On Lattice Constructions D and D' from q-ary Linear Codes

Multilevel lattice codes, such as the associated to Constructions $C$, \overline{\mbox{D}}, D and D', have relevant applications in communications. In this paper, we investigate some properties of lattices obtained via Constructions D and D' from $q$-ary linear codes. Connections with Construction A, generator matrix, expressions and bounds for volume and minimum distances are derived. Extensions of previous results regarding construction and decoding of binary and $p$-ary linear codes ($p$ prime) are also presented

Constructions of lattices from q-ary codes

Orientador: Sueli Irene Rodrigues CostaTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: Reticulados vêm sendo utilizados na abordagem de vários problemas em códigos corretores de erros e criptografia. Este trabalho foca em construções de reticulados a partir de códigos lineares $q$-ários. Construções D, D$'$ e \overline{\mbox{D}} e vários resultados são estendidos de códigos lineares binários para códigos lineares $q$-ários, $q \in \mathbb{N}$. Definimos a adição zero-um em $\mathbb{Z}_q^n$ e mostramos que a Construção \overline{\mbox{D}} produz um reticulado se, e somente se, a cadeia de códigos utilizada é fechada sob esta adição. Fórmulas fechadas ou limitantes para a distância da soma mínima de reticulados obtidos via Construções D, D$'$ e \overline{\mbox{D}} são fornecidos. Introduzimos a Construção A$'$ a partir de códigos lineares sobre o anel quociente $\mathbb{Z}_q[X]/(X^a)$ e mostramos que a mesma produz um reticulado se, e somente se, o código utilizado é fechado sob a adição zero-um deslocada. Conexões entre as construções supracitadas também são fornecidasAbstract: Lattices have been used in the approach of several problems in error correcting codes and cryptography. This work focuses on lattice constructions from $q$-ary linear codes. Constructions D, D$'$ and \overline{\mbox{D}} and several results are extended from binary linear codes to $q$-ary linear codes, $q \in \mathbb{N}$. We define the zero-one addition in $\mathbb{Z}_q^n$ and show that the extended Construction \overline{\mbox{D}} produces a lattice if and only if the nested codes are closed under this addition. Closed formulas or bounds for the minimum sum distance of lattices obtained via Constructions D, D$'$ and \overline{\mbox{D}} are derived. We introduce the Construction A$'$ from linear codes over the quotient ring \mathbb{Z}_q[X]/(X^a)$ and show it produces a lattice if and only if the used code is closed under shifted zero-one addition. Connections between the aforementioned constructions are also providedDoutoradoMatematica AplicadaDoutor em Matemática Aplicad