Ein einheitliches Approximationsschema für Dichtefunktionaltheorien: Ein auf Kraftbilanz basierender Ansatz

First-principle methods as a way of understanding various fundamental phenomena that occur in nature is an active field of research in condensed matter physics and other related fields. There is great interest in the study of how a system or a property changes when an external perturbation is applied to it, say, by switching on a magnetic field or probing the system with a laser. Many successful theoretical developments have been made over the years to specifically treat these different situations. However using one of these theories out of its assigned setting, by construction, does not always guarantee a suitable outcome and some interesting features may not be captured. This is partly due to the approximations that are used in these methods which are geared to only specific external perturbations or properties. It is therefore of importance to have a theory that can, in a consistent way, treat these various settings and allow for the qualitative study of the changes that occur when different external stimuli (magnetic fields, lasers,...) are applied to a system. We propose here such an approach that contains all the ingredients necessary to perform such a qualitative study. In this thesis we present a unifying scheme to determine exchange correlation potentials in density and current density functional theories including vector potentials. The standard energy-based approach to determine functionals is not used here. Instead this approach relies on the equations of motion of particular current densities and is viable both for the ground state and the time-dependent setting. We aim at directly approximating the density-potential mapping thereby avoiding subtleties that arise from functional differentiability and also the costly optimized effective potential procedure of orbital-dependent energy functionals. We then show that the different density functional theories are connected through these equations of motion and demonstrate this for a local-exchange approximation. We show how these exchange-type approximations reduce to the usual local density approximation in the case of a homogeneous system. We highlight what is not captured when approximations for simple settings are used in more complex ones. In addition, these equations of motion provide a way to numerically construct density-potential mappings for different density functional theories and we show this particularly for a ground state lattice setting including the Peierl’s phase. All these show that this equation-of-motion-based approach bears many interesting advantages and provides a new path for approximations in density functional theories. Moreover, it sets a path for a more complete understanding of the properties of molecules or solids subject to different external stimuli.Ab-inition Methoden zum Verständnis grundlegender Phänomene, die in der Natur auftreten, sind ein aktives Forschungsfeld in der Festkörperphysik und anderen verwandten Bereichen. Eine der Hauptfragestellungen hierbei ist, wie sich ein System und seine Eigenschaften ändern, wenn sich eine externe Größe ändert, beispielsweise indem ein Magnetfeld eingeschaltet oder das System mit einem Laser getrieben wird. Im Laufe der Jahre wurden viele erfolgreiche Theorien entwickelt, um spezifische solche Situationen zu behandeln. Die Verwendung dieser Theorien in anderen Situationen führt jedoch häufig nicht zu einem zufriedenstellenden Ergebnis, da wichtige Merkmale nicht erfasst werden. Dies ist teilweise auf die Näherungen zurückzuführen, die bei diesen Methoden verwendet werden, und welche nur für spezielle externe Störungen oder spezifische Eigenschaften zulässig sind. Es ist daher wichtig, eine Theorie zu haben, die alle Spezialfälle auf konsistente Art und Weise behandelt. Wir stellen einer Herangehensweise vor, die alle Bestandteile enthält, die zur Durchführung einer solchen qualitativen Studie erforderlich sind. Wir stellen in dieser Arbeit ein einheitliches Schema von Näherungen zur Bestimmung von Austauschkorrelationspotentialen (einschließlich Vektorpotentialen)in Dichte- und Stromdichtefunktionaltheorien vor. Der standardmäßige energiebasierte Ansatz zur Bestimmung von Funktionalen wird hier nicht verwendet. Stattdessen beruht dieser Ansatz auf den Bewegungsgleichungen bestimmter Stromdichten und ist sowohl für den Grundzustand als auch für die zeitabhängige Situation gültig. In dem Ansatz wollen wir die Dichte-Potential-Abbildung direkt approximieren, wodurch Problema vermieden werden, die sich aus der funktionalen Differenzierbarkeit ergeben, sowie das kostspielige optimierte effektive Potentialverfahren von orbitalabhängigen Energiefunktionalen. Wir zeigen dann, dass die verschiedenen Dichtefunktionaltheorien durch diese Bewegungsgleichungen verbunden sind, und demonstrieren dies für eine lokale Austauschnäherung. Wir zeigen, wie sich diese Näherungen vom Austauschtyp bei einem homogenen System auf die übliche lokale-Dichte-Näherung reduzieren. Durch das Anwenden dieser komplexeren Näherungen auf einfachere Systeme ergeben sich Effekte, die in den anderen Theorien nicht sichtbar werden. Darüber hinaus bieten diese Bewegungsgleichungen eine Möglichkeit, Dichte-Potential-Abbildungen für verschiedene Dichtefunktionaltheorien numerisch zu untersuchen, und wir zeigen dies insbesondere für ein simplest System realisiert auf einem Gitter im Grundzustand welches eine Peierl-Phase enthält. All dies zeigt, dass dieser auf Bewegungsgleichungen basierende Ansatz viele interessante Vorteile bietet und einen neuen Weg für Approximationen in Dichtefunktionaltheorien bietet. Darüber hinaus zeigt die neue Näherungstheorie wie man die Untersuchung von Eigenschaften von Molekülen und Festkörpern unter dem Einfluß von verschiedenen externen Störungen vereinheitlichen kann

Ein einheitliches Approximationsschema für Dichtefunktionaltheorien: Ein auf Kraftbilanz basierender Ansatz

First-principle methods as a way of understanding various fundamental phenomena that occur in nature is an active field of research in condensed matter physics and other related fields. There is great interest in the study of how a system or a property changes when an external perturbation is applied to it, say, by switching on a magnetic field or probing the system with a laser. Many successful theoretical developments have been made over the years to specifically treat these different situations. However using one of these theories out of its assigned setting, by construction, does not always guarantee a suitable outcome and some interesting features may not be captured. This is partly due to the approximations that are used in these methods which are geared to only specific external perturbations or properties. It is therefore of importance to have a theory that can, in a consistent way, treat these various settings and allow for the qualitative study of the changes that occur when different external stimuli (magnetic fields, lasers,...) are applied to a system. We propose here such an approach that contains all the ingredients necessary to perform such a qualitative study. In this thesis we present a unifying scheme to determine exchange correlation potentials in density and current density functional theories including vector potentials. The standard energy-based approach to determine functionals is not used here. Instead this approach relies on the equations of motion of particular current densities and is viable both for the ground state and the time-dependent setting. We aim at directly approximating the density-potential mapping thereby avoiding subtleties that arise from functional differentiability and also the costly optimized effective potential procedure of orbital-dependent energy functionals. We then show that the different density functional theories are connected through these equations of motion and demonstrate this for a local-exchange approximation. We show how these exchange-type approximations reduce to the usual local density approximation in the case of a homogeneous system. We highlight what is not captured when approximations for simple settings are used in more complex ones. In addition, these equations of motion provide a way to numerically construct density-potential mappings for different density functional theories and we show this particularly for a ground state lattice setting including the Peierl’s phase. All these show that this equation-of-motion-based approach bears many interesting advantages and provides a new path for approximations in density functional theories. Moreover, it sets a path for a more complete understanding of the properties of molecules or solids subject to different external stimuli.Ab-inition Methoden zum Verständnis grundlegender Phänomene, die in der Natur auftreten, sind ein aktives Forschungsfeld in der Festkörperphysik und anderen verwandten Bereichen. Eine der Hauptfragestellungen hierbei ist, wie sich ein System und seine Eigenschaften ändern, wenn sich eine externe Größe ändert, beispielsweise indem ein Magnetfeld eingeschaltet oder das System mit einem Laser getrieben wird. Im Laufe der Jahre wurden viele erfolgreiche Theorien entwickelt, um spezifische solche Situationen zu behandeln. Die Verwendung dieser Theorien in anderen Situationen führt jedoch häufig nicht zu einem zufriedenstellenden Ergebnis, da wichtige Merkmale nicht erfasst werden. Dies ist teilweise auf die Näherungen zurückzuführen, die bei diesen Methoden verwendet werden, und welche nur für spezielle externe Störungen oder spezifische Eigenschaften zulässig sind. Es ist daher wichtig, eine Theorie zu haben, die alle Spezialfälle auf konsistente Art und Weise behandelt. Wir stellen einer Herangehensweise vor, die alle Bestandteile enthält, die zur Durchführung einer solchen qualitativen Studie erforderlich sind. Wir stellen in dieser Arbeit ein einheitliches Schema von Näherungen zur Bestimmung von Austauschkorrelationspotentialen (einschließlich Vektorpotentialen)in Dichte- und Stromdichtefunktionaltheorien vor. Der standardmäßige energiebasierte Ansatz zur Bestimmung von Funktionalen wird hier nicht verwendet. Stattdessen beruht dieser Ansatz auf den Bewegungsgleichungen bestimmter Stromdichten und ist sowohl für den Grundzustand als auch für die zeitabhängige Situation gültig. In dem Ansatz wollen wir die Dichte-Potential-Abbildung direkt approximieren, wodurch Problema vermieden werden, die sich aus der funktionalen Differenzierbarkeit ergeben, sowie das kostspielige optimierte effektive Potentialverfahren von orbitalabhängigen Energiefunktionalen. Wir zeigen dann, dass die verschiedenen Dichtefunktionaltheorien durch diese Bewegungsgleichungen verbunden sind, und demonstrieren dies für eine lokale Austauschnäherung. Wir zeigen, wie sich diese Näherungen vom Austauschtyp bei einem homogenen System auf die übliche lokale-Dichte-Näherung reduzieren. Durch das Anwenden dieser komplexeren Näherungen auf einfachere Systeme ergeben sich Effekte, die in den anderen Theorien nicht sichtbar werden. Darüber hinaus bieten diese Bewegungsgleichungen eine Möglichkeit, Dichte-Potential-Abbildungen für verschiedene Dichtefunktionaltheorien numerisch zu untersuchen, und wir zeigen dies insbesondere für ein simplest System realisiert auf einem Gitter im Grundzustand welches eine Peierl-Phase enthält. All dies zeigt, dass dieser auf Bewegungsgleichungen basierende Ansatz viele interessante Vorteile bietet und einen neuen Weg für Approximationen in Dichtefunktionaltheorien bietet. Darüber hinaus zeigt die neue Näherungstheorie wie man die Untersuchung von Eigenschaften von Molekülen und Festkörpern unter dem Einfluß von verschiedenen externen Störungen vereinheitlichen kann

Force balance approach for advanced approximations in density functional theories

We propose a systematic and constructive way to determine the exchange-correlation potentials of density-functional theories including vector potentials. The approach does not rely on energy or action functionals. Instead, it is based on equations of motion of current quantities (force balance equations) and is feasible both in the ground-state and the time-dependent settings. This avoids, besides differentiability and causality issues, the optimized-effective-potential procedure of orbital-dependent functionals. We provide straightforward exchange-type approximations for different density functional theories that for a homogeneous system and no external vector potential reduce to the exchange-only local-density and Slater Xα approximations