8 research outputs found
A note on forbidding clique immersions
Robertson and Seymour proved that the relation of graph immersion is
well-quasi-ordered for finite graphs. Their proof uses the results of graph
minors theory. Surprisingly, there is a very short proof of the corresponding
rough structure theorem for graphs without -immersions; it is based on the
Gomory-Hu theorem. The same proof also works to establish a rough structure
theorem for Eulerian digraphs without -immersions, where
denotes the bidirected complete digraph of order
Packing triangles in weighted graphs
Tuza conjectured that for every graph , the maximum size of a set of
edge-disjoint triangles and minimum size of a set of edges meeting all
triangles satisfy . We consider an edge-weighted version of
this conjecture, which amounts to packing and covering triangles in
multigraphs. Several known results about the original problem are shown to be
true in this context, and some are improved. In particular, we answer a
question of Krivelevich who proved that (where is
the fractional version of ), and asked if this is tight. We prove that
and show that this bound is
essentially best possible.Comment: v2: 20 pages, corrected version (from 2013) following referee report
Edge colourings of multigraphs
Das Kantenfärbungsproblem besteht darin, den chromatischen Index eines
(Multi-)Graphen G zu ermitteln, d.h. die minimale Anzahl an Farben, mit
denen man die Kanten von G so färben kann, dass keine zwei benachbarten
Kanten die gleiche Farbe erhalten. Kantenfärbungsprobleme treten in
verschiedenen Scheduling-Anwendungen auf, typischerweise in Verbindung mit
Task-Processing oder Netzwerk-Kommunikation. Da das Kantenfärbungsproblem
NP-schwer ist, sind gute Approximationsalgorithmen gefordert.
In dieser Dissertation werden verschiedene Färbungstechniken erweitert und
neue Färbungsalgorithmen entworfen. Ausgehend von einem klassischen
Resultat von Vizing, wird ein neuer Graphenparameter - die Fächerzahl -
vorgestellt. Dies führt zu einem Färbungsalgorithmus, der durch eine
spezielle Kantensortierung Vizings Fächer in bestmöglicher Weise nutzen
kann. Eines der größten bisher ungelösten Probleme auf dem Gebiet der
Kantenfärbungen ist Goldbergs Vermutung. Goldberg (und unabhängig davon
auch Andersen und Seymour) vermutete eine obere Schranke für den
chromatischen Index chi', die vom Maximalgrad Delta und einer maximalen
Dichte w abhängt, und zwar chi'<=max{Delta+1,w}. Da Delta und w beides
untere Schranken für chi' sind, hat Goldbergs Schranke somit eine absolute
Abweichung von höchstens 1 vom Optimum. In dieser Dissertation werden
einige neue obere Schranken für chi' entwickelt, die die Lücke zwischen den
bereits bekannten Schranken und Goldbergs vermuteter Schranke verkleinert.
Die beiden wichtigsten neuen Schranken sind max{Delta+1+(Delta-2)/14,w} und
max{Delta+sqrt((Delta-1)/2),w}. Die Laufzeiten der zugehörigen
Färbungsalgorithmen sind polynomiell beschränkt bzgl. der Eckenzahl und der
Kantenzahl des zu färbenden Graphen. Da aber ein Graph einfach durch Angabe
der Ecken und Kantenvielfachheiten beschrieben werden kann, sind die
genannten Algorithmen somit keine echten Polynomialzeitalgorithmen. Im
letzten Kapitel der Dissertation wird allerdings gezeigt, wie sich durch
alternative Datenstrukturen und ein Divide-and-Conquer-Verfahren diese
Algorithmen auch als Polynomialzeitalgorithmen implementieren lassen
Graph Edge Coloring: Vizing's Theorem and Goldberg's Conjecture
Features recent advances and new applications in graph edge coloring Reviewing recent advances in the Edge Coloring Problem, Graph Edge Coloring: Vizing's Theorem and Goldberg's Conjecture provides an overview of the current state of the science, explaining the interconnections among the results obtained from important graph theory studies. The authors introduce many new improved proofs of known results to identify and point to possible solutions for open problems in edge coloring. The book begins with an introduction to graph theory and the concept of edge coloring. Subsequent chapters explo
A minimum degree condition forcing complete graph immersion
An immersion of a graph H into a graph G is a one-to-one mapping f: V (H) → V (G) and a collection of edge-disjoint paths in G, one for each edge of H, such that the path P [subscript uv] corresponding to edge uv has endpoints f(u) and f(v). The immersion is strong if the paths P [subscript uv] are internally disjoint from f(V (H)). It is proved that for every positive integer Ht, every simple graph of minimum degree at least 200t contains a strong immersion of the complete graph K [subscript t]. For dense graphs one can say even more. If the graph has order n and has 2cn [superscript 2] edges, then there is a strong immersion of the complete graph on at least c [superscript 2] n vertices in G in which each path P [subscript uv] is of length 2. As an application of these results, we resolve a problem raised by Paul Seymour by proving that the line graph of every simple graph with average degree d has a clique minor of order at least cd [superscript 3/2], where c>0 is an absolute constant.
For small values of t, 1≤t≤7, every simple graph of minimum degree at least t−1 contains an immersion of K [subscript t] (Lescure and Meyniel [13], DeVos et al. [6]). We provide a general class of examples showing that this does not hold when t is large.Simons Foundation (Fellowship)National Science Foundation (U.S.) (Grant DMS-1069197)NEC Corporation (MIT Award