moto elaborata da Galileo Galilei nei Discorsi (1638) e da Evangelista Torricelli nell’Opera geometrica (1644). L'attenzione è rivolta al processo di matematizzazione che subisce il moto locale nel momento in cui nasce la meccanica moderna, per analizzarne le condizioni di realizzazione e le caratteristiche principali. Il moto locale, una questione dibattuta all’interno della filosofia naturale, diventa cinematica, cioè scienza. Si mostrerà che la strutturazione di un nuovo concetto di velocità è l’evento decisivo che porta l’accezione ingenua e intuitiva della tradizione, ad assumere l’accezione tecnico-operativa di grandezza continua. La natura della continuità è inscindibile dalla nozione di infinito e l’analisi di questo legame è la chiave di lettura proposta