Regularity and stochastic homogenization of fully nonlinear equations without uniform ellipticity

We prove regularity and stochastic homogenization results for certain degenerate elliptic equations in nondivergence form. The equation is required to be strictly elliptic, but the ellipticity may oscillate on the microscopic scale and is only assumed to have a finite $d$th moment, where $d$ is the dimension. In the general stationary-ergodic framework, we show that the equation homogenizes to a deterministic, uniformly elliptic equation, and we obtain an explicit estimate of the effective ellipticity, which is new even in the uniformly elliptic context. Showing that such an equation behaves like a uniformly elliptic equation requires a novel reworking of the regularity theory. We prove deterministic estimates depending on averaged quantities involving the distribution of the ellipticity, which are controlled in the macroscopic limit by the ergodic theorem. We show that the moment condition is sharp by giving an explicit example of an equation whose ellipticity has a finite $p$th moment, for every $p<d$, but for which regularity and homogenization break down. In probabilistic terms, the homogenization results correspond to quenched invariance principles for diffusion processes in random media, including linear diffusions as well as diffusions controlled by one controller or two competing players.Comment: Published in at http://dx.doi.org/10.1214/13-AOP833 the Annals of Probability (http://www.imstat.org/aop/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org

The Distribution of Revenues From State-Collected Consumer Taxes

Värdegrundsarbetet i förskolan där genus och likabehandling står i fokus är ett ämne som skall arbetas aktivt med och det var detta som var grunden i underökning. Undersökningen utgick ifrån två frågor som handlade om pedagogernas kompetens i genusvetenskap samt vilka genuspedagogiska strategier som de använde i arbetet med barnen. För att undersöka detta så valde jag att använda mig av en halvstrukturerad enkät där de flesta frågorna var av öppen karaktär för att kunna fånga vad pedagogernas kunskap om de olika genusvetenskapliga begreppen. De slutna frågorna fångade vilka genuspedagogiska strategier som pedagogerna använde i sitt arbete med barnen. 40 enkäter delades ut till pedagogerna i ett rektorsområde. Från resultatdelen kunde det utläsas att det var många olika definitioner på de genusvetenskapliga begreppen och att flertalet av pedagogerna inte hade samma syn som forskningen kring om det beror på det sociala eller det biologiska när barnen positionerar sig som pojkar eller flickor. Resultatet visade också att endast ett fåtal pedagogerna använder sig av det komplicerande och normkritiska arbetssättet med barnen och att lite fler än hälften tycker att de har tillräckligt med kunskap för att arbeta med genus. Slutsatser som kunde dras från resultaten från enkäten är att pedagogernas kompetenser i de genusvetenskapliga begreppen är på olika nivå och att de varierar väldigt mycket. Därför drog jag den slutsatsen att det är därför som det komplicerande och normkritiska arbetet inte används i arbetet med genus i förskolan. Ändå så ansåg flertalet av de pedagoger som inte arbetade med det komplicerande och normkritiska arbetet att de ändå hade tillräckligt med kunskap i genus. Kompetens i ett ämne gör att det är möjligt att ta ut svängarna, att verkligen se hur barnen gör genus i barngruppen och att ifrågasätta normer i samhället tillsammans med barnen

Fundamental solutions of homogeneous fully nonlinear elliptic equations

We prove the existence of two fundamental solutions $\Phi$ and $\tilde \Phi$ of the PDE $$F(D^2\Phi) = 0 \quad {in} \mathbb{R}^n \setminus \{0 \}$$ for any positively homogeneous, uniformly elliptic operator $F$. Corresponding to $F$ are two unique scaling exponents $\alpha^*, \tilde\alpha^* > -1$ which describe the homogeneity of $\Phi$ and $\tilde \Phi$. We give a sharp characterization of the isolated singularities and the behavior at infinity of a solution of the equation $F(D^2u) = 0$, which is bounded on one side. A Liouville-type result demonstrates that the two fundamental solutions are the unique nontrivial solutions of $F(D^2u) = 0$ in $\mathbb{R}^n \setminus \{0 \}$ which are bounded on one side in a neighborhood of the origin as well as at infinity. Finally, we show that the sign of each scaling exponent is related to the recurrence or transience of a stochastic process for a two-player differential game.Comment: 35 pages, typos and minor mistakes correcte